ความซับซ้อนของ“ เป็นกราฟผลิตภัณฑ์”

คำถามนี้เกิดขึ้นจากความอยากรู้อย่างแท้จริง (มันเกิดขึ้นในขณะที่คิดเกี่ยวกับการคลายสตริงแต่ฉันไม่แน่ใจว่ามันเกี่ยวข้องกันจริง) ดังนั้นฉันหวังว่ามันจะเหมาะสม

มีผลิตภัณฑ์กราฟที่หลากหลายและฉันสนใจพวกเขาที่นี่ ความซับซ้อนในการพิจารณาว่ากราฟเป็น isomorphic กับผลิตภัณฑ์ที่ไม่สำคัญหรือไม่? (แน่นอนว่าสำหรับผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนโดยที่คือกราฟที่มีจุดสุดยอดหนึ่งจุด)K = K ◻ 1 $K$$K = K \square 1$$1$

ฉันได้ดูหน้า "กราฟปัจจัย" และ "กราฟการแยกตัวประกอบ" บน Wikipedia แต่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกัน ปัญหานี้รู้จักในชื่ออื่นหรือไม่?

ตรวจสอบหนังสือพิมพ์ Wilfried, Imrich; Iztok, Peterin, ตระหนักถึงผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนเส้นเวลา คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง, 307, 3-5, หน้า: 472--483, 2007 ฉันคิดว่า Imrich มีเอกสารมากกว่าสำหรับผลิตภัณฑ์อื่น

ผลิตภัณฑ์กราฟหลายชนิดสามารถรับรู้ได้ในเวลาพหุนาม ตามปกติแล้วผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนนั้นง่ายที่สุดและกรณีคาร์ทีเซียนก็เป็นพื้นฐานสำหรับอัลกอริทึมสำหรับผลิตภัณฑ์อื่น ๆ อีกมากมาย การรับรู้ของผลิตภัณฑ์พจนานุกรม (องค์ประกอบ) เทียบเท่ากับกราฟมอร์ฟิซึม

รายละเอียดเพิ่มเติม:

ให้เป็นคลาสของกราฟแบบง่าย ๆ อัน จำกัด และΓ 0เป็นคลาสของกราฟอย่างง่ายแบบ จำกัด ซึ่งอาจมีลูปเป็นของตัวเอง (เห็นได้ชัดแกมมา⊂ แกมมา0 .)$\Gamma$$\Gamma_0$$\Gamma \subset \Gamma_0$

การตัดสินใจว่ากราฟอินพุตที่เชื่อมต่อมีปัจจัยในΓ 0สามารถทำได้ในเวลาพหุนามสำหรับผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนและผลิตภัณฑ์ที่มีความแข็งแกร่งและสำหรับผลิตภัณฑ์โดยตรงเมื่อGไม่ใช่แบบสองฝ่าย การตัดสินใจว่าGมีปัจจัยในΓอยู่ในเวลาพหุนามสำหรับผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนหรือไม่ แต่ไม่น่าจะอยู่ในเวลาพหุนามสำหรับผลิตภัณฑ์พจนานุกรม ฉันไม่ทราบสถานะของการตัดสินใจว่าGมีปัจจัยในΓสำหรับผลิตภัณฑ์โดยตรงและแข็งแกร่งหรือไม่$G$$\Gamma_0$$G$$G$$\Gamma$$G$$\Gamma$

ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องจาก Imrich และKlavžar:

ทฤษฎีบท 4.10 สำหรับกราฟบนnจุดและม.ขอบหนึ่งสามารถหาตัวประกอบที่สำคัญเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ Cartesian ในO ( มn )เวลาใช้O ( เมตร)พื้นที่$G$$n$$m$$O(mn)$$O(m)$

ทฤษฎีบท 5.43 การสลายตัวของปัจจัยสำคัญของกราฟที่เชื่อมต่อและไม่แยกคู่ในเทียบกับผลิตภัณฑ์โดยตรงและกราฟง่าย ๆ ที่เชื่อมต่อซึ่งเกี่ยวข้องกับผลิตภัณฑ์ที่แข็งแกร่งสามารถระบุได้ในเวลาพหุนาม$\Gamma_0$

$O(m\log n)$$O(m)$

สำหรับผลิตภัณฑ์คำศัพท์:

ทฤษฎีบท 6.20 ปัญหาการตัดสินใจว่ากราฟที่เชื่อมต่อที่กำหนดนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับผลิตภัณฑ์ lexicographic นั้นยากอย่างน้อยที่สุดเท่าที่ปัญหา isomorphism กราฟ

$n$$n$

ดังนั้นการตัดสินใจว่ากราฟนั้นมีความสำคัญสำหรับผลิตภัณฑ์พจนานุกรมหรือเทียบเท่ากับกราฟ ISOMORPHISM ที่เกี่ยวกับการลดทอนของทัวริง

กรณีของผลิตภัณฑ์โดยตรงและแข็งแรงที่มีปัจจัยโดยไม่มีลูปดูเหมือนว่าจะหายไปจากการอ้างอิงที่ฉันได้ดู ฉันขอขอบคุณพอยน์เตอร์ที่มีต่อเอกสารที่กล่าวถึงกรณีนี้หรือคำใบ้ว่าทำไมมันถึงไม่น่าสนใจ

• Wilfried Imrich และสันดิคลาฟซาร์, กราฟสินค้า: โครงสร้างและการรับรู้ ไวลีย์, 2000. ไอ 0-471-37039-8

มีอัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาสำหรับการพิจารณาปัจจัยสำคัญของกราฟที่เชื่อมต่อกับผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน ดูกระดาษโดย Imrich และ Peterin