คู่ของวง homotopic ที่แยกจากกันในกราฟแยกกันหรือไม่?

ให้เป็นกราฟที่ฝังอยู่บนพื้นผิวที่กะทัดรัดของสกุลเพื่อให้การฝังเป็นเซลลูลาร์ พิจารณาคู่ของกราฟ * ให้และจะเคลื่อนรอบในที่มี homotopic กับแต่ละอื่น ๆ และให้และเป็นชุดขอบที่สอดคล้องกันในตามลำดับ คือกราฟตัดการเชื่อมต่อ?$G$$g$$G^*$$C_1$$C_2$$G^*$$E_1$$E_2$$G$$G \setminus (E_1 \cup E_2)$

ใช่. ขอผมเขียนสำหรับพื้นผิวที่ฝังตัวและ$\Sigma$$G$$G^*$

เพราะรอบและเป็น homotopic พวกเขาจะยังอยู่ในเดียวกันระดับ -homology ดังนั้นตามคำนิยามความแตกต่างที่สมมาตรคือขอบเขตของการรวมกลุ่มของใบหน้าบางส่วนของ ; โทรสหภาพของใบหน้านี้U(อันที่จริงแล้วหรือส่วนประกอบของต้องเป็นห่วง แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ)$C_1$$C_2$$\mathbb{Z}_2$$C_1\oplus C_2$$G^*$$U$$U$$\Sigma\setminus U$

เพราะและเป็นเคล็ดที่แตกต่างสมมาตรเท่ากับสหภาพC_2 โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรามีซึ่งบอกเป็นนัยว่าทั้งและส่วนประกอบ$C_1$$C_2$$C_1\oplus C_2$$C_1\cup C_2$$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$$U$$\Sigma\setminus U$นั้นไม่ว่างเปล่า ในคำอื่น ๆ ใต้ผิวดิน$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$ ถูกตัดการเชื่อมต่อ

เส้นทางใดก็ได้ใน $G$ สามารถดูได้เป็นเส้นทางใน $\Sigma$ ที่หลีกเลี่ยงจุดยอดของ $G^*$และในทางกลับกัน (สูงถึง homotopy) ดังนั้นองค์ประกอบ (กราฟ) ของ$G\setminus (E_1\cup E_2)$ สอดคล้องทางชีวภาพกับองค์ประกอบ (พื้นผิว) ของ $\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$. เราสรุปได้ว่า$G\setminus (E_1\cup E_2)$ ถูกตัดการเชื่อมต่อ

โดยสันนิษฐานว่า $\Sigma$ is orientable ไม่เคยใช้