การคำนวณควอนตัม - สมมุติฐานของ QM

11

ฉันเพิ่งเริ่มเรียนรู้เกี่ยวกับการคำนวณควอนตัมโดยทั่วไปจากหนังสือ Nielsen-Chuang

ฉันอยากถามว่าใครสามารถลองหาเวลาช่วยฉันด้วยสิ่งที่เกิดขึ้นกับการวัดสมมุติฐานของกลศาสตร์ควอนตัม ฉันหมายถึงฉันไม่ได้พยายามตั้งคำถาม; มันเพียงแค่ว่าฉันไม่ได้รับวิธีการที่ค่าของสถานะของระบบหลังจากที่วัดออกมาเพื่อปอนด์ต่อตารางนิ้ว>} $M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$

แม้ว่ามันจะเป็นเพียงสิ่งที่สมมุติดูเหมือนว่าฉันจะพบว่ามันอึดอัดใจจริง ๆ ว่าทำไมมันถึงเป็นสำนวนนี้ ฉันไม่รู้ว่าสิ่งที่ฉันถามที่นี่สมเหตุสมผลหรือไม่ แต่นี่เป็นการพิสูจน์ว่าเป็นสิ่งที่ด้วยเหตุผลบางอย่างดูเหมือนจะบล็อกฉันจากการอ่านเพิ่มเติมใด ๆ

quantum-computing quantum-information

— Akash Kumar
แหล่งที่มา

1

นิพจน์ที่คุณเขียนไม่ใช่สถานะเลย ฉันเดาว่าคุณตั้งใจจะเพิ่มหลังจากนั้น

M_{m} / \sqrt{< ψ | M_{m}^{+} M_{m} | ψ >}

$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$

| ψ >

$|\psi>$

— Robin Kothari

ใช่ถูกต้อง. ฉันต้องการเพิ่มหลังจากนั้น

| ψ >

$|\psi>$

— Akash Kumar

7

โปรดแก้ไขคำถามของคุณหากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาด

— Jukka Suomela

7

ฉันไม่รู้ว่านี่เป็น "คำอธิบาย" แต่หวังว่ามันจะเป็น "คำอธิบาย" ที่เป็นประโยชน์

โดยทั่วไปแล้วการวัดแบบ projective จะวัดผู้ปฏิบัติงานเสมอ (โปรเจ็กเตอร์เป็นกรณีพิเศษของสิ่งนี้) ดังนั้น "การวัดผู้ปฏิบัติงาน" หมายความว่าอย่างไร?

ผู้ประกอบการมักจะสอดคล้องกับปริมาณทางกายภาพ 'ที่สังเกตได้' ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดในกลศาสตร์ควอนตัมคือพลังงาน แต่บางครั้งก็สามารถวัดปริมาณอื่น ๆ ได้ (เช่นทางอ้อม) เช่นโมเมนตัมเชิงมุม, z-ส่วนประกอบของสนามแม่เหล็ก ฯลฯ สิ่งที่วัดได้จะให้ผลลัพธ์ที่มีมูลค่าจริงเสมอ - โดยหลักการแล้วผลลัพธ์ที่แน่นอนบางอย่าง (เช่นอิเล็กตรอนคือ ในสถานะ 'สปิน +1/2' ซึ่งตรงข้ามกับ 'สปิน −1/2' หรือในระดับพลังงานที่น่าตื่นเต้นครั้งแรกเมื่อเทียบกับสถานะพื้นดินในอะตอมไฮโดรเจน ฯลฯ ) แม้ว่าจะเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ตระหนักถึงความน่าจะเป็นบางอย่าง

เรากำหนดผลลัพธ์ที่แท้จริงของการวัดแต่ละรายการให้กับพื้นที่ย่อย วิธีที่เราทำคือการอธิบายตัวดำเนินการของ Hermitian ซึ่งก็คือตัวดำเนินการที่เชื่อมโยงค่าลักษณะเฉพาะจริงกับ subspaces ที่แตกต่างกันโดย subspaces จะรวมพื้นที่ทั้งหมดของ Hilbert โปรเจ็กเตอร์เป็นตัวดำเนินการที่มีค่าจริงคือ 0 และ 1 คือการอธิบายว่าเวกเตอร์เป็นของสเปซย่อยที่กำหนด (ให้ผลเป็น 1), หรือออร์โธคอร์ปอเรชันของมัน (ให้ผลเป็นค่า 0) ตัวดำเนินการของ Hermitian เหล่านี้เป็นสิ่งที่สังเกตได้และ eigenspaces เป็นสิ่งที่ผู้สังเกตการณ์มีค่า "ชัดเจน"

แต่แล้วเวกเตอร์เหล่านั้นที่ไม่ใช่ eigenvector และไม่มีค่า "แน่นอน" สำหรับผู้สังเกตการณ์เหล่านี้ นี่คือส่วนที่ไม่สามารถอธิบายได้ของคำอธิบาย: เราฉายมันไว้ใน eigenspaces เพื่อรับ eigenvector ด้วยค่าที่กำหนดไว้อย่างดี การฉายภาพใดที่เรานำมาใช้จะถูกกำหนดโดยการสุ่ม การแจกแจงความน่าจะเป็นมาจากกฎการเกิดที่คุ้นเคย:

\underset{| ψ ⟩}{ราคา} (E = ค) = ⟨ ψ | Π_{ค} | ψ ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$

โดยที่เป็นโปรเจ็กเตอร์เข้าสู่c -eigenspace ของ 'ปริมาณที่สังเกตได้' E (แสดงโดยตัวดำเนินการของ Hermitian ) โพสต์วัดรัฐบางประมาณการของรัฐบนบาง eigenspace ของสังเกต ดังนั้นถ้าเป็นสถานะก่อนการวัดคือสถานะหลังการวัดและคือการวัด 'ผลลัพธ์จริง' ( เช่น eigenspace ไปยังที่ซึ่งสถานะก่อนการวัดจริงถูกคาดการณ์ไว้จริง) เรามีผลสัดส่วน $\Pi_c$ $A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$ $|\psi\rangle$ $| \psi_0 \rangle$ $| \psi_1 \rangle$ $\Pi_c$

| ψ_{1} ⟩ α Π_{ค} | ψ_{0} ⟩

$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$

โดยกฎการฉายเพียงอธิบาย นี่คือเหตุผลที่มีโปรเจ็กเตอร์ในสูตรของคุณ

โดยทั่วไปแล้วเวกเตอร์ไม่ใช่เวกเตอร์หน่วย เนื่องจากเราต้องการอธิบายสถานะหลังการวัดโดยเวกเตอร์หน่วยอื่นเราจะต้องช่วยขายอีกครั้งโดย $| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

‖ | ψ_{1}^{'} ⟩ ‖ = \sqrt{⟨ ψ_{1}^{'} | ψ_{1}^{'} ⟩} = \sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{ค} | ψ_{0} ⟩},

$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$

ซึ่งเป็นสแควร์รูทของความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์จะเกิดขึ้นตามลำดับ ดังนั้นเราจึงกู้คืนสูตรในคำถามของคุณ

| ψ_{1} ⟩ = \frac{Π_{ค} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{ค} | ψ_{0} ⟩}} .

$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$

(หากสูตรนี้ดูเงอะงะเล็กน้อยลองคิดดูและรู้สึกดีขึ้นเล็กน้อยถ้าคุณเป็นตัวแทนของสถานะควอนตัมโดยผู้ให้บริการความหนาแน่น)

แก้ไขเพื่อเพิ่ม:ข้างต้นไม่ควรตีความว่าเป็นคำอธิบายของ POVM A "ผู้ประกอบการในเชิงบวกมูลค่าการวัด" จะเห็นได้ดีขึ้นเช่นการอธิบายค่าความคาดหวังต่างๆที่วัด observables E _คในคอลเลกชัน { E _ค } _{ค ∈} C

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา

6

ฉันจะเสนอคำตอบให้กับคำถามของ Akash Kumar อีกหนึ่งข้อซึ่งเป็นวิธีที่ดีในการต่อสู้กับความลึกลับของกลศาสตร์ควอนตัมคือการต่อสู้กับความลึกลับของกลศาสตร์คลาสสิกเป็นครั้งแรก

ในเรื่องนี้หนังสือเริ่มต้นที่แนะนำ (ซึ่งมีอยู่ในหนังสือปกอ่อน) คือ "Symmetry in Mechanics ของสเตฟานีแฟรงค์ซิงเกอร์: Gentle Modern Introduction" ... ซึ่งมีข้อได้เปรียบของการย่อและชัดเจน รวบรวมแนวคิดหลักสมัยใหม่ของเรขาคณิตสมมาตรและทฤษฎีกลุ่มอย่างมั่นใจ

ที่นี่ประเด็นคือในศตวรรษที่ 20 ต้นกลศาสตร์ควอนตัมและกลศาสตร์คลาสสิกดูเหมือนว่าสองทฤษฎีที่แตกต่างกันมากของการเปลี่ยนแปลง แต่ถ้าเราให้ความสำคัญอย่างจริงจังของ Vladimir Arnold ว่า "ช่างกลแบบมิลโตเนียนเป็นรูปทรงเรขาคณิตในสเปซสเปซพื้นที่สเปซจะมีโครงสร้างของ symplectic manifold" และเราก็ใช้คติพจน์ Ashtekar / Schilling อย่างจริงจังด้วย "โครงสร้างเชิงเส้นซึ่งอยู่แถวหน้าใน การรักษาตำรา - หนังสือของกลศาสตร์ควอนตัมเป็นหลักเพียงความสะดวกสบายทางเทคนิคและส่วนผสมที่สำคัญ --- นานาของรัฐโครงสร้าง symplectic และตัวชี้วัด Riemannian - ไม่แบ่งปันเชิงเส้นนี้ "แล้วเรามาดีกว่า ซาบซึ้งที่วิทยานิพนธ์ของทรอยชิลลิงปี 1996 ขึ้นอยู่กับรากฐานทางคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งในการยืนยันว่า "

วิธีนี้เรขาคณิตแบบครบวงจรคลาสสิกการเปลี่ยนแปลง / ควอนตัมที่ประสบความสำเร็จส่วนใหญ่โดยการกลศาสตร์คลาสสิกดูเหมือนมากขึ้นลึกลับและกลศาสตร์ควอนตัดูเหมือนน้อยลึกลับ ... และมันเป็นสิ่งที่ดีสำหรับนักเรียนที่จะรู้ว่านี่คือหนึ่ง (จากอีกหลายคน) วิธีการทำงานเพื่อการเรียนรู้ทั้งสองชนิด กลศาสตร์.

5

หากคุณไม่ได้เห็นพวกเขาอยู่แล้วผมขอแนะนำให้สกอตต์ Aaronson ของเอกสารประกอบการบรรยาย"ควอนตัมคอมพิวเตอร์ตั้งแต่ Democritus"โดยเฉพาะอย่างยิ่งการบรรยาย 9 พวกเขาจริงๆช่วยให้ผมเป็นที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญและฉันได้พยายามที่จะสกัดการนำเสนอของเขาไปยังจุดหลักที่นี่และที่นี่

เท่าที่มีการสอบถามเฉพาะของคุณฉันคิดว่ามันช่วยสร้างสัญชาตญาณถ้าคุณสามารถคำนวณตัวอย่างง่าย ๆ โดยใช้ Born Rule และดูว่าการวัดสมมุติฐานทำงานอย่างไร

ฉันคิดว่ามันง่ายที่สุดที่จะคิดว่า "ความน่าจะเป็นในการวัดผลลัพธ์ที่ได้คือสแควร์ของแอมพลิจูดขององค์ประกอบ ith ของเวกเตอร์สถานะ - ถ้าคุณทำการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานเพื่อ eigenvectors ของผู้ปฏิบัติงาน"

สิ่งนี้ยังมีความสัมพันธ์อย่างแนบเนียนกับสัญชาตญาณว่ากลศาสตร์ควอนตัมเป็นความน่าจะเป็นที่มีจำนวนเชิงซ้อน - เนื่องจากกำลังสองของแอมพลิจูดต้องรวมกันเป็น 1

ตราบใดที่คุณกำลังเรียนควอนตัมคอมพิวเตอร์คุณอาจต้องการตรวจสอบการอภิปรายของนี้ขั้นตอนวิธีของชอร์

— Mugizi Rwebangira
แหล่งที่มา

ขอบคุณคุณ Mugizi ... บันทึกการบรรยายของ Scott Aaronson ดูดีจริงๆ

— Akash Kumar

4

ภาคผนวก

หลังจากพิจารณาแบบฟอร์มคำถามของคุณอีกครั้ง ( เช่น M ^† M ในตัวหาร --- ซึ่งตรงข้ามกับตัวดำเนินการ M ตัวเดียวซึ่งพอเพียงสำหรับโปรเจ็คเตอร์) และพิจารณาสำเนา Nielsen และ Chaung ของฉันอีกครั้งนี่เป็นรายละเอียดเพิ่มเติม ไม่ครอบคลุมโดยคำตอบก่อนหน้าของฉัน (ฉันโพสต์สิ่งนี้เป็นคำตอบที่แยกกันเนื่องจากความยาวและเพราะฉันรู้สึกว่านี่เป็น 'คำอธิบาย' น้อยกว่าคำตอบก่อนหน้าของฉัน)

สมมติว่าหมายถึงเฉพาะของเราในการวัด qubit Xเป็นทางอ้อมโดยการปฏิสัมพันธ์ 'อ่อนแอ' กับ Ancilla ตามวัดใน เราอยากที่จะสามารถที่จะพูดคุยเกี่ยวกับเหล่านี้เป็นในความรู้สึกวิธีการวัดX เราจะอธิบายการวัดในแง่ของXเพียงอย่างเดียวได้อย่างไร ดี: สมมติว่าเราสามารถเตรียมความพร้อมAในสถานะเริ่มต้นและดำเนินการควบคุมการรวมกันของการจัดเรียงต่อไปนี้โดยมีXเป็นตัวควบคุมและAเป็นเป้าหมาย: $|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

ยู = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos (\frac{π}{12}) & บาป (\frac{π}{12}) \\ 0 & 0 & - บาป (\frac{π}{12}) & \cos (\frac{π}{12}) \end{matrix}]

$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$

จากนั้นเราวัดAตามเกณฑ์มาตรฐาน (เพื่อให้A จัดเก็บผลการวัด) สิ่งนี้จะเปลี่ยนสถานะของXดังนี้:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

ในสมการข้างต้นโปรดทราบว่าหากผลลัพธ์ของการวัดคือcสถานะสุดท้ายของXเป็นสัดส่วนกับโดยที่เรานิยาม $|\psi_1\rangle$ $|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

M_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |, M_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |;

$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$

และเราอาจตรวจสอบความน่าจะเป็นที่เราได้รับผลการวัดในแต่ละกรณี\ $\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

นี่ใกล้เคียงกับการอธิบายการเปลี่ยนแปลงของXในแบบเดียวกับที่เราอธิบายการวัดเชิงฉายภาพ แต่นี่เป็นการวัดแบบใดที่มีความหมายใช่ไหม ถ้าเราสามารถทำสถิติเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการทำซ้ำหลายขั้นตอนนี้และถ้าXเป็นพื้นฐานในขั้นต้นเราจะสังเกตเห็นว่ามีอคติเมื่อเราได้ผลลัพธ์ '0': เราได้รับมันบ่อยขึ้น เมื่อXคือครั้งแรกในรัฐ|หากเราสามารถสุ่มตัวอย่างเวลาได้มากพอที่จะแยกแยะว่าผลการวัดมีการกระจายมากขึ้นเช่นหรือเราสามารถตัดสินได้ด้วยความน่าจะเป็นสูงว่า qubit นั้นจะอยู่ในสถานะเริ่มแรกหรือไม่ $|1\rangle$ $(\frac12,\frac12)$ $(\frac34,\frac14)$ $|0\rangle$ หรือรัฐ| $|1\rangle$

ความคล้ายคลึงกันของสูตรความน่าจะเป็นและการอัปเดตกับการวัดแบบ Projective และความจริงที่ว่าเราสามารถใช้สถิติการวัดเพื่อรับข้อมูลเกี่ยวกับสถานะที่วัดได้กระตุ้นให้มีการวางหลักเกณฑ์ทั่วไปของแนวคิดการวัดเพื่อรวมขั้นตอนต่างๆเช่น ด้านบน: เราอาจอธิบายถึงผลการวัดที่เป็นไปได้โดยตัวดำเนินการหนึ่งหรือสองตัวขึ้นไป(ซึ่งในความเป็นจริงแล้ว 'ตัวดำเนินการ Kraus', วัตถุที่เกี่ยวข้องกับแผนที่ CPTP) โดยผลลัพธ์ที่อธิบายโดยกฎการเกิดทั่วไปเล็กน้อย $M_c$

\underset{| ψ_{0} ⟩}{ราคา} (ผลลัพธ์ = ค) = ⟨ ψ_{0} | M_{ค}^{†} M_{ค} | ψ_{0} ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$

โดยที่เป็นผู้ดำเนินการ Kraus ที่เกี่ยวข้องกับการวัดของคุณและกฎการอัพเดทที่กำหนดโดย $M_c$

| ψ_{1} ⟩ = \frac{M_{ค} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | M_{ค}^{†} M_{ค} | ψ_{0} ⟩}} .

$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$

เพื่อให้ความน่าจะเป็นที่จะอนุรักษ์ (เพื่อให้ได้ด้วยความมั่นใจอย่างน้อยหนึ่งของผลการวัดที่เกิดขึ้น) เราต้องฉัน แบบฟอร์มนี้เป็นคำถามทั่วไปที่อธิบายโดย Nielsen และ Chaung (อีกครั้งสิ่งนี้ดูดีขึ้นเล็กน้อยเมื่ออธิบายสถานะโดยตัวดำเนินการความหนาแน่น) $\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

ข้อสังเกตทั่วไป

โดยทั่วไปเมื่อใดก็ตามที่เราแนะนำ ancilla (หรือกลุ่มของ ancillas) Aโต้ตอบ qubit (หรือลงทะเบียนหลาย qubits) X ยูนิทกับAและจากนั้นทำการวัด projective บนAสิ่งนี้ทำให้เกิดการวัด ของX ; จากนั้นผู้ประกอบการวัดก็สามารถอธิบายได้ด้วยการรวบรวมผู้ประกอบการบวกบวก semidefiniteเช่นนั้น (อีกครั้งดังนั้นความน่าจะเป็นที่สงวนไว้) $M_c$ $\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

ทั่วไปอื่น ๆ วัดที่อ่อนแออธิบายที่นี่มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับ POVMs ซึ่งช่วยให้คุณสามารถอธิบายความน่าจะเป็นวัด 'นามธรรม' โดยไม่ต้องเป็นตัวเลือกที่ชัดเจนของการเปลี่ยนแปลงโดยการให้ผู้ประกอบการและช่วยให้คุณสามารถใช้งาน สิ่งเหล่านี้ในกฎการเกิดเพื่อคำนวณความน่าจะเป็น ตามที่ฉันได้กล่าวถึงทั้งด้านบนและในการตอบสนองก่อนหน้าของฉัน POVM สามารถถือได้ว่าเป็นการอธิบายข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับระบบ $M_c$ $E_c = M_c^\dagger M_c$

การคิดการวัดในแง่ของตัวดำเนินการ Kraus (และในแง่ของ 'ผลการวัดการลงทะเบียน' Aข้างต้น) ด้วยวิธีนี้ช่วยให้คุณสามารถแสดงความเห็นของการวัดลงในแผนที่ CPTP ซึ่งเป็นแนวคิดที่ฉันชอบ (อย่างไรก็ตามนี่ไม่ได้เปลี่ยนแปลงสิ่งต่าง ๆ จากมุมมองเชิงวิเคราะห์และไม่ใช่สิ่งที่คุณควรกังวลหากคุณยังไม่คุ้นเคยกับแผนที่ CPTP)

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา

4

คำตอบของ Niel de Beaudrap เกี่ยวกับ Kraus Operators ทำได้ดีมาก ในเรื่องเกี่ยวกับหนังสือเรียนของ Nielsen และ Chuang นี่หมายความว่าเราควรอ่านบทที่ 2 จากนั้นตามด้วยบทที่ 8 จากนั้นจึงเข้าสู่บทที่เกี่ยวข้อง

ยิ่งไปกว่านั้นการเป็นตัวแทนของ Kraus นั้นมีข้อ จำกัด เล็ก ๆ น้อย ๆ ที่เรียกว่าตัวดำเนินการ Lindbladian พูดกว้าง ๆ ผู้ประกอบการ Lindbladian ให้กับผู้ประกอบการ Kraus สิ่งที่พีชคณิตโกหกคือกลุ่มโกหก บันทึกย่อออนไลน์ของ Carlton Caves "แผนที่เชิงบวกสมบูรณ์แผนที่เชิงบวกและรูปแบบ Lindblad" ครอบคลุมเนื้อหาส่วนใหญ่นี้

ข้อได้เปรียบของการทำงานกับผู้ประกอบการ Lindbladian เพียงเล็กน้อยแทนที่จะเป็นผู้ประกอบการของ Kraus ก็คือการที่ Lindbladians ดึงกลับเข้าสู่พื้นที่ของรัฐที่ไม่ใช่ฮิลแบร์ต สิ่งเหล่านี้รวมถึงพื้นที่ว่างของรัฐเครือข่ายเทนเซอร์ที่แพร่หลายในเคมีควอนตัมและฟิสิกส์สสารที่ควบแน่น นอกจากนี้เทคนิคการดึงกลับนั้นแพร่หลายในทฤษฎีสตริงด้วย

ในปัจจุบันไม่มีตำราที่พัฒนารูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่คำบรรยายของฮิลแบร์ตเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของควอนตัม ... แต่ควรจะมี! ตำราที่ (ที่มีการอ้างอิงข้างต้น) รวมอยู่ในปกรวมแนวคิดหลักคือ John Lee "Smooth Manifolds", Frenkel และ Smit "การทำความเข้าใจกับการจำลองโมเลกุล: จากอัลกอริทึมไปจนถึงแอปพลิเคชัน" และ Kloeden และ Platen

มันเป็นความจริงว่านี่คือการอ่านจำนวนมาก ... และนี่คือเหตุผลที่การสอนพลศาสตร์ควอนตัมเชิงเรขาคณิตไม่ได้ถูกสอนในระดับปริญญาตรี นี่เป็นเรื่องน่าเสียดายเพราะมันง่ายเกินไปสำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรีที่จะได้รับความคิดที่คงที่ว่าระบบอวกาศเชิงปริมาณของควอนตัมเป็นพื้นที่เวกเตอร์เชิงเส้นแม้ว่านี่จะไม่เป็นความจริงในการคำนวณเชิงปฏิบัติขนาดใหญ่ที่สุด

สำหรับพื้นที่ของรัฐที่ธรรมชาติใช้: ไม่มีใครรู้ว่า - หลักฐานเชิงทดลองสำหรับการเชิงเส้นควอนตัมเชิงพื้นที่ (แทนเจนต์ - อวกาศ) นั้นค่อนข้างแข็งแกร่ง แต่หลักฐานสำหรับเชิงเส้นควอนตัมเชิงเส้นของโลก (พื้นที่ฮิลแบร์ต) ค่อนข้างอ่อนแอ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทดลองควอนตัมไดนามิคเชิงโมเลกุลที่มีความแม่นยำสูงซึ่งหนังสือหลายเล่มถือเป็นหลักฐานของการเชิงเส้นควอนตัมสามารถจำลองได้ด้วยความแม่นยำสัมพัทธ์ที่จำเป็นของ ~ 1/2 ^ {65} ในพื้นที่เครือข่ายเทนเซอร์มิติต่ำ ด้วยสมมาตรพลศาสตร์ใกล้ที่สมบูรณ์แบบแทนที่เส้นตรงเชิงพลวัตใกล้สมบูรณ์แบบ

ด้วยเหตุผลข้างต้นนักเรียนในศตวรรษที่ 21 อาจไม่ควรรับหนังสือเรียนของศตวรรษที่ 20 อย่างสมบูรณ์แบบ แต่จริงๆแล้วนักศึกษาศตวรรษที่ 21 คนไหนที่ต้องการมันในทางอื่น

ข้างต้นคือวิธีที่วิศวกรระบบควอนตัมได้ใช้ชุดเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ผสานความเป็นธรรมชาติและเชิงพีชคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต

แก้ไขนอกจากนี้:เป็นแบบทดสอบความเป็นไปได้ของวิธีการทางเรขาคณิตเพื่อจำลองควอนตัมการปฏิบัติของเราควอนตัมวิศวกรรมระบบ (ว่าด้วยคุณภาพ) กลุ่มเสริมชาร์ลี Slichter ของตำราคลาสสิกหลักการของคลื่นสนามแม่เหล็กกับรุ่นที่เพิ่มขึ้นของบทที่ 3 " แม่เหล็ก Dipolar ขยายและ Polarization ขนส่งใน Lattices แข็ง "

การถอดความรูปทรงเรขาคณิตนี้เป็นธรรมชาติของคำถามเปิดหลายข้อในพลศาสตร์เรขาคณิต ดูตัวอย่างคำถาม MathOverflow " ในการจำลองพลวัตควอนตัมสมมาตร (Riemannian) แบบอะนาล็อกของตัวยึดปัวซองคืออะไร "

— John Sidles
แหล่งที่มา

ฉันเห็นคุณโบกธงสำหรับวิธีการนี้ทั่วเน็ต ด้วยประโยคที่มีการชี้นำหรือสองประโยคคุณจะให้แนวคิดว่าพื้นที่ของรัฐที่คุณพูดถึงนั้นไม่ใช่เส้นตรงได้อย่างไร? ด้วยการหาปริมาณเชิงเรขาคณิตคุณเริ่มต้นด้วย M หลากหลายรูปแบบเป็นพื้นที่เฟสคลาสสิก แต่พื้นที่สถานะควอนตัมคือพื้นที่ฮิลแบร์ต L ^ 2 (M) นั่นคือแม้ว่ารูปทรงเรขาคณิตแบบดั้งเดิมจะไม่ใช่แบบเชิงเส้น แต่รูปทรงควอนตัมยังคงเป็นแบบเส้นตรงแม้ว่ามันจะมีขนาดใหญ่ขึ้นแน่นอน (มันมีขนาดไม่สิ้นสุดและอื่น ๆ )

— ต่อ Vognsen

ขอโทษฉันบอกเรื่องโกหกสีขาว คุณต้องดู L ^ 2 เหนือกลุ่มบันเดิลบน M แต่จุดพื้นฐานยังคงอยู่

— ต่อ Vognsen

ต่อสิ่งที่คุณพูดว่าเป็นจริงของโรงเรียนคลาสสิก (ส่วนใหญ่เป็นภาษารัสเซีย) ของ "การวัดเชิงเรขาคณิต" ซึ่งหนึ่งเริ่มต้นด้วยระบบคลาสสิกและพยายามหาลักษณะทั่วไปของควอนตัม แต่สิ่งที่ <i> ตรงข้าม </i> เกิดขึ้นในโมเดล Ashtekar / Schilling ของ "กลศาสตร์ควอนตัมเชิงเรขาคณิต" ซึ่งจุดเริ่มต้นคือพลศาสตร์ symplectic / Lindbladian บน K & auml; hler manifold

— John Sidles

1

อืม ... ลองจัดรูปแบบให้ดีกว่านี้! ต่อในโรงเรียน (ส่วนใหญ่รัสเซีย) ของ "เรขาคณิตเชิงปริมาณ" หนึ่งเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงแบบคลาสสิกและพยายามหาแนวทางทั่วไปของควอนตัมของมัน การเคลื่อนที่แบบตรงกันข้ามจะเห็นได้ในโมเดล Ashtekar / Schilling ของ "กลศาสตร์ควอนตัมเชิงเรขาคณิต" ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นคือพลศาสตร์พลศาสตร์ของ Lindbladian ใน symplectic / Lindbladian บนพื้นที่รัฐ Kahler ตามที่หนึ่ง: (1) จัดแสดงพลศาสตร์คลาสสิกตามขีด จำกัด และ / หรือ (2) ดึงกลับไปยังพื้นที่ Hilbert ในรูปแบบประมาณ N (สเปกตรัม) ขนาดใหญ่ ในทางวิศวกรรมมักใช้วิธีการสองแบบหลัง แต่ไม่ได้สอนกันโดยทั่วไป

— John Sidles

3

ก่อนอื่นเหตุใดจึงมีผู้สังเกตการณ์แทนตัวดำเนินการ ในกลศาสตร์คลาสสิกสิ่งที่สังเกตได้คือฟังก์ชั่นของมูลค่าที่แท้จริงบนพื้นที่เฟส มันดึงข้อมูลเกี่ยวกับค่าเช่นพลังงานหรือโมเมนตัมจากระบบ แต่ไม่ได้ส่งผลกระทบหรือรบกวนมัน หากผู้สังเกตการณ์เป็นส่วนหนึ่งของระบบการวัดนั้นเป็นกระบวนการทางกายภาพและสามารถเปลี่ยนแปลงวิวัฒนาการของระบบได้ สำหรับขอบเขตเวลาที่ไม่ จำกัด เวลาวิวัฒนาการจะรวมกัน (เช่นการรักษาความน่าจะเป็นรวม) วิวัฒนาการเวลาที่น้อยที่สุดจะต้องเป็น Hermitian นี่คือทฤษฎีบทของสโตน มันอธิบายว่าทำไมผู้ประกอบการในกลศาสตร์ควอนตัมจึงเป็นเฮอร์มีเทียน

$M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

$M$ $\mid\psi\rangle$ $M\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid$ $\langle\psi\mid M^\dagger$
$\langle\psi\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

— ต่อ Vognsen
แหล่งที่มา

M

$M$

2

ฉันจะให้การอ้างอิงเพิ่มเติมบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับคำถามของ Akash Kumar เกี่ยวกับการกำหนดควอนตัมด้วยมุมมองที่มีต่อการกระตุ้นให้นักเรียนเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่พวกเขาต้องการชื่นชมกรอบการพัฒนาที่ดีจำนวนมากสำหรับการศึกษาทั้งพลศาสตร์ดั้งเดิมและควอนตัม

เรามาเริ่มกันที่ข้อความของ Nielsen-Chuang คือ "ทฤษฎีบท: Unitary Freedom ในการเป็นผู้ดำเนินการ - Sum" (มาตรา 8.2 ของ Nielsen-Chuang) ข้อความของ Nielsen และ Chuang บันทึกไว้ว่าการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้ในทางทฤษฎีได้มีการแก้ไขข้อผิดพลาดของควอนตัมซึ่งมันเป็น แต่แล้วข้อความของ Nielsen-Chuang ก็เงียบลง

คำตอบที่ได้รับ (จนถึง) ที่นี่ใน Stack Exchange ไม่ได้ช่วยอะไรมากในการทำความเข้าใจกับ "การรวมอิสระ" ... ซึ่งมันกลายเป็นศูนย์กลางของทุกด้านของกลศาสตร์ควอนตัมที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่ Einstein และ Bohr เรียกว่า "spukhafte Fernwirkungen" (การกระทำที่เหมือนผี) ของกลศาสตร์ควอนตัม โดยเฉพาะอย่างยิ่งอิสรภาพรวมนี้เป็นกุญแจสำคัญในการอ่านควอนตัมการแก้ไขข้อผิดพลาดควอนตัมและการเข้ารหัสควอนตัม --- สามเหตุผลหลักที่นักเรียน TCS ศึกษาพลวัตควอนตัม

หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมนักเรียนควรอ่านอะไร มีตัวเลือกมากมาย (และคนอื่น ๆ อาจมีความชอบของตัวเอง) แต่ฉันจะแนะนำ "วิธีการทางสถิติในเลนส์ควอนตัมของโฮเวิร์ดคาร์ไมเคิล: ฟิลด์ที่ไม่ใช่แบบคลาสสิก" โดยเฉพาะในบทที่ 17--19 โดยมีหัวข้อ "Quantum Trajectories I- สาม".

ในสามบทนี้ข้อความของคาร์ไมเคิลเป็นแรงกระตุ้นทางร่างกายในสิ่งที่ข้อความของนีลเซ่น - จวงเข้ารหัสเป็นทฤษฏีและทฤษฎีบทที่เป็นทางการกล่าวคือเสรีภาพของเราในการวัดแบบฉาย (ไม่วัด) ด้วยวิธีต่างๆ อิสรภาพนี้ทำให้ร่างกายของเรามั่นใจได้ว่าเราอาศัยอยู่ในจักรวาลที่แยกออกจากกันได้เหตุผลทางคณิตศาสตร์อิสรภาพนี้เป็นพื้นฐานของการเข้ารหัสควอนตัมทั้งหมด

AFACIT มันคือ Carmichael ที่ตัวเองในปี 1993 คิดค้นคำว่ามาตรฐานในขณะนี้ "unraveling" เพื่ออธิบายความไม่แปรผันของข้อมูล ตั้งแต่นั้นมาวรรณคดีที่คลี่คลายได้เติบโตขึ้นอย่างมหาศาล: การค้นหาข้อความทั้งหมดของเซิร์ฟเวอร์ arxiv สำหรับ "ควอนตัม" และ "คลี่คลาย" พบ 762 ต้นฉบับ; การสะกดคำที่แตกต่าง "unraveling" พบ 612 ต้นฉบับมากขึ้น (อาจมีซ้ำกัน)

แน่นอนการเรียนรู้ชุดเครื่องมือทางคณิตศาสตร์และความคิดทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับควอนตัมคลี่คลายเป็นงานจำนวนมาก มีเหตุผลที่จะถามนักเรียนคาดหวังผลประโยชน์อะไรอย่างสมเหตุสมผลเพื่อตอบแทนการทำงานหนักนี้ ในคำตอบนี่คือคำอุปมาวรรคหนึ่งซึ่งผู้มีคุณธรรมระดับสูงนั้นสั้นกว่าการอ่านตำราควอนตัมสองเล่มที่ยาวและหนักหน่วงมาก (Nielsen-Chuang และ Carmichael)

กาลครั้งหนึ่งมีนักเรียนของเรขาคณิตแบบยุคลิดชื่ออลิซถามตัวเองว่า "การวัดความยาวแบบยุคลิดในโลกนี้ทำงานอย่างไรจริง ๆ " Euclidean สมมุติฐานตอบคำถามของอลิซดังนี้: "การวัดความยาวทางกายภาพทั้งหมดนั้นเทียบเท่ากับการวัดโดยเข็มทิศซึ่งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นส่วนของเส้นจำนวน" แต่ด้วยความพยายามอันสร้างสรรค์จินตนาการที่ยิ่งใหญ่อลิซรู้สึกได้ถึงคำตอบที่เท่าเทียมกันทั่วไป: "การวัดความยาวทางกายภาพทั้งหมดนั้นเทียบเท่ากับการบูรณาการความเร็วตามแนววิถีซึ่งรูปแบบทางคณิตศาสตร์เป็นเส้นโค้งบนแมนิโฟลด์ ." กรอบที่ไม่ใช่ยูคลิดของอลิซสำหรับการเปลี่ยนแปลงแบบคลาสสิกเป็นงานที่ต้องเรียนรู้มากมาย แต่มันเปิดกว้างให้กับโลกใหม่ของวิทยาศาสตร์เทคโนโลยี

เพื่อทำให้ประเด็นของคำอุปมาชัดเจนอลิซสวมใส่คำอธิบายที่แตกต่างของการเปลี่ยนแปลงแบบดั้งเดิมและทำให้ตัวเองเป็นอิสระจากข้อ จำกัด ที่เข้มงวดของพื้นที่แบบยุคลิด ในทำนองเดียวกันนักเรียนควอนตัมในวันนี้มีตัวเลือกในการรวบรวมคำอธิบายที่แตกต่างของพลศาสตร์ที่ไม่ได้ยกระดับและทำให้พวกเขาพ้นข้อ จำกัด ที่เข้มงวดของพื้นที่ของฮิลแบร์ต

เช่นเดียวกับพลศาสตร์ที่ไม่ใช่แบบยุคลิดการเปลี่ยนแปลงเชิงควอนตัมที่ไม่ใช่ของฮิลแบร์ทนั้นเป็นงานที่ต้องเรียนรู้ --- ในปัจจุบันไม่มีตำราเล่มเดียวที่ครอบคลุมเนื้อหาที่ต้องการทั้งหมด - และยังไม่ใช่สิ่งใหม่ที่ไม่ใช่ยูคลิด กรอบพลวัตกำลังเปิดโลกใหม่ที่กว้างใหญ่สำหรับการสำรวจ การสำรวจเหล่านี้ขยายจากความลึกลับของทฤษฎีสตริงไปจนถึงความท้าทายอย่างยิ่งยวดของการเขียนรหัสจำลองควอนตัมที่มีประสิทธิภาพและผ่านการตรวจสอบในสาขาเคมีและวิทยาศาสตร์วัสดุ เป็นที่ชัดเจนว่าการวิจัยในด้านใด ๆ เหล่านี้ต้องการนักเรียนที่มีความซาบซึ้งในเชิงลึกกว่าแบบ Euclid และความซาบซึ้งใจในเชิงลึกของการเปลี่ยนแปลงของควอนตัม

นั่นคือเหตุผลที่ความท้าทายทางคณิตศาสตร์และโอกาสในการวิจัยที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงทั้งแบบคลาสสิกและแบบควอนตัมไม่เคยยิ่งใหญ่กว่าในปัจจุบัน สิ่งไหนดี!