การทำกราฟวงจรคี่ที่ไม่มีคอร์ดขั้นต่ำขั้นต่ำ: มันเป็น NP-hard หรือไม่?

ปัญหาที่น่าสนใจต่อไปนี้เกิดขึ้นในงานวิจัยของฉันเมื่อเร็ว ๆ นี้:

เช่น: กราฟE)$G(V, E)$

การแก้ไข: ความสมบูรณ์แบบควอร์ดที่ไม่มีคอร์ดกำหนดเป็นชุดของชุดขอบเพื่อให้กราฟที่เสร็จสมบูรณ์มีคุณสมบัติที่ทุกขอบของมีอยู่ในวงจรคดเคี้ยวแบบคดเคี้ยว$E'$$E$$G'(V, E')$$G'$

วัด: ขนาดของความสำเร็จคือ.$|E' - E|$

จนถึงตอนนี้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าปัญหาที่แก้ไขแล้วของรุ่นนี้คือปัญหา NP-complete ซึ่งแทนที่จะต้องการให้ "ทุก ๆ ขอบของถูกบรรจุอยู่ในวงจรคี่ไร้คอร์ด" เราต้องการคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่า "ทุก ๆ ขอบนั้นมีอยู่ ในรูปสามเหลี่ยม (รอบความยาว 3) " (โปรดทราบว่าสิ่งนี้ไม่เทียบเท่ากับปัญหาการย่อกราฟขั้นต่ำ )$G'$

อดีตนั้นเห็นได้อย่างง่ายดายว่าเป็นลักษณะทั่วไปของสิ่งหลัง แต่นี่เป็นความพยายามทั้งหมดของฉันที่จะพิสูจน์ว่ามันล้มเหลว ใครสามารถมาพร้อมกับตัวชี้ / การอ้างอิง / ฯลฯ

เราพิสูจน์ว่าปัญหานั้นเกิดจากปัญหา NP-hard แม้ว่าจะอยู่ในรูปแบบการตัดสินใจนั่นคือ '' กราฟอินพุตมีความสมบูรณ์แบบวงจรคอร์ดที่ไม่สมบูรณ์หรือไม่ '' โดยการลดจากปัญหาต่อไปนี้:$G$

ปัญหา P : จากกราฟและขอบe ∈ E ( G )มีวงจรคี่ไม่มีความยาวมากกว่า 3 ผ่านeหรือไม่?$G$$e\in E(G)$$e$

ปัญหานี้เป็นที่ทราบกันดีว่า NP-hard โดยการลดลงจาก '' การตรวจจับแบบไม่มีการเรียงตัวแม้จะผ่านรอบโหนดที่กำหนด '' ในการอ้างอิงที่ให้ไว้ในความคิดเห็นของคุณซึ่งระบุไว้ในวรรคก่อนส่วนที่ 3 โดยให้และq = 2 :$p=0$$q=2$

เพื่อให้และp ≥ 0เป็นจำนวนเต็มคงที่โดยพลการ ปัญหาต่อไปนี้เป็นรุ่น NP-สมบูรณ์: ไม่กราฟGประกอบด้วยวงจรเหนี่ยวนำผ่านจุดสุดยอดที่กำหนดUความยาวหน้า (สมัยQ )? ...$q>1$$p\ge 0$$G$$u$$p$$q$

(อาจจะมีการลด Karp แต่ถ้าเราอนุญาตให้ใช้ Cook ได้ให้พิจารณาการลดดังต่อไปนี้: การแทนที่โหนด degree d ที่กำหนดเป็น subgraph สมบูรณ์ขนาด d ด้วยขอบขาออกที่เหมาะสมจากนั้นสำหรับแต่ละขอบในกราฟที่สมบูรณ์ oracle ที่แก้ปัญหา P โปรดทราบว่า chordless แม้กระทั่งวงจรที่ผ่านโหนดที่กำหนดนั้นจะสอดคล้องกับวงจรคี่ที่ไร้คอร์ดที่มีความยาวมากกว่า 3 ที่ผ่านหนึ่งในขอบของกราฟที่สมบูรณ์)

ตอนนี้สำหรับการลดหลัก รับตัวอย่างของปัญหา P ก่อนอื่นเราตรวจพบว่ามีสามเหลี่ยมใด ๆ ที่ส่งผ่านหรือไม่; ถ้าเป็นเช่นนั้นลบทุกโหนดที่รูปแบบรูปสามเหลี่ยมที่มีอี โปรดทราบว่าการลบโหนดที่สร้างรูปสามเหลี่ยมด้วยeจะไม่ลบวงคี่ที่ไม่มีคอร์ดใด ๆ ที่ส่งผ่านe (โดยคุณสมบัติที่ไม่ต่อเนื่อง)$e$$e$$e$$e$

ถัดไปสำหรับแต่ละขอบอื่น ๆ นอกเหนือจากE = ( U , V )เราเพิ่มผู้ช่วยโหนดวีฉและสองขอบ( วีF , U )และ( วีเอฟ , โวลต์ ) สังเกตว่ากราฟใหม่G ′มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:$f$$e=(u,v)$$v_f$$(v_f,u)$$(v_f,v)$$G'$

มีวงจรคี่ที่ไร้คอร์ดที่มีความยาวมากกว่า 3 ผ่าน eถ้าหาก G ′เป็นคี่วงจรคอร์ดที่ไม่มีคอร์ด$G$$e$$G'$

สำหรับเฉพาะในกรณีที่ทิศทางก็สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการพิจารณาความแตกต่างของขอบใน ' ขอบอื่น ๆ ที่ไม่ใช่e (รวมถึงขอบที่เพิ่งเพิ่มเข้าไปใหม่) นั้นจะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมอย่างน้อยหนึ่งรูป (ขอบที่มีโหนดเสริม); และeจะอยู่ในวงจรคอร์ดไร้คอร์ดในG ′เนื่องจากมีวงจรควอร์ดไร้คอร์ดผ่านeในGและรอบจะไม่ถูกลบออกในระหว่างกระบวนการลบโหนด$G'$$e$$e$$G′$$e$$G$

สำหรับในกรณีที่ทิศทางตั้งแต่ขอบอื่น ๆ กว่าทุกจะต้องอยู่ในอย่างน้อยหนึ่งสามเหลี่ยมเราเท่านั้นที่ต้องกังวลเกี่ยวกับขอบอี มี chordless วงจรแปลกผ่านเป็นอีในG ' ( G 'เป็น chordless เสร็จสิ้นรอบคี่) รอบไม่สามารถมีความยาว 3 ได้โดยการสร้างG ′และเนื่องจากรอบไม่สามารถมีโหนดเสริมใด ๆ (โดยคุณสมบัติที่ไม่มีตัวตน) จึงจะอยู่ในกราฟGเช่นกัน ดังนั้นหลักฐานจึงสมบูรณ์$e$$e$$e$$G'$$G'$$G'$$G$