ใช้งานอัลกอริธึม BPP ด้วยสตริงแบบกึ่งสุ่มครึ่งคู่

พิจารณารูปแบบต่อไปนี้: สตริง n-bit r = r ₁ ... r _nถูกเลือกแบบสุ่ม ถัดไปแต่ละดัชนีi∈ {1, ... , n} จะถูกใส่เข้าไปในชุด A โดยมีความน่าจะเป็นอิสระ 1/2 ในที่สุดศัตรูจะได้รับอนุญาตสำหรับแต่ละi∈Aแยกกันเพื่อพลิก r _ฉันถ้ามันต้องการ

คำถามของฉันคือ: สามารถใช้สตริงที่เป็นผลลัพธ์ (เรียกว่า r ') โดยอัลกอริทึม RP หรือ BPP เป็นแหล่งสุ่มเท่านั้นหรือไม่ สมมติว่าฝ่ายตรงข้ามรู้ล่วงหน้าเกี่ยวกับอัลกอริทึม BPP ทั้งหมด, สตริง r และชุด A และมีเวลาการคำนวณไม่ จำกัด นอกจากนี้สมมติว่าอัลกอริทึม BPP รู้ดีว่าฝ่ายตรงข้ามไม่สามารถตัดสินใจได้

ฉันตระหนักดีว่ามีคำถามมากมายเกี่ยวกับงานนี้มานานตั้งแต่งานของ Umesh Vazirani เกี่ยวกับแหล่งที่มาแบบกึ่งสุ่ม (รูปแบบที่แตกต่างกัน ดังนั้นคำถามของฉันคือง่ายๆว่างานใด ๆ นั้นให้ผลลัพธ์ตามที่ฉันต้องการหรือไม่! วรรณกรรมเกี่ยวกับแหล่งกำเนิดสุ่มที่อ่อนแอมีขนาดใหญ่มากมีรูปแบบที่แตกต่างกันมากมายผู้ที่รู้ว่าวรรณกรรมอาจช่วยฉันได้มาก ขอบคุณล่วงหน้า!

สิ่งที่คุณต้องการคือ "แยกเมล็ด" กับพารามิเตอร์ต่อไปนี้: เมล็ดพันธุ์ของความยาว , สุ่มน้ำมันดิบn / 2 , และระยะเวลาในการส่งออกn Ω ( 1 ) สิ่งเหล่านี้เป็นที่รู้จักกัน แม้ว่าฉันจะไม่ได้รับการสำรวจความคิดเห็นล่าสุด แต่ฉันเชื่อว่าการสำรวจของ Ronenตอนที่ 3 นั้นเพียงพอแล้ว$O(\log n)$$n/2$$n^{\Omega(1)}$

สิ่งเดียวที่คุณจะต้องแสดงก็คือแหล่งที่มาของคุณมี "min-entropy" ที่เพียงพอนั่นคือไม่มีสตริง n-bit ได้รับความน่าจะเป็นมากกว่าซึ่งฉันคิดว่าชัดเจนในการตั้งค่าของคุณ$2^{-n/2}$

ฝ่ายตรงข้ามได้รับอนุญาตให้ดูสตริงทั้งหมด r ก่อนตัดสินใจว่าจะตั้งบิตใน A หรือไม่ หากคำตอบคือไม่นี่เป็นแหล่งแก้ไขบิตซึ่งสกัดได้จริง นั่นคือไม่จำเป็นต้องมีเมล็ดสุ่มอย่างแท้จริง ดูตัวอย่างเช่น Kamp และ Zuckerman สำหรับการสร้างตัวแยกสำหรับแหล่งที่มีการตรึงบิต

หากปฏิปักษ์ได้รับอนุญาตให้มองเห็นส่วนที่เหลือของสตริงฉันจะยังคงเดาได้ว่ามันสามารถสกัดได้แบบกำหนดรูปแบบได้ แต่แบบจำลองนั้นแตกต่างกันเล็กน้อยและฉันไม่รู้ว่าส่วนหัวของฉันเกี่ยวข้องกันอย่างไร เนื่องจากชุด A เป็นแบบสุ่มจริง ๆ แล้วมันยังเป็นมิตรกว่าแหล่งบิตที่กำหนดซึ่งชุด A อาจเป็นกฎเกณฑ์

แน่นอนว่าถูกต้องแน่นอน ในอดีตการจำลองครั้งแรกของ BPP ที่มีแหล่งที่มาของอัตราค่าคงที่เอนโทรปีใด ๆ ได้รับในกระดาษของฉัน "การจำลอง BPP โดยใช้แหล่งที่มาแบบสุ่มอ่อนแอ" ขณะนี้มีวิธีที่ง่ายกว่าในการบรรลุเป้าหมาย

การสกัดแบบบิตที่กำหนดได้มากกว่าจำนวนคงที่เป็นไปไม่ได้ในโมเดลของคุณ (คุณสามารถรับการสกัดแบบ จำกัด อย่างอ่อนแอเพียง 1 บิตโดยส่งออกบิตแรก) Kamp และฉันแสดงให้เห็นว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะสกัดมากกว่าจำนวนบิตคงที่ในแหล่งบิตตรึงแบบไม่ลืมเลือนทั่วไปพร้อมอัตราเอนโทรปีคงที่ แต่เนื่องจากชุด A เป็นแบบสุ่มผลลัพธ์เหล่านั้นจึงไม่สามารถใช้งานได้ตามที่ระบุไว้ อย่างไรก็ตามหลักฐานของเราทำงานโดยเลือก A โดยการสุ่มขนาดคงที่ t ดังนั้นโดยเลือก t = .6n พูดผลลัพธ์สำหรับการสุ่ม A จะสม่ำเสมอ