การตรวจจับความสัมพันธ์จำนวนเต็มสำหรับชุด Sum หรือ NPP

มีวิธีในการเข้ารหัสอินสแตนซ์ของผลรวมย่อยหรือปัญหาการแบ่งพาร์ติชันเพื่อให้การแก้ปัญหา (เล็ก) ของความสัมพันธ์จำนวนเต็มให้คำตอบหรือไม่? ถ้าไม่อย่างแน่นอนแล้วในแง่ความน่าจะเป็นบางอย่าง?

ฉันรู้ว่า LLL (และอาจ PSLQ) ได้ถูกนำมาใช้กับความสำเร็จพอสมควรในการแก้ปัญหาระบบย่อยซำใน 'ความหนาแน่นต่ำ' ภูมิภาคที่ช่วงของตัวเลขได้รับการแต่งตั้งเป็นมากกว่าแต่วิธีการเหล่านี้ไม่ได้ดีขนาดไป กรณีของขนาดที่ใหญ่และล้มเหลวใน 'ความหนาแน่นสูง' ภูมิภาคเมื่อช่วงของตัวเลขที่เลือกมีขนาดเล็กกว่า Nที่นี่มีความหนาแน่นต่ำและมีความหนาแน่นสูงหมายถึงจำนวนโซลูชัน ภูมิภาคที่มีความหนาแน่นต่ำหมายถึงโซลูชันจำนวนน้อยหรือไม่มีเลยที่มีอยู่ในขณะที่ความหนาแน่นสูงหมายถึงภูมิภาคที่มีโซลูชันจำนวนมาก $2^N$ $2^N$

ในพื้นที่ที่มีความหนาแน่นสูง LLL ค้นหาความสัมพันธ์จำนวนเต็ม (เล็ก) ระหว่างอินสแตนซ์ที่กำหนด แต่เมื่อขนาดเพิ่มขึ้นความน่าจะเป็นของความสัมพันธ์ที่พบว่าเป็นผลรวมย่อยที่มีศักยภาพ

การตรวจจับความสัมพันธ์จำนวนเต็มเป็นพหุนามภายในขอบเขตเอกซ์โพแนนเชียลของขอบเขตที่เหมาะสมในขณะที่เซตซัมและเอ็นพีพีนั้นชัดเจนว่า NP-Complete ดังนั้นโดยทั่วไปนี่อาจเป็นไปไม่ได้ แต่ถ้าอินสแตนซ์ถูกสุ่ม

หรือฉันไม่ควรถามคำถามนี้ด้วยซ้ำและแทนที่จะถามว่ามีวิธีการลดขอบเขตที่อธิบายจากคำตอบที่ดีที่สุดแทนการเพิ่มเลขยกกำลังแทนหรือไม่

— user834
แหล่งที่มา

ฉันไม่ได้รับคำตอบดังนั้นฉันจึงข้ามโพสต์ไปที่ mathoverflow: mathoverflow.net/questions/38063/…

— 834

นี่เป็นคำถามที่น่าสนใจมากฉันยังรอคำตอบด้วย โดยทั่วไปคุณจะขอให้ลดเวลาพหุนาม (อาจจะสุ่ม) จากผลรวมย่อยหรือ NPP เป็นความสัมพันธ์จำนวนเต็ม วิธีการเกี่ยวกับเรื่องนี้ถ้า

เป็นเป้าหมายของปัญหาเซตผลรวมของคุณและ

เป็นชุดของจำนวนเต็มบวกกับ

แก้ปัญหาความพึงพอใจ

ตรงนี้เป็นการรวมกันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงเท่ากับ 1 ถ้าสำหรับแต่ละ

คุณได้ว่า

t = 0

$t=0$

S

$S$

S^{'}

$S'$

0 = \sum_{a \in S^{'}} a

$0=\sum_{a\in S'} a$

a_{i} \in S

$a_i \in S$

มีวิธีแก้ปัญหาอยู่เสมอและการจับคู่กับความสัมพันธ์จำนวนเต็มจะให้วิธีแก้ปัญหาด้วย

\sum_{i} a_{i} < 2^{n} - 1

$\sum_i a_i < 2^n-1$

— Marcos Villagra

@Marcos Villagra: ความคิดเห็นของคุณเป็นเรื่องยากที่จะแยกวิเคราะห์ ... หนึ่งสามารถฝังปัญหาเป็นปัญหาจำนวนพาร์ติชันย่อย / จำนวนพาร์ทิชันเป็นขัดแตะ (ดูที่นี่เพื่อตรวจสอบ) คำถามคือการหาวิธีที่จะ จำกัด สัมประสิทธิ์กับ ชุดที่ต้องการ (0,1 หรือ -1,1 พูด) LLL จะค้นหาความสัมพันธ์จำนวนเต็มแม้จะเป็นขนาดเล็ก แต่เพียงหนึ่ง 2 หรือ 3 เป็นค่าสัมประสิทธิ์จะทำให้มันเป็นโมฆะผลรวมย่อย / จำนวนพาร์ทิชันคำตอบ

— user834

$m=O(\log n)$ $\Omega(2^{m})$ $m=\omega(\log n)$ $m=o(n)$

อย่างไรก็ตาม Flaxman และ Przydatek ให้อัลกอริทึมที่แก้ปัญหาผลรวมย่อยความหนาแน่นปานกลางในเวลาพหุนามที่คาดหวัง

ตรวจสอบข้อมูลอ้างอิงนี้:

Flaxman และ Przydatek การแก้ปัญหาผลรวมย่อยความหนาแน่นปานกลางในเวลาพหุนามที่คาดหวัง

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

ผลลัพธ์นี้เป็นเพียงสำหรับการเลือกตัวเลขในอินสแตนซ์ผลรวมย่อยที่ต่ำกว่าที่ฉันต้องการ พวกเขาเลือกช่วงของตัวเลขตามลำดับของ log (n) ^ 2 ในขณะที่ฉันสนใจในช่วงของตัวเลขตามลำดับ 2 ^ n มีอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีในการแก้ปัญหา Sum Sum เมื่อช่วงของตัวเลขถูก จำกัด ให้อยู่ในระดับต่ำและดูเหมือนว่าพวกเขาเพิ่งขยายช่วงนี้ไปเล็กน้อยซึ่งเยี่ยมยอดมันไม่ใช่สิ่งที่ฉันกำลังมองหา ขอบคุณค่ะ

— user834