ความแข็งของการคำนวณฉลาก Weisfeiler-Lehman

1 สลัว Weisfeiler-เลห์แมนอัลกอริทึม (WL) เป็นที่รู้จักกันทั่วไปว่าเป็นที่ยอมรับการติดฉลากหรือขั้นตอนวิธีการปรับแต่งสี มันทำงานได้ดังต่อไปนี้:

• เริ่มต้นสีเป็นชุดC 0 ( V ) = 1สำหรับทุกจุดv ∈ V ( G ) ∪ V ( H )$C_0$$C_0(v) = 1$$v \in V (G) \cup V (H)$
• ในรอบ st, สีC i + 1 ( v )ถูกกำหนดให้เป็นคู่ที่ประกอบด้วยสีก่อนหน้าC i - 1 ( v )และชุดสีหลายสีC i - 1 ( u )สำหรับ ทั้งหมดu ที่อยู่ติดกับโวลต์ ตัวอย่างเช่นC 1 ( v ) = C 1 ( w ) iff vและ$(i + 1)$$C_{i+1}(v)$$C_{i−1}(v)$$C_{i−1}(u)$$u$$v$$C_1(v) = C_1(w)$$v$$w$ มีระดับเดียวกัน
• เพื่อให้การเข้ารหัสสีสั้นหลังจากเปลี่ยนสีแต่ละรอบแล้ว

ให้กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางสองและHถ้ามัลติเซ็ตของสี (อาคาฉลาก) ของจุดยอดของGแตกต่างจากมัลติเซ็ตของสีของจุดยอดของHอัลกอริทึมรายงานว่ากราฟไม่ใช่ isomorphic; มิฉะนั้นจะแจ้งให้พวกเขาเป็น isomorphic$G$$H$$G$$H$

เป็นที่ทราบกันดีว่า 1-dim WL ทำงานได้อย่างถูกต้องสำหรับต้นไม้ทั้งหมดและต้องใช้รอบเท่านั้น$O({\log}n)$

คำถามของฉันคือ:

ความแข็งของการคำนวณ 1-dim WL label ของต้นไม้คืออะไร? ขอบเขตล่างดีกว่า logspace หรือไม่

ปัญหาในการตัดสินใจว่ากราฟสองกราฟมีป้ายกำกับที่เท่ากันหรือไม่และด้วยเหตุนี้ปัญหาในการคำนวณการติดฉลากแบบบัญญัติก็เสร็จสมบูรณ์แล้ว ดู

M. Grohe ความเท่าเทียมกันในตัวแปร - จำกัด logics เสร็จสมบูรณ์ในเวลาพหุนาม Combinatorica 19: 507-532, 1999. (เวอร์ชันการประชุมใน FOCS'96)

โปรดทราบว่าการปรับแต่งสีที่เท่าเทียมกันสอดคล้องกับความเท่าเทียมกันในตรรกะ C ^ 2

-Martin