ทำไมเราใช้เครื่องจักรทัวริงเทปเดี่ยวเพื่อความซับซ้อนของเวลา?

อย่างที่คุณรู้ว่ามีความผิดปกติมากมายสำหรับเครื่องทัวริงเทปเดี่ยวเมื่อเวลาคือ : การจำลอง TM มัลติเทป, การจำลองตัวอักษรเทปขนาดใหญ่ที่มีเพียง , ความสามารถในการสร้างเวลา ทฤษฎีลำดับขั้นของเวลาไม่รัดกุม ... $o(n^2)$ $\{0,1,b\}$

ผลลัพธ์เช่นและขอบเขตของเฉพาะเจาะจงมากๆ สำหรับปัญหาแบบง่าย ๆ (ซึ่งไม่ได้แปลว่าแม้แต่สุดยอดขอบเขตต่ำบนสอง เทป TM) $\mathsf{DTime}(o(n\lg n)=\mathsf{Reg}$ $O(n^2)$

สำหรับความซับซ้อนของพื้นที่เราใช้แบบจำลองที่เรามีอินพุตเทปแบบอ่านอย่างเดียวแยกต่างหากซึ่งเป็นธรรมชาติและแข็งแกร่งกว่า

รุ่น TM ที่มีหลายเทป (หรืออย่างน้อย 2 เทปการทำงาน) จะมีประสิทธิภาพมากกว่าและจะไม่นำไปสู่ความผิดปกติเช่นเดียวกับที่ฉันระบุไว้ข้างต้น ฉันเคยถามนักทฤษฎีความซับซ้อนที่โดดเด่นซึ่งได้พิสูจน์ผลลัพธ์การจำลองในปีแรก ๆ ของทฤษฎีความซับซ้อนถ้าเขารู้การปรับปรุงใด ๆ ในผลลัพธ์เก่า ๆ เหล่านี้และคำตอบก็คือเขาไม่คิดว่า "คำถามเกี่ยวกับแบบจำลองเทปเดียวคือ สำคัญ".

หากเราเปลี่ยนแบบจำลองมาตรฐานสำหรับความซับซ้อนของเวลาเป็นสอง TM เทปผลลัพธ์ที่สมเหตุสมผลในทฤษฎีความซับซ้อนจะไม่เปลี่ยนแปลงและเราหลีกเลี่ยงความผิดปกติเหล่านี้ที่เกิดจากแบบจำลองเฉพาะ ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

มีเหตุผลใดที่ความซับซ้อนของเวลายังคงถูกกำหนดในรูปแบบของ TM เทปเดี่ยว? (นอกเหนือจากเหตุผลทางประวัติศาสตร์)

cc.complexity-theory turing-machines

— Kaveh
แหล่งที่มา

ฉันไม่เคยเห็นความซับซ้อนของเวลาที่กำหนดโดย TM เทปเดี่ยว ฉันเพิ่งเห็นคลาสความซับซ้อนของเวลาที่มีประสิทธิภาพซึ่งกำหนดโดย TM เทปเดี่ยว

$\:$

$\;\;$

@ Ricky ฉันหมายถึงความซับซ้อนของเวลาของปัญหาถูกกำหนดในแง่ของความซับซ้อนของเวลาของ TM เทปเดี่ยวที่สามารถแก้ไขได้

— Kaveh

และฉันหมายความว่าฉันไม่เคยเห็นสิ่งที่ทำ ฉันก็เห็นการเข้าถึงแบบสุ่ม

$\:$

$\;\;$

แต่นั่นเป็นคำจำกัดความตามปกติจริงๆเหรอ? สิ่งที่ฉันได้เห็นในตำราคือ: 1) กำหนดเครื่องทัวริงเทปเดี่ยว (เพราะมันง่ายกว่า); 2) แสดงวิธีที่จะขยายไปยังสายพันธุ์อื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลายเทปและการเข้าถึงแบบสุ่ม; 3) แสดงให้เห็นว่าสิ่งเหล่านี้สามารถจำลองซึ่งกันและกันโดยที่พหุนามส่วนใหญ่ชะลอตัวลง; 4) ลืมเกี่ยวกับตัวแบบทันทีส่วนใหญ่อย่างน้อยก็จนกว่าเราจะต้องการสิ่งที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเช่นเครื่อง oracle และการลด logspace; ดังนั้นเช่น @RickyDemer ฉันจะท้าทายการอ้างสิทธิ์ว่านี่เป็นคำจำกัดความปกติ

— Sasho Nikolov

ฉันไม่มีคำตอบสำหรับเรื่องนี้ แต่ฉันแค่ต้องการชี้ให้คุณเห็นโดย Yamakami ( springerlink.com/content/u844854721p83870 ) เอกสารนี้อธิบายเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อคุณเพิ่มคำแนะนำลงในเครื่องขนาดเล็ก (เช่น linear-time one-tape TM) มันพิสูจน์การแบ่งคลาสได้หลายคลาส แต่ใช้กับ TM เทปเดียวนี้ การแยกเหล่านี้จะไม่ทำงานหากคุณมี TM ชนิดอื่น ฉันคิดว่านี่เป็นตัวอย่างที่ดีที่คุณสามารถพิสูจน์สิ่งที่ยอดเยี่ยมด้วยเทปเดียวและอาจไม่สามารถใช้กับรุ่นอื่นได้ คุณธรรมคือ "หนึ่งเทปสำคัญเมื่อคุณจัดการกับสิ่งที่ลึกซึ้ง"

— Marcos Villagra

คำตอบ:

คำตอบอื่น ๆ ดูดีมาก ฉันต้องการแบ่งปันความคิดเห็นกับรัสเซลอิมพาเกลซโซเมื่อหลายปีก่อนในการบรรยายซึ่งติดอยู่กับฉันตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ฉันคิดว่าทัวริงอาจต้องการ TM เทปเดียวเนื่องจากความน่าเชื่อถือทางกายภาพ

ฉันชี้รัสเซลไปที่กระทู้นี้เมื่อหลายวันก่อน แต่เมื่อเขาไม่ได้อยู่ที่นี่ฉันก็อยากให้ความเห็นของเขาเป็นที่รู้จักและจะพยายามอย่างเต็มที่ที่จะตีความมัน

สำหรับ TM เทปเดี่ยวหากคิดว่าเทปที่มีความยาวไม่ จำกัด (โปรดติดกับฉัน) คุณสามารถสร้าง TM ซึ่งต้องการพลังงานจำนวน จำกัด ต่อการวนซ้ำ ลองนึกภาพเทปที่เป็นแท่งยาวและส่วนหัวซึ่งมีลอจิก TM ทั้งหมดเพียงแค่เคลื่อนที่ไปตามแกนนี้ (ฉันคิดว่ามันเป็นอุปกรณ์คุมกำเนิดที่น่ารักเล็ก ๆ น้อย ๆ โดยใช้เทคโนโลยีดั้งเดิมมากคันสามารถมีรอยหยักเพื่อช่วยได้และเนื้อหาของเซลล์เทปก็อาจเป็นบล็อกแบบเลื่อนตั้งฉากกับแกนแกนได้)

ในทางกลับกันคุณทำสิ่งนี้เพื่อ -tape TM ได้อย่างไร ถ้าคุณมี $k$ $k$ จากการคุมกำเนิดข้างต้นพวกเขาจะต้องสื่อสารสถานะการอ่านของพวกเขาไปยังหัวอื่น ๆ ที่อยู่ห่างไกลมากซึ่งใช้พลังงานจำนวนมาก (พูดว่าคุณใช้สายไฟซึ่งจำเป็นต้องมีการรั่วไหลของความร้อน) และยิ่งไปกว่านั้น หากคุณเก็บหัวไว้ด้วยกันและย้ายเทปไว้ข้างใต้คุณจะต้องใช้พลังงานมากพอที่จะย้ายเทปที่มีความยาวไม่ จำกัด .. ฉันไม่เห็นวิธีการรับพลังงานที่ถูกผูกไว้ในทั้งสองกรณี เทคนิคเช่นการเพิ่มขนาดของเทปหด (เพื่อให้มีความยาวแน่นอน) สมมติว่าจักรวาลที่ไม่มีตัวตนหารลงตัวและละเมิดสิ่งต่าง ๆ เช่นค่าคงตัวของพลังค์และหลักการโฮโลกราฟิก แม้จะไม่สนใจสิ่งเหล่านี้กลไกในหัวต้องแม่นยำโดยพลการซึ่งก่อให้เกิดปัญหาพลังงานอีกครั้งและมีความซับซ้อนอย่างน่าอัศจรรย์

แน่นอนโครงการแรกมีปัญหา: การสร้างเทปที่ไม่มีที่สิ้นสุดพร้อมรอยหยักจำนวนมากอนันต์หลายดวงเพื่อสะสมพลังงานแสงอาทิตย์บนหัวที่เคลื่อนที่การจัดหาอุปกรณ์ทำความสะอาดและบำรุงรักษาที่ไม่มีที่สิ้นสุดเป็นต้นบางทีอาจเป็นความก้าวหน้าครั้งสำคัญในกลศาสตร์ควอนตัม สามารถปล่อยให้หัว -tape สื่อสารกันได้ แต่ตอนนี้ดูว่าการคุมกำเนิดของเราซับซ้อนแค่ไหน ฉันคิดว่าความคิดเห็นของรัสเซลน่าสนใจมาก $k$

— Matus
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าทัวริงพยายามทำให้แนวคิดของ "การคำนวณ" เป็นนามธรรมและไม่ใช่การสร้างแบบจำลองสำหรับอุปกรณ์ทางกายภาพ ในกรณีนั้นเครื่องทัวริงเทปเดี่ยวจะจับสัญชาตญาณทางปรัชญาอย่างหมดจดที่การคำนวณเกี่ยวข้องกับการเข้าถึงหน่วยความจำขนาดใหญ่ (ไม่มีที่สิ้นสุด)

— Sasho Nikolov

ฉันคาดหวังด้วยเหตุผลทางทฤษฎี (ไม่ใช่ความเป็นจริงของโมเดล) แต่ฉันพบว่าคำตอบนี้น่าสนใจมากดังนั้นฉันจึงยอมรับมัน ขอบคุณอีกครั้ง.

— Kaveh

การรักษาหัวเทปไว้ให้ดูเหมือนว่าเราสามารถสร้างพลังงานโดยรวมหรือหวังว่าจะไม่เลวร้ายไปกว่า quasilinear ในเวลาโดยวิศวกรรมรูปแบบของการก่อสร้าง Hennie-Stearns ฉันจินตนาการว่าเทปม้วนเป็นวงใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ ในขณะที่มันขยายไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง ... หรืออีกอย่างในจินตนาการที่หลอดม้วนเทป 100 เทปไปยังแกนม้วนแกน 100 แกนไปยังชั้นวาง 100 ชั้นไปยังโกดังและบนและ บน. แน่นอนสำหรับพลังงาน จำกัด ต่อการทำซ้ำเราต้องการพลังงานเชิงเส้นตรงเวลา แต่ควอซินเนียร์นั้นดีกว่าสมการกำลังสองไร้เดียงสาดังนั้นฉันคิดว่าฉันจะพูดถึงมัน

— Dan Brumleve

$f(n)$

มีเหตุผลทางการสอนที่ชัดเจนว่าทำไม Sipser ทำสิ่งนี้กล่าวคือเส้นทางนั้นไหลตามธรรมชาติเพราะ:

คุณควรแนะนำเครื่องเทปเดี่ยวก่อนเครื่องมัลติเทปมิฉะนั้นจะทำให้ช่วงการเรียนรู้สูงขึ้น
$\cdot$ $\cdot$
คุณควรเปรียบเทียบเครื่องมัลติเทปกับเครื่องเทปเดี่ยวเมื่อคุณแนะนำเครื่องมัลติเทปมิฉะนั้นความไม่รู้ที่ยืดเยื้อจะนำไปสู่ความสับสนเพิ่มเติม
คุณสามารถละเว้นการแนะนำคลาส TIME แบบอะนาล็อกสำหรับเครื่องมัลติเทปได้

ไม่มีเหตุผลใดที่จะพูดเล่นเรื่องความสะอาดของแนวคิดเมื่อการสอนนั้นชัดเจนเส้นทางที่ง่ายที่สุดและวิทยาการคอมพิวเตอร์ทุกคนจะต้องเข้าเรียนหลักสูตรเบื้องต้นนี้รวมถึงผู้ที่ยังไม่เข้าใจหลักฐาน

— Jeff Burdges
แหล่งที่มา

ไม่ IIRC การเผชิญหน้าครั้งแรกของฉันกับ TM คือ Hopcroft และ Ullman รุ่นแรก แต่เหตุผลที่ฉันถามคำถามนี้เกี่ยวข้องกับตำราเรียนที่ดีของ Sipser จริง ๆ ฉันสอนทฤษฎีความซับซ้อนตาม Sipser และฉันรู้สึกว่ามันจะง่ายขึ้นและสะอาดขึ้น (โดยไม่ต้องสูญเสียเนื้อหาที่จำเป็น) สำหรับฉันและนักเรียน -tape TMs รายละเอียดทางเทคนิคเล็ก ๆ เหล่านี้ทั้งหมดเกี่ยวกับการเข้าถึง TM เทปเดี่ยว ๆ แบบ จำกัด จะหลีกเลี่ยงได้และฉันสามารถครอบคลุมเนื้อหาที่น่าสนใจมากขึ้นในระยะเวลาที่ จำกัด ที่ฉันมี Sipser รู้สึกผ่อนคลายเกี่ยวกับการใช้วิทยานิพนธ์ของโบสถ์ - ทัวริง,

— Kaveh

ดังนั้นฉันคิดว่าการผ่อนคลายในส่วนนี้ก็อาจใช้ได้ ในส่วนของทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลาเขากล่าวว่าปัจจัยบันทึกพิเศษไม่จำเป็นถ้าเรามีหลายเทปและมันจะค่อนข้างแน่น นี่ทำให้ฉันต้องขอดูว่ามีเหตุผลใดที่ไม่ใช่เรื่องประวัติศาสตร์สำหรับการใช้ TM เทปเดี่ยวสำหรับความซับซ้อนของเวลา มันไม่เลวร้ายไปกว่าการใช้เทปแบบอ่านอย่างเดียวแยกต่างหากสำหรับความซับซ้อนของพื้นที่ (และอีกครั้งที่เป็นส่วนใหญ่เนื่องจาก TM เทปเดียวไม่จับสัญชาตญาณเกี่ยวกับความซับซ้อนของพื้นที่ขนาดเล็กเป็นอย่างดี)

— Kaveh

ฉันไม่เห็นว่าใครจะเข้าใจขอบเขตพื้นที่ย่อยเชิงเส้นได้โดยไม่ต้องใช้เทปอินพุตแยกกัน

$\;$

ใช่ฉันคิดว่า SPACE ทำแตกต่างกันไปบางส่วนเพราะคุณกำลังทำขอบเขตย่อยซึ่งคุณอาจไม่ได้ใช้เวลา ฉันขอโต้แย้งสำหรับการลงเวลาหรือทำสิ่งที่ Sipser ทำเพื่อ SPACE หากคุณต้องการทำเช่นนี้แน่นอนฉันต้องการพูดคุยเกี่ยวกับ TIME หรือ TIME_1 หรืออะไรก็ตามที่อยู่ก่อนเครื่องมัลติเทป

— เจฟฟ์เบอร์ดจ์

ที่น่าสนใจ Sipser พูดเพียง "เครื่องจักรทัวริง" เมื่อกำหนด SPACE (f (n)) แต่ต่อมาจะเปลี่ยนคำจำกัดความเมื่อพูดถึงฟังก์ชั่นซับลิเนียร์ f กำหนดการฝึกบนความเท่าเทียมกันสำหรับ superliner f ฉันเคยสอนเนื้อหานี้จาก Sipser มาก่อน ฉันไม่ได้คิดมากเกี่ยวกับมันในตอนนี้ แต่ฉันก็พอใจในตอนนี้

— เจฟฟ์ Burdges

เครื่องทัวริงดั้งเดิมอธิบายโดยใช้เทปเดียว:

www.cs.ox.ac.uk/activities/ieg/e-library/sources/tp2-ie.pdf

ดังนั้นตามที่คุณระบุไว้ในคำถามของคุณสิ่งนี้มีไว้เพื่อเหตุผลทางประวัติศาสตร์เป็นหลัก นอกจากนี้ยังมีแนวโน้มที่จะถามสิ่งที่เป็นแบบง่ายที่สุดที่สามารถทำอะไร ...

นอกจากนี้เนื่องจากหัวข้อนี้มักจะได้รับการสอนอย่างเป็นทางการจึงเป็นเรื่องง่ายในทางเทคนิคในการอธิบายเครื่องเทปเดี่ยวมากกว่าเครื่องเทปสองเครื่อง

ดูสิ่งนี้ด้วย:

http://www.cs.utah.edu/~draperg/cartoons/2005/turing.html

— Sariel Har-Peled
แหล่งที่มา