จะคำนวณพลังของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมได้อย่างไร?

สมมติว่าเราจะได้รับเมทริกซ์∈ R N × Nและให้ม∈ N 0 เราสามารถคำนวณพลังงานA mของเมทริกซ์นั้นเร็วแค่ไหน?$A \in \mathbb R^{N\times N}$$m \in \mathbb N_0$$A^m$

สิ่งที่ดีที่สุดถัดไปเมื่อเปรียบเทียบกับการคำนวณผลิตภัณฑ์คือการใช้การยกกำลังอย่างรวดเร็วซึ่งต้องใช้ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์O ( log m $m$$\mathcal O(\log m )$

สำหรับเมทริกซ์แบบทแยงมุมสามารถใช้การแยกสลายค่าลักษณะเฉพาะ มันเป็นเรื่องธรรมดาตามธรรมชาติการสลายตัวของจอร์แดนไม่เสถียรภายใต้การซึมผ่านและดังนั้นจึงไม่นับ (afaik)

เมทริกซ์การยกกำลังในกรณีทั่วไปสามารถเร่งความเร็วได้หรือไม่?

การยกกำลังอย่างรวดเร็วชี้ให้เห็นว่ารูปแบบของคำถามนี้มีประโยชน์เช่นกัน:

กำลังสองของเมทริกซ์ทั่วไปสามารถคำนวณได้เร็วกว่าอัลกอริธึมการคูณเมทริกซ์ที่รู้จักหรือไม่?$A$

ในขณะที่คุณทราบว่าคอมพิวเตอร์เมตรสามารถทำได้ในO ( บันทึกเมตร)จำนวนครั้งของการดำเนินงานสำหรับการคูณเมทริกซ์ในN × Nเมทริกซ์ คำตอบสำหรับคำถามที่สองของคุณคืออย่างน้อยสำหรับความซับซ้อนเชิงซ้อน - การคูณเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์มีความซับซ้อนของเวลา / เลขคณิตที่เท่ากัน (สูงถึงปัจจัยคงที่) การลดกำลังสองไปสู่การคูณเมทริกซ์นั้นชัดเจน เพื่อลดการคูณจะ squaring สมมติว่าเราต้องการที่จะคำนวณสินค้าของและB สร้างเมทริกซ์2 n × 2 n Cด้วยโครงสร้างบล็อก:$A^m$$O(\log m)$$N \times N$$A$$B$$2n \times 2n$$C$

$[0~~A]$

$[B~~0]$

นั่นคือมีn × nทุก zeroes เมทริกซ์ใน Quadrant บนซ้ายและขวาล่างของวอด โปรดทราบว่าC 2มีA ⋅ Bใน Quadrant ซ้ายบน$C$$n \times n$$C^2$$A\cdot B$