ความสามารถในการตัดสินใจ / อัลกอริทึมสำหรับการตรวจสอบความเป็นสากลของชุดควอนตัมเกต

ได้รับชุดประตูควอนตัม จำกัด , มันเป็น decidable (ในความหมายเชิงทฤษฎีการคำนวณ) ว่าเป็นชุดประตูสากลหรือไม่? ในอีกด้านหนึ่งชุดประตู "เกือบทั้งหมด" นั้นเป็นสากลในขณะที่ชุดประตูที่ไม่ใช่สากลยังคงไม่เป็นที่เข้าใจกันอย่างชัดเจน ดังนั้นฉันคิดว่าการให้อัลกอริทึมที่ชัดเจนสำหรับการตรวจสอบความเป็นสากลอาจไม่ใช่เรื่องง่าย $\mathcal{G} = \{G_1, \dots, G_n\}$ $\mathcal{G}$

quantum-computing

— Marcin Kotowski
แหล่งที่มา

คุณช่วยชี้แจงคำถามได้ไหม? คำตอบของโจสมมติว่าคุณมีจำนวน qubits คงที่และประตูทุกบานดำเนินการกับสิ่งเหล่านั้น แต่สำหรับความเป็นสากลเรามักจะถือว่าประตูสามารถดำเนินการกับส่วนย่อยของ qubits ใด ๆ ตัวอย่างเช่น CNOT + ประตูแบบครบวงจรทั้งหมดนั้นไม่เป็นสากลถ้าประตูแบบหนึ่งควิบิตสามารถกระทำได้เฉพาะที่ควิบิตแรกเท่านั้นและ CNOT นั้นเป็นเพียงตั้งแต่ควิบิต 1 ถึงควิบิต 2 ในกรณีหลังเราอาจต้องการคาดการณ์หลาย qubits เพื่อให้ได้ความเป็นสากล ในกรณีนี้ฉันคิดว่าอาจไม่รู้จักแอนเวอร์

@DanielGottesman: ฉันเห็นด้วยกับข้อ จำกัด ของคำตอบ อันที่จริงผมเชื่อว่ามันเป็นที่ตัดสินไม่ได้ในกรณีหลังดังนี้ใช้ automata ถือบนตาข่ายอนันต์ของ qubits และใช้ในการเข้ารหัสลังเลปัญหา (เรียกรวมกันปรับปรุงนี้

) จากนั้นทำตาข่ายสองด้วย QCA สากล (พร้อมอัปเดต Unitary

) เราสามารถกำหนดใหม่รวม

ซึ่งตัวห้อย

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

C U_{2} = | 0 ⟩ ⟨ 0 |_{H} \otimes I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$CU_2 = |0\rangle\langle0|_H\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes U_2$

H

$H$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

C U_{2} \times U_{1}

$CU_2 \times U_1$

สำหรับกรณีของมิลโตเนี่ยนมากกว่าคำตอบคือใช่เล็กน้อย: คุณเพียงแค่ระบุองค์ประกอบอิสระของพีชคณิต Lie เนื่องจาก Lie พีชคณิตเป็นเวกเตอร์สเปซที่มีการเพิ่มตัวดำเนินการวงเล็บเหลี่ยม เนื่องจากพื้นที่มี จำกัด จึงมีขอบเขต จำกัด และสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าปิดหรือเปิดภายใต้การใช้งาน Lie bracket เพียงแค่ตรวจสอบ Lie bracket ของผู้ประกอบฉากทุกคู่สามารถทำได้ในเวลาพหุนามในมิติของพื้นที่และพื้นฐานผู้ประกอบการที่เหมาะสมสามารถพบได้โดยวิธีการ Gram-Schmidt

สำหรับประตูคุณไม่ได้มีทางเลือกเหมือนกันในการหันไปหา infinitesimals ในทันทีและจำเป็นต้องสร้างประตูที่มีค่าลักษณะไม่ลงตัวเพื่อให้คุณสามารถประมาณค่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนาดเล็กได้ตามต้องการ ฉันเดาว่ามีวิธีที่ค่อนข้างง่ายในการทำเช่นนี้ แต่ไม่ชัดเจนทันทีสำหรับฉัน

ไม่ว่าในกรณีใดการบันทึกล็อกของประตูเพื่อให้ได้ชุดของตัวดำเนินการที่สร้างขึ้นเมื่อมีการชี้แจงและตรวจสอบว่าสิ่งเหล่านี้สร้างพีชคณิตแบบเต็มโกหกจะให้เกณฑ์ที่จำเป็น แต่ไม่เพียงพอสำหรับความเป็นสากล

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

ทำไมเราควรตรวจสอบคู่เท่านั้น

— Alex 'qubeat'

@AlexV: เนื่องจาก Lie Bracket ใช้งาน 2 อินพุต ทุกครั้งที่คุณสร้างโอเปอเรเตอร์อิสระแบบเส้นตรงใหม่ ๆ คุณจะสร้างฉากตั้งฉากและทำซ้ำจนกระทั่งปิด

— Joe Fitzsimons

[\dots [H_{k}, H_{j}], H_{l}], \dots]

$[\ldots[H_k,H_j],H_l],\ldots]$

@AlexV: คุณไม่จำเป็นต้อง มันเป็นปริภูมิเวกเตอร์ดังนั้นเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นที่ย่อยที่กำหนดถ้าหากมันเป็นฉากตั้งฉากกับพื้นฐานใด ๆ สำหรับพื้นที่ย่อยนั้น

— Joe Fitzsimons

ดูเหมือนว่าเรากำลังพูดถึงสิ่งต่าง ๆ - เวกเตอร์อวกาศที่คุณกำลังพูดถึงคืออะไร? คุณไม่รู้ตั้งแต่เริ่มต้น subalgebra ที่สร้างโดยประตูของคุณ - คุณต้องสร้างมันจาก Hamiltonians ที่กำหนดเพื่อตรวจสอบว่าเป็นพีชคณิต Lie ทั้งหมดหรือไม่

— Alex 'qubeat'