Multipebble automata สามารถตัดสินใจภาษาที่ไวต่อบริบทที่กำหนดทั้งหมดได้หรือไม่

MPA (Multipebble automaton) เป็น 2DFA (สองทาง จำกัด แบบ จำกัด ทางอัตโนมัติ) ที่สามารถใช้จำนวนของก้อนกรวดโดยพลการ (โดยจริงแล้วก้อนกรวดบนอินพุตที่กำหนด - อินพุตถูกเขียนลงบนเทประหว่างสองปลาย - เครื่องหมายเป็น ) ในระหว่างการคำนวณ MPA สามารถตรวจจับได้ว่าสัญลักษณ์ใต้หัวนั้นมีก้อนกรวดหรือไม่และจากนั้นก็สามารถใส่ก้อนกรวด (ลบก้อนกรวด) หากไม่มีกรวด (กรวด)w # w $|w|+2$$w$$\# w \#$

σ k > $h_k(\sigma) = \underbrace{\sigma \cdots \sigma}_{k \mbox{ times}} = \sigma^k$เป็น homomorphism ที่เป็นสัญลักษณ์และ 0$\sigma$$k>0$

สำหรับภาษาที่มีความอ่อนไหวตามบริบทมันไม่ยากที่จะแสดงว่ามีเช่นนั้นสามารถรับรู้โดย MPA ดังนั้นการพูดอย่างอิสระเราสามารถพูดได้ว่าk > 0 ชั่วโมงk ( L$\mathtt{L} ~~ \left( \mathtt{L} \in \mathsf{DSPACE(n)} \right),$$k>0~$$h_k( \mathtt{L} )$

"ปัญหา" ใด ๆ ที่ decidable โดย linear-space DTM (เครื่องทัวริงกำหนดค่า) สามารถตัดสินใจได้โดย MPA

เป็นจริงสำหรับภาษาใด ๆ ในหรือไม่ MPAs สามารถตัดสินใจได้ทุกภาษาที่คำนึงถึงบริบทหรือไม่$\mathsf{DSPACE(n)}$

$|w|$คือความยาวของW$w$

ฉันทีเอช W 1 ≤ ฉัน≤ | w $w_i$เป็นสัญลักษณ์ของโดยที่.$i^{th}$$w$$1 \leq i \leq |w|$

$h_k(\mathtt{L}) = \left\lbrace h_k(w_1) h_k(w_2) \cdots h_k(w_{|w|}) \mid w \in \mathtt{L} \right\rbrace$\

บางทีคุณสามารถสร้างภาษาใน DPSACE (n) ที่ MPA ไม่สามารถจดจำได้ด้วยโดยใช้อาร์กิวเมนต์ diagonalization (อาจเป็นความคิดที่คล้ายคลึงกับคำตอบของ Ben แต่ฉันไม่ได้ขุดมัน)$k=1$

สมมติว่าตัวอักษรคุณเข้ารหัส MPA โดยใช้รายการการเปลี่ยนแปลง:$\Sigma = \{0,1\}$

$s,a,p \rightarrow s',p',L|R;...\#$

โดยที่คือสถานะปัจจุบัน,คือสัญลักษณ์ปัจจุบัน,คือสถานะเพบเบิล,คือสถานะใหม่,คือสถานะเพบเบิลใหม่,คือทิศทางการเคลื่อนที่,คือ endmarker)$s$$a$$p$$s'$$p'$$L|R$$\#$

เครื่องทัวริงบนอินพุตสามารถตรวจสอบว่าเป็นคำอธิบายที่ถูกต้องของและจำลองบนอินพุตระยะเวลาโดยใช้ เซลล์ยืดอินพุตด้วยวิธีนี้:$M$$x$$MPA_x$$x$$4^{|x|}$$6|x|+\log|x|$

 MPA description # MPA tape # curr_state # counter #

ที่ไหน:

• คำอธิบาย MPA เป็นสตริงอินพุตดั้งเดิม (มีความยาว )$x$$|x|$
• เทป MPA คือการนำเสนอเทป MPA: สำหรับทุกเซลล์เราสามารถใช้ 3 บิตเพื่อเก็บค่าสถานะส่วนหัวค่าสถานะแบบพลอยและเนื้อหาเทปแบบคงที่ (มีความยาว )$3|x|$
• curr_state เก็บสถานะปัจจุบันของ MPA (มีความยาว )$\log |x|$
• ตัวนับเป็นตัวนับขั้นตอนการจำลองที่อัปเดตหลังจากแต่ละขั้นตอนการจำลอง (มีความยาว )$2|x|$

หากหยุดทำงานในขั้นตอนดังนั้น TMเอาท์พุทตรงกันข้าม (ถ้าไม่หยุดเอาต์พุต 0)4 | x | เอ็ม$MPA_x$$4^{|x|}$$M$$M$

$x > x_0$$4^{|x|}$$2^{|x|+2} |x| \log |x|$$MPA_x$$MPA_x$$4^{|x|}$

$MPA_y$$L$$M$$MPA_{y'}$$y'>x_0$

$MPA_{y'}(y') = 1 - M(y') = 1 - MPA_{y'}(y')$

$\log(N(|k|+2))+|k|+2$

เนื่องจากภาษานี้สามารถ decidable ในพื้นที่เชิงเส้นจึงเป็น DCSL