ความสามารถในการตัดสินใจของตัวเลขยอดเยี่ยม

ฉันมีคำถามซึ่งคำตอบน่าจะเป็นที่รู้จักกันดี แต่ฉันดูเหมือนจะไม่พบสิ่งใดที่มีความหมายหลังจากการค้นหาเล็กน้อยดังนั้นฉันจึงขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือ

คำถามของฉันคือไม่ว่าจะเป็นที่รู้จักกันว่าการตัดสินใจว่าตัวเลขยอดเยี่ยมไม่สามารถตัดสินใจได้

อาจเป็นไปได้ว่าหนึ่งสมมติว่าเป็นอินพุตพูดโปรแกรมที่ส่งกลับบิต i ^ ของจำนวน ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับพอยน์เตอร์ใด ๆ

computability computable-analysis

— ipsofacto
แหล่งที่มา

หาก reals ถูกแสดงโดยโปรแกรมคำนวณ bit ที่กำหนดหรือโปรแกรมคำนวณ rational rational หรือโปรแกรมประเภทใด ๆ ที่คล้ายกันดังนั้นชุด reals ที่ decidable เพียงอย่างเดียวคือ trivial (เช่นที่ประกอบด้วย reals ที่คำนวณได้ทั้งหมดหรือไม่มี reals ที่คำนวณได้) โดยทฤษฎีบทของไรซ์

— Emil Jeřábek

ความหมายนั้นแสดงให้เห็นอย่างไร

$\:$

คำตอบ:

คำตอบของ Kristoffer สามารถนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าสมมติว่า reals ถูกนำเสนอเพื่อให้เราสามารถคำนวณข้อ จำกัด ของลำดับของ reals ที่ Cauchy คำนวณได้ จำได้ว่าลำดับ $(a_n)_n$ คำนวณ Cauchy ถ้ามีแผนที่ที่คำนวณได้ $f$ เช่นนั้นให้ใด ๆ $k$ เรามี $|a_{m} - a_{n}| < 2^{-k}$ เพื่อทุกสิ่ง $m, n \geq f(k)$ . การแทนค่ามาตรฐานของ reals เป็นเช่นนั้นตัวอย่างเช่นที่จริงจะถูกแสดงด้วยเครื่องที่คำนวณการประมาณด้วยเหตุผลที่ดีโดยพลการ (เราสามารถพูดในแง่ของการคำนวณตัวเลข แต่แล้วเราก็ต้องอนุญาตให้ลบตัวเลขนี่เป็นปัญหาที่รู้จักกันดีในทฤษฎีการคำนวณของ reals)

ทฤษฎีบท:สมมติ $S \subseteq \mathbb{R}$ เป็นเซตย่อยที่มีลำดับที่คำนวณได้ $(a_n)_n$ ซึ่งคำนวณ Cauchy และขีด จำกัด $x = \lim_n a_n$ อยู่นอกSดังนั้นคำถาม "เป็นจำนวนจริงองค์ประกอบของ " ไม่สามารถตัดสินใจได้ $S$ $x$ $S$

พิสูจน์ สมมติว่านั้นตัดสินใจได้ รับเครื่องทัวริงพิจารณาลำดับกำหนดเป็น มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าเป็น computably Cauchy ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณขีด จำกัด ของb_n ตอนนี้เรามี iffหยุดทำงานดังนั้นเราจึงสามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักได้ QED $S$ $T$ $b_n$

b_{n} = {\begin{cases} a_{n} & if T has not halted in the first n steps, \\ a_{m} & if T has halted in step m and m \leq n . \end{cases}

$b_n = \begin{cases} a_n & \text{if $T$ has not halted in the first $n$ steps,}\\ a_m & \text{if $T$ has halted in step $m$ and $m \leq n$.} \end{cases}$

b_{n}

$b_n$

y = lim_{n} b_{n}

$y = \lim_n b_n$

y \in S

$y \in S$

T

$T$

มีทฤษฎีบทคู่ที่เราคิดลำดับคือด้านนอกเป็นแต่ขีด จำกัด อยู่ในS $S$ $S$

ตัวอย่างของเซตสอดคล้องกับเงื่อนไขเหล่านี้คือช่วงเวลาที่เปิดช่วงเวลาปิดจำนวนลบค่าซิงเกิลตัวเลขเหตุผลจำนวนอตรรกยะจำนวนตรรกยะตัวเลขพีชคณิต ฯลฯ $S$ $\lbrace 0 \rbrace$

ชุดซึ่งไม่ตอบสนองเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่เป็นชุดสรุปตัวเลขแปลโดยที่ไม่ได้คำนวณจำนวน\แบบฝึกหัด:สามารถตัดสินใจได้หรือไม่ $S = \lbrace q + \alpha \mid q \in \mathbb{Q}\rbrace$ $\alpha$ $S$

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการตอบกลับของคุณ. เพียงแค่การอธิบายอย่างชัดเจนทฤษฎีบทบอกว่าหากเซต S มีจุด จำกัด อย่างน้อยหนึ่งจุดนอก S จากนั้นจึงตัดสินใจว่าองค์ประกอบ x อยู่ใน S ที่ไม่สามารถตัดสินใจได้หรือไม่? จากนั้นฉันสับสนเล็กน้อยเกี่ยวกับช่วงเวลาปิดในตัวอย่าง

— ipsofacto

ช่วงเวลาปิดตามด้วยทฤษฎีบทคู่ในที่ที่คุณใช้ลำดับนอกที่มีขีด จำกัด อยู่ในS

S

$S$

S

$S$

— Andrej Bauer

มันหมายความว่าอะไรสำหรับจะเป็น "นอก computably" (เมื่อเทียบกับ "นอก ") ?

x

$x$

S

$S$

S

$S\hspace{.01 in}$

$\:$

$\;\;$

นั่นคือการพิมพ์ผิด ฉันทำมันขอบคุณสำหรับการสังเกต มิฉะนั้น "คือ computably นอก " อาจหมายถึงบางอย่างเช่น "สำหรับทุก ๆเราอาจคำนวณเหตุผลเชิงบวกเช่นที่ ", คือคำสั่ง " "ได้รับการยอมรับ แต่ถ้าคุณเชื่อในหลักการมาร์คอฟคุณก็สามารถสร้างแผนที่ดังกล่าวขึ้นใหม่ได้โดยเพียงแค่รู้ว่าไม่ได้อยู่ในดังนั้นในกรณีนี้ไม่มีความแตกต่างระหว่าง "นอกและ" computably นอก "

x

$x$

S

$S$

y \in S

$y \in S$

q

$q$

d (x, y) > q

$d(x,y) > q$

\forall y \in S . \exists q \in Q . 0 < q < d (x, y)

$\forall y \in S . \exists q \in \mathbb{Q} . 0 < q < d(x,y)$

x

$x$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Andrej Bauer

กำหนดเครื่องทัวริงกำหนดเครื่องทัวริงแทนตัวเลขดังนี้: ในอินพุตรันสำหรับขั้นตอนในอินพุตว่าง หากหยุดเอาท์พุท0ส่งออกมิฉะนั้นบิตของ TH \ $M$ $M'$ $i$ $M$ $i$ $M$ $0$ $i$ $\pi$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
แหล่งที่มา

ชุดของ Transcendentals ไม่ได้เปิดใน (โดยเฉพาะมันหนาแน่นและมีรหัสในดังนั้นจึงไม่สามารถบอกได้ $\mathbf R$ $\mathbf R$

— เดวิดแฮร์ริส
แหล่งที่มา

ชุดของจำนวนจริงที่คำนวณได้ไม่เปิดใน (โดยเฉพาะมันมีความหนาแน่นสูงและ codense ใน ) แต่สามารถถอดรหัสได้

R

$\mathbf{R}$

R

$\mathbf{R}$

$\:$

Ricky นี่ไม่เป็นความจริง รับ oracle สำหรับจำนวนจริงคุณไม่สามารถระบุได้ว่ามันคำนวณได้หรือไม่

— David Harris

ชุดที่ฉันให้นั้นสามารถถอดรหัสได้โดยอัลกอริทึมที่ตอบว่า "ใช่" เสมอ ประโยคที่สองของคุณแสดงให้เห็นว่าชุดที่ฉันให้นั้นไม่ได้เป็นแบบที่พิมพ์ได้สองแบบ

$\:$

$\;\;$

@Ricky Demer: ชุดของจำนวนจริงที่คำนวณได้นั้นไม่สามารถอธิบายได้ในสองประสาทสัมผัส: (1) ให้ดัชนีโดยพลการตัดสินใจว่าเป็นดัชนีของเครื่องทัวริงที่คำนวณของจริงที่คำนวณได้หรือไม่ (2) กำหนดลำดับ Cauchy ที่บรรจบกันอย่างรวดเร็วโดยพิจารณาว่าเป็นลำดับที่คำนวณได้หรือไม่ ไม่มีสามัญสำนึกที่ชุดของจำนวนจริงที่คำนวณได้นั้นสามารถนำมาคำนวณได้

e \in N

$e \in \mathbb{N}$

e

$e$

— Carl Mummert

@Carl: มีอัลกอริทึมที่ให้ดัชนีนั่นคือดัชนีของเครื่องจักรทัวริงที่คำนวณจริงคำนวณได้ตัดสินใจว่าเป็นดัชนีของเครื่องจักรทัวริงที่คำนวณจริงที่คำนวณได้ นี่เป็นเพียงความรู้สึกที่น่าสนใจเพียงอย่างเดียวในการถอดรหัสชุดของ reals เนื่องจากของคุณ (1) พอใจกับเซตโดยที่ไม่มี reals ที่คำนวณได้และ (2) ของคุณพอใจอย่างแน่นอนโดยและ{R}

e \in N

$\: e\in \mathbb{N} \:$

e

$e$

$\hspace{.1 in}$

$\;\;$

$\hspace{.2 in}$

$\hspace{2.2 in}$

{}

$\: \{\} \:$

R

$\mathbf{R}$

$\;\;\;$