ภาพเรขาคณิตหลังตัวขยายควอนตัม

(ถามที่นี่ไม่มีคำตอบ)

A -quantum expander เป็นการกระจายไปยังกลุ่มที่รวมด้วยคุณสมบัติที่: a) , b)โดยที่\ mu_Hคือการวัด Haar ถ้าแทนที่จะเป็นการแจกแจงหน่วยการเรียนรู้เราพิจารณาการแจกแจงผ่านเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปมันไม่ยากที่จะเห็นว่าเรากู้คืนคำจำกัดความตามปกติของกราฟตัวขยายแบบd-ผิดปกติ สำหรับพื้นหลังเพิ่มเติมดูเช่น: เครื่องมือขยายผลิตภัณฑ์ควอนตัมเทนเซอร์อย่างมีประสิทธิภาพและการออกแบบ kโดย Harrow และ Low$(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$

คำถามของฉัน - ไม่ขยายควอนตัมยอมรับชนิดของการตีความทางเรขาคณิตใด ๆ คล้ายกับขยายคลาสสิก (ที่ช่องว่างสเปกตรัม$\sim$ isoperimetry / การขยายตัวของกราฟอ้างอิง)? ฉันไม่ได้นิยาม "การก่อให้เกิดทางเรขาคณิต" อย่างเป็นทางการ แต่ในทางแนวคิดแล้วเราสามารถหวังได้ว่าเกณฑ์สเปกตรัมล้วนๆสามารถแปลเป็นภาพเรขาคณิตบางรูปแบบได้ (ซึ่งในกรณีคลาสสิกนั้นเป็นที่มาของความร่ำรวยทางคณิตศาสตร์ ดูเหมือนจะมีข้อ จำกัด มากกว่า)

[คำตอบนี้ถูกคัดลอกมาจากคำตอบของฉันในไซต์สแตคเทอร์เชนจ์แลกเปลี่ยนทฤษฏีทฤษฏีที่หมดอายุแล้วในปัจจุบัน] สำหรับผู้ขยายแบบคลาสสิกคำจำกัดความทางสเปกตรัมสามารถแสดงได้ในรูปของ eigenvalue รูปแบบสมการกำลังสองเหนือเวกเตอร์ทุกหน่วยมุมฉากเป็นเวกเตอร์ทั้งหมด หากเรา จำกัด การย่อให้เล็กสุดนี้เป็นเวกเตอร์ของฟอร์ม (a, a, ... , a, b, b, ..b) จากนั้นนี่จะทำให้การขยายขอบของกราฟ นี่คือการสนทนา สมดุลคร่าวๆของทั้งสองคำจำกัดความเป็นที่รู้จักกันเป็นความไม่เท่าเทียมกันของ Cheeger

สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าสำหรับกรณีควอนตัมเราควรพิจารณาการกระทำของช่องสัญญาณ (เกิดจากการใช้การรวมกันแบบสุ่มจากเครื่องขยาย) กับเครื่องฉาย ผลคล้ายกับความไม่เท่าเทียมกัน Cheeger ได้มาในภาคผนวก A ของarXiv: 0706.0556

ในทางกลับกันในขณะที่นี่คล้ายคลึงกับคณิตศาสตร์เรายังคงทราบถึงการใช้งานเครื่องขยายควอนตัมน้อยกว่าที่รู้จักกันในเครื่องขยายแบบดั้งเดิม