VC-dimension ของทรงกลมใน 3 มิติ

ฉันกำลังค้นหามิติ VC ของระบบชุดต่อไปนี้

จักรวาลเช่นว่า 3 ในระบบชุดแต่ละชุดสอดคล้องกับทรงกลมในดังนั้นชุดประกอบด้วยองค์ประกอบในถ้าหากทรงกลมที่สอดคล้องกันประกอบด้วย ใน 3$U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$$U\subseteq \mathbb{R}^3$$\mathcal{R}$$S\in \mathcal{R}$$\mathbb{R}^3$$S$$U$$\mathbb{R}^3$

รายละเอียดที่ฉันรู้แล้ว

1. VC-dimension คือ atleast 4 นี่เป็นเพราะถ้าเป็น 4 มุมของจัตุรมุขมันก็จะถูกทำลายโดย$p_1,p_2,p_3,p_4$$\mathcal{R}$

2. VC-มิติ atmost 5 นี้เป็นเพราะระบบการตั้งค่าสามารถฝังตัวอยู่ในกับทรงกลมในสอดคล้องกับ hyperplanes ใน 4 เป็นที่รู้จักกันว่า hyperplanes ในมีมิติ VC- 1$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^3$$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^d$$d+1$

นี่คือข้อโต้แย้งง่าย ๆ :

สมมติว่ามีชุดจาก 5 คะแนนที่สามารถทำลายโดยลูกบอล ดังนั้นสำหรับการตั้งค่าใด ๆมีอยู่ลูก STและลูก STS ดังนั้นมีจุดที่ไม่มีUถ้า ,และสามารถถูกคั่นด้วยระนาบ มิฉะนั้นการตัดกันของพื้นผิวของและคือวงกลม เครื่องบินที่วงกลมโกหกแยกจากS ดังนั้น$U$$S \subseteq U$$B$$B \cap U = S$$B'$$B' \cap U = U \setminus S$$B \cap B'$$U$$B \cap B' = \emptyset$$B$$B'$$B$$B'$$S$$U \setminus S$$U$ สามารถแตกเป็นเสี่ยง ๆ โดย halfspaces ความขัดแย้ง

อาร์กิวเมนต์เดียวกันในมิติที่สูงกว่าแสดงให้เห็นว่ามิติ VC ของลูกบอลเท่ากับขนาด VC- ของ halfspaces

โซลูชันของฉันไม่ถูกต้อง ดูคำตอบอื่น ๆ ...