คำถามติดแท็ก matrices

คำถามของฉันง่าย: ที่เลวร้ายที่สุดกรณีที่เวลาการทำงานของอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการคำนวณคืออะไรeigendecompositionของn×nn×nn \times nเมทริกซ์? eigendecomposition ลดการคูณเมทริกซ์หรือเป็นอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีO(n3)O(n3)O(n^3) (ผ่านSVD ) ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด? โปรดทราบว่าฉันขอการวิเคราะห์กรณีที่เลวร้ายที่สุด (เฉพาะในแง่ของnnn ) ไม่ใช่ขอบเขตที่มีค่าคงที่ที่ขึ้นกับปัญหาเช่นหมายเลขเงื่อนไข แก้ไข : ให้บางส่วนของคำตอบดังต่อไปนี้ให้ฉันปรับคำถาม: ฉันมีความสุขกับ -approximation การประมาณนั้นอาจเป็นแบบหลายแบบเพิ่มแบบเข้าทางหรือแบบใดก็ตามที่คุณต้องการ ฉันสนใจถ้ามีอัลกอริธึมที่รู้จักซึ่งพึ่งพาnได้ดีกว่าO ( p o l y ( 1 / ϵ ) n 3 ) ?ϵϵ\epsilonnnnO(poly(1/ϵ)n3)O(poly(1/ϵ)n3)O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3) แก้ไข 2 : ดูคำถามที่เกี่ยวข้องนี้บนเมทริกซ์สมมาตร

40 ds.algorithms  time-complexity  matrices  linear-algebra  na.numerical-analysis 

เป็นที่เชื่อกันโดยทั่วไปว่าทุกϵ > 0ϵ>0\epsilon > 0มันเป็นไปได้ที่จะคูณสองn × nn×nn \times nเมทริกซ์ในO ( n2 + ϵ)O(n2+ϵ)O(n^{2 + \epsilon})เวลา การอภิปรายเป็นที่นี่ ฉันได้ถามบางคนที่คุ้นเคยกับการวิจัยมากขึ้นว่าพวกเขาคิดว่ามีk > 0k>0k>0เป็นอิสระจากnnnเช่นนั้นมีอัลกอริทึมO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)สำหรับการคูณเมทริกซ์และพวกเขาดูเหมือนจะมีสัญชาตญาณว่า คำตอบคือ "ไม่" แต่ไม่สามารถอธิบายได้ว่าทำไม นั่นคือพวกเขาเชื่อว่าเราสามารถทำได้ในเวลาO(n2.001)O(n2.001)O(n^{2.001})แต่ไม่ใช่O(n2log100n)O(n2log100⁡n)O(n^2 \log^{100} n)เวลา มีเหตุผลอะไรที่จะเชื่อว่าไม่มีO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)ขั้นตอนวิธีการที่คงที่k>0k>0k>0 ?

39 cc.complexity-theory  linear-algebra  big-picture  matrices  matrix-product 

ให้เป็นเมทริกซ์จำนวนเต็มจตุรัสและให้เป็นจำนวนเต็มบวก ฉันสนใจความซับซ้อนของปัญหาการตัดสินใจดังต่อไปนี้:MMMnnn รายการบนขวาของเป็นบวกหรือไม่MnMnM^n โปรดทราบว่าวิธีการที่ชัดเจนของการยกกำลังสองซ้ำ (หรือการคำนวณที่ชัดเจนอื่น ๆ ) ทำให้เราต้องจัดการกับจำนวนเต็มของกำลังขยายสองเท่าคือการมีบิตจำนวนมากแทน อย่างไรก็ตามปัญหาดังกล่าวพบได้ง่ายในคลาส "PosSLP" ของ Allender และคณะ ( "ความซับซ้อนของการวิเคราะห์เชิงตัวเลข", SIAM J. Comput. 38 (5) ) และดังนั้นในระดับที่สี่ของลำดับการนับ . 1) เป็นไปได้หรือไม่ที่จะวางปัญหาการจ่ายไฟเมทริกซ์นี้ในระดับความซับซ้อนที่ต่ำกว่า? 2) ถ้าไม่เป็นไปได้ไหมว่า PosSLP-hard น่าจะเป็นไปได้ไหม 3) ฉันสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งในปัญหาการจ่ายไฟเมทริกซ์สำหรับเมทริกซ์ที่มีมิติต่ำเช่นมากถึงและรวมถึงเมทริกซ์ 6x6 ความซับซ้อนอาจลดลงสำหรับเมทริกซ์เช่นนี้หรือไม่?

26 cc.complexity-theory  linear-algebra  matrices 

อันดับสัญญาณของเมทริกซ์ A ที่มี + 1, -1 รายการเป็นอันดับที่น้อยที่สุด (เหนือ reals) ของเมทริกซ์ B ซึ่งมีรูปแบบเครื่องหมายเดียวกันกับ A (เช่นสำหรับiทั้งหมด, ญ ) ความคิดนี้มีความสำคัญในการสื่อสารที่ซับซ้อนและทฤษฎีการเรียนรู้AijBij>0AijBij>0A_{ij}B_{ij}>0i,ji,ji,j คำถามของฉันคือ: มีอัลกอริธึมที่รู้จัก (เวลาเอ็กซ์โปแนนเชียล) ใดบ้างที่ใกล้เคียงกับเครื่องหมายการจัดอันดับของเมทริกซ์ภายในปัจจัย ?o(n)o(n)o(n) (ฉันรู้ว่าขอบเขตล่างของฟอร์สเตอร์นั้นอยู่ที่ระดับสัญญาณในแง่ของบรรทัดฐานสเปกตรัม แต่สิ่งนี้ไม่ได้ให้อัตราส่วนประมาณที่ดีกว่าโดยทั่วไป)Ω(n)Ω(n)\Omega(n)

25 lg.learning  open-problem  communication-complexity  matrices 

อัลกอริทึม Coppersmith – Winograd เป็นอัลกอริทึมที่รู้จักกันเร็วที่สุดสำหรับการคูณสองเมทริกซ์สี่เหลี่ยม เวลาทำงานของอัลกอริทึมคือ ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีที่สุด ความซับซ้อนของพื้นที่ของอัลกอริทึมนี้คืออะไร? มันอยู่ในหรือไม่n×nn×nn \times nO(n2.376)O(n2.376)O(n^{2.376})Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)

24 ds.algorithms  matrices 

เมื่อเร็ว ๆ นี้และเนียนอย่างไม่น่าเชื่อหลักฐานของการคาดเดาความไวอาศัยในการก่อสร้าง * ที่ชัดเจนของเมทริกซ์n ∈ { - 1 , 0 , 1 } 2 n × 2 nกำหนดซ้ำดังนี้ และสำหรับ , โดยเฉพาะมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับทั้งหมดAn∈{−1,0,1}2n×2nAn∈{−1,0,1}2n×2nA_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n}A1=(0110)A1=(0110)A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}n≥2n≥2n\geq 2An=(An−1In−1In−1−An−1)An=(An−1In−1In−1−An−1)A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix}A2n=nInAn2=nInA_n^2 = n I_nn≥1n≥1n\geq 1 ตอนนี้บางทีฉันกำลังอ่านเรื่องนี้มากเกินไป แต่อย่างน้อยนี่ก็มีความสัมพันธ์กับตระกูลเมทริกซ์ที่มีชื่อเสียงอีกชื่อหนึ่งนั่นคือเมทริกซ์ Hadamard เมทริกซ์ซึ่งก็เป็นเช่นนั้นและมีสเปกตรัมคล้ายกัน: และสำหรับ , H2n∝InHn2∝InH_n^2 \propto I_nH1=(111−1)H1=(111−1)H_1 = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}n≥2n≥2n\geq 2Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix} …

23 boolean-functions  matrices  boolean-matrix 

มันเป็นไปได้ที่จะสร้างอย่างชัดเจน0 / 1 -matrix กับN 1.5คนดังที่ทุกN 0.499 × N 0.499 submatrix มีน้อยกว่าN 0.501คน?ยังไม่มีข้อความ× NN×NN \times N 0 / 10/10/1ยังไม่มีข้อความ1.5N1.5N^{1.5}ยังไม่มีข้อความ0.499× N0.499N0.499×N0.499N^{0.499} \times N^{0.499}ยังไม่มีข้อความ0.501N0.501N^{0.501} หรืออาจเป็นไปได้ที่จะสร้างชุดการกดปุ่มที่ชัดเจนสำหรับคุณสมบัติดังกล่าว มันง่ายที่จะเห็นว่าเมทริกซ์แบบสุ่มมีคุณสมบัตินี้โดยมีความน่าจะเป็นใกล้เคียงกับอย่างมาก นอกจากนี้ตัวแทรกผสมการแทรกไม่เพียงพอที่จะได้มาซึ่งคุณสมบัตินี้111 ฉันเดาว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเทียมหลอกที่หลอกรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบ combinatorial สามารถช่วยได้ที่นี่ แต่พวกมันถูกออกแบบมาสำหรับการกระจายแบบสม่ำเสมอและโดยทั่วไปฉันต้องการที่นี่B ( N2, N- 0.5)B(N2,N−0.5)B(N^2, N^{-0.5})

20 co.combinatorics  matrices  pseudorandomness  pseudorandom-generators 

สมมติว่าเรามีเมทริกซ์ n คูณ n เป็นไปได้ไหมที่จะจัดลำดับแถวและคอลัมน์ใหม่เพื่อให้เราได้เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน? คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหานี้: ลำดับโทโพโลยีเชิงบวก ปัญหาการตัดสินใจเดิมนั้นยากอย่างน้อยเท่ากับปัญหานี้ดังนั้นผลลัพธ์ความสมบูรณ์แบบของ NP จึงแก้ได้เช่นกัน แก้ไข: Laszlo Vegh และ Andras Frank เรียกร้องความสนใจของฉันต่อปัญหาที่เทียบเท่าที่ถามโดย Gunter Rote: http://lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph แก้ไข: การลดปัญหาเดิมมีดังนี้ สมมติว่า DAG มีเพียงสองระดับซึ่งจะสอดคล้องกับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ นอกจากนี้เรายังมีโหนดเดียวที่มีน้ำหนัก +1 ทุกคนที่อยู่ในระดับต่ำกว่ามีน้ำหนัก -1 และในระดับบน +1

20 ds.algorithms  np-hardness  open-problem  matrices 

เมทริกซ์จะถูกเรียกว่าเป็นปกติอย่างสมบูรณ์หากเมทริกซ์ย่อยจตุรัสทั้งหมดมีอันดับเต็ม เมทริกซ์ดังกล่าวถูกใช้ในการสร้าง superconcentrators อะไรคือความซับซ้อนในการตัดสินใจว่าเมทริกซ์ที่ให้นั้นมีความสม่ำเสมอในการปันส่วนหรือไม่ เหนือทุ่ง จำกัด ? โดยทั่วไปเรียกเมทริกซ์โดยสิ้นเชิงถ้าเมทริกซ์ย่อยทั้งหมดที่มีขนาดมากที่สุดkมีอันดับเต็ม ได้รับเมทริกซ์และพารามิเตอร์kสิ่งที่เป็นความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าเมทริกซ์จะโดยสิ้นเชิงk -regular?kkkkkkkkkkkk

19 cc.complexity-theory  reference-request  linear-algebra  matrices 

เป็นไปได้ไหมที่จะทดสอบอัลกอริธึมว่าจำนวนที่คำนวณได้เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็ม? ในคำอื่น ๆ ก็จะมีความเป็นไปได้สำหรับห้องสมุดที่ใช้คำนวณตัวเลขเพื่อให้ฟังก์ชั่นisIntegerหรือisRational? ฉันเดาว่ามันเป็นไปไม่ได้และนี่ก็เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทดสอบว่าตัวเลขสองตัวนั้นเท่ากัน แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่จะพิสูจน์มัน แก้ไข: จำนวนที่คำนวณได้ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันที่สามารถส่งกลับค่าประมาณด้วยเหตุผลด้วยความแม่นยำ :สำหรับใด ๆ0 รับฟังก์ชั่นดังกล่าวเป็นไปได้หรือไม่ที่จะทดสอบว่าหรือ ?xxxfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}

18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

กำหนดความซับซ้อนแบบเกาส์ของเมทริกซ์เพื่อให้การดำเนินการแถวและคอลัมน์ในเบื้องต้นมีจำนวนน้อยที่สุดเพื่อนำเมทริกซ์มาสู่รูปสามเหลี่ยมมุมบน นี่คือปริมาณระหว่างถึง (ผ่านการกำจัดแบบเกาส์เซียน) แนวคิดนี้เหมาะสมสำหรับทุกสาขา0 n 2n×nn×nn \times n000n2n2n^2 ปัญหานี้ดูเหมือนพื้นฐานมากและต้องได้รับการศึกษา น่าแปลกที่ฉันไม่รู้แหล่งอ้างอิงใด ๆ ดังนั้นฉันจะมีความสุขกับการอ้างอิงใด ๆ ที่มี แต่แน่นอนคำถามหลักคือ: มีขอบเขตล่างที่ไม่ชัดเจนเล็กน้อยหรือไม่รู้จัก? ฉันหมายถึงสุดยอดโดยไม่พูดเรื่องไร้สาระ เพียงเพื่อให้ชัดเจน: เขตข้อมูล จำกัด ที่มีอาร์กิวเมนต์การนับแสดงว่าเมทริกซ์แบบสุ่มมีลำดับความซับซ้อน n ^ 2 (การอ้างสิทธิ์ที่คล้ายกันควรเป็นจริงเหนือฟิลด์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด) ดังนั้นสิ่งที่เรากำลังมองหาคือครอบครัวของเมทริกซ์ที่ชัดเจนเช่นเมทริกซ์ Hadmard นี่เหมือนกับความซับซ้อนของวงจรบูลีนที่เรารู้ว่าฟังก์ชันสุ่มมีความซับซ้อนสูง แต่เรากำลังมองหาฟังก์ชั่นที่ชัดเจนด้วยคุณสมบัตินี้

18 cc.complexity-theory  lower-bounds  matrices 

ในขั้นตอนวิธีการ Strassen, การคำนวณผลิตภัณฑ์สองเมทริกซ์และB , เมทริกซ์และBจะแบ่งออกเป็น2 × 2การฝึกอบรมป้องกันและขั้นตอนวิธีการดำเนินการซ้ำคอมพิวเตอร์7บล็อกผลิตภัณฑ์แมทริกซ์แมทริกซ์เมื่อเทียบกับไร้เดียงสา8 matrix- บล็อก ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์คือถ้าเราต้องการC = A Bโดยที่ A = [ A 1 , 1 A 1 , 2 A 2 , 1 A 2 , 2AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}2 × 22×22 \times 2777888C = A Bค=AB\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B} จากนั้นเรามี C 1 , 1 = A 1 , 1 …

17 ds.algorithms  linear-algebra  matrices  matrix-product 

ให้เมทริกซ์n × สองตัวกับAและBปัญหาในการตัดสินใจว่ามีเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงP อยู่หรือไม่นั่นคือB = P - 1 A Pเทียบเท่ากับ(กราฟ Isomorphism) แต่ถ้าเราผ่อนคลายPให้เป็นเมทริกซ์กลับด้านแล้วความซับซ้อนคืออะไร? มีข้อ จำกัด อื่น ๆ เกี่ยวกับเมทริกซ์P invertible นอกเหนือจากการเปลี่ยนแปลงซึ่งเกี่ยวข้องกับปัญหานี้หรือปัญหาที่ยากอื่น ๆ ?n×nn×nn \times nAAABBBPPPB=P−1APB=P−1APB = P^{-1}APGIPPPPPPGI

16 ds.algorithms  time-complexity  linear-algebra  matrices  graph-isomorphism 

สมมติว่าเราจะได้รับเมทริกซ์∈ R N × Nและให้ม∈ N 0 เราสามารถคำนวณพลังงานA mของเมทริกซ์นั้นเร็วแค่ไหน?A∈RN×NA∈RN×NA \in \mathbb R^{N\times N}m∈N0m∈N0m \in \mathbb N_0AmAmA^m สิ่งที่ดีที่สุดถัดไปเมื่อเปรียบเทียบกับการคำนวณผลิตภัณฑ์คือการใช้การยกกำลังอย่างรวดเร็วซึ่งต้องใช้ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์O ( log m )mmmO(logm)O(log⁡m)\mathcal O(\log m ) สำหรับเมทริกซ์แบบทแยงมุมสามารถใช้การแยกสลายค่าลักษณะเฉพาะ มันเป็นเรื่องธรรมดาตามธรรมชาติการสลายตัวของจอร์แดนไม่เสถียรภายใต้การซึมผ่านและดังนั้นจึงไม่นับ (afaik) เมทริกซ์การยกกำลังในกรณีทั่วไปสามารถเร่งความเร็วได้หรือไม่? การยกกำลังอย่างรวดเร็วชี้ให้เห็นว่ารูปแบบของคำถามนี้มีประโยชน์เช่นกัน: กำลังสองของเมทริกซ์ทั่วไปสามารถคำนวณได้เร็วกว่าอัลกอริธึมการคูณเมทริกซ์ที่รู้จักหรือไม่?AAA

16 ds.algorithms  matrices  na.numerical-analysis 

สมมติว่าเราได้รับเมทริกซ์ n คูณ n, M พร้อมรายการจำนวนเต็ม เราสามารถตัดสินใจใน P ไม่ว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงเช่นว่าพีชคณิตทั้งหมดเรามี ?σσ\sigmaπ≠ σπ≠σ\pi\ne\sigmaΠ Mฉันσ( ฉัน)≠ Π Mผม π( i )ΠMผมσ(ผม)≠ΠMผมπ(ผม)\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)} หมายเหตุ. แน่นอนหนึ่งสามารถแทนที่สินค้าด้วยผลรวมปัญหายังคงเหมือนเดิม หากเมทริกซ์สามารถมีเพียง 0/1 รายการเราจะได้รับปัญหา Bipartite-UPM ซึ่งอยู่ใน NC แก้ไข: การตัดสินใจว่าคำที่เล็กที่สุดนั้นไม่เหมือนใครคือ NP-hard หรือไม่ถ้าเรายอมให้มีการลดแบบสุ่ม ที่จริงแล้วฉันต้องการตั้งคำถามนี้เพราะจะช่วยแก้ปัญหานี้ได้ ตอนนี้ปรากฎว่านี่เป็นปัญหาที่สมบูรณ์ดังนั้นขอผมร่างการลดลงของปัญหาของเรา ลองนึกภาพว่าอินพุตเป็นเมทริกซ์ศูนย์หนึ่ง (เราสามารถสมมติได้) และแทนที่รายการศูนย์ด้วยตัวเลขจริงแบบสุ่มระหว่าง 2 ถึง 2 + 1 / n ตอนนี้ในเมทริกซ์ใหม่ที่มีความน่าจะเป็นสูงคำที่เล็กที่สุดจะไม่ซ้ำกันหากเมทริกซ์ดั้งเดิมได้รับอนุญาตให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมมุมบน แก้ไข: คำถามที่คล้ายกัน: ในกราฟน้ำหนักขอบมีวงจร Hamiltonian …

16 cc.complexity-theory  ds.algorithms  matrices  matching  permanent