การวาดกราฟที่มีจุดยอด“ คม” น้อย?

สำหรับการฝังภาพถ่ายบนระนาบของกราฟบนระนาบที่มีขอบตรงให้กำหนดจุดยอดเป็นจุดยอดแหลมถ้ามุมสูงสุดระหว่างสองขอบที่ต่อเนื่องกันรอบมันมากกว่า 180 หรือในคำอื่น ๆ หากมีเส้นผ่านที่ จุดสุดยอดในการฝังที่ขอบทั้งหมดที่เกิดขึ้นในจุดยอดนั้นอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นจากนั้นจุดยอดนั้น "แหลม" มิฉะนั้นมันก็ไม่ใช่ นอกจากนี้ให้เรากังวลเฉพาะจุดยอดที่มีระดับอย่างน้อย 3

ฉันต้องการวาดกราฟระนาบที่มีจุดยอดแหลมน้อย มีใครเคยศึกษาภาพวาดเช่นนี้มาก่อนหรือไม่

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันต้องการวาดกราฟระนาบที่มีองศาสูงสุด 3 เพื่อให้จำนวนจุดยอดแหลมที่คมชัดระดับ 3 ในการฝังคือและพิกัดของจุดยอดสามารถเขียนลงด้วยจำนวนพหุนามจำนวนบิต$O(\log n)$

นี่คือสิ่งที่ฉันพบหลังจากใช้เวลากับ Google Scholar:

ตัวชี้วัดของฉันของความคมชัดของจุดสุดยอดมีความเกี่ยวข้องกับแนวคิดการศึกษาอยู่แล้วเรียกว่าเชิงมุมมติ จากวิกิพีเดีย:

ความละเอียดเชิงมุมของการวาดภาพของกราฟหมายถึงมุมที่คมชัดที่สุดที่เกิดขึ้นจากขอบทั้งสองที่ตรงกับจุดยอดทั่วไปของการวาด

ดังนั้นการวาดภาพถ่ายด้วยระนาบที่มีความละเอียดเชิงมุมประมาณจุดยอดองศา 3 จะดีสำหรับจุดประสงค์ของฉัน$\pi/2$

สำหรับจุดยอดที่มีองศาในการวาดภาพความละเอียดเชิงมุมที่อยู่รอบ ๆ นั้นจะมีค่าสูงสุด2 π /$d$$2\pi/d$ d

$d$$\alpha^d$$d=3$

$\Theta(n)$

ในทางกลับกันหากคุณต้องการการเชื่อมต่อในระดับที่สูงขึ้นคุณสามารถหลีกเลี่ยงการมีจุดยอดที่คมชัดมากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณมีกราฟระนาบ 3 จุดที่เชื่อมโยงกันมันสามารถวาดได้ (เช่นโดยใช้ทฤษฎีบทของ Steinitz เพื่อค้นหาการเป็นตัวแทนรูปหลายเหลี่ยมแล้วสร้างการฉายภาพมุมมอง) ในลักษณะที่ใบหน้าทั้งหมดนูน ใบหน้าด้านนอกจะคม แต่กราฟระนาบ 3 จุดที่เชื่อมต่อทุกตัวสามารถฝังในลักษณะที่ใบหน้าด้านนอกมีจุดสูงสุดห้าจุด (กรณีที่แย่ที่สุดคือเป็นแบบสิบสองเหลี่ยม) เพื่อให้คุณสามารถวาดกราฟระนาบแบบ 3 มิติที่เชื่อมต่อทุกตัว (ปกติ 3 หรือไม่) จุดยอดแหลมที่สุดห้าแห่ง