ความซับซ้อนในการคำนวณของเลนส์ควอนตัม

ใน"ข้อกำหนดสำหรับการคำนวณควอนตัม"บาร์ตเลตต์และแซนเดอร์สสรุปผลลัพธ์ที่ทราบสำหรับการคำนวณควอนตัมตัวแปรต่อเนื่องในตารางต่อไปนี้:

ตารางจาก Bartlett และ Sanders, 2003

คำถามของฉันคือสามเท่า:

เก้าปีต่อมาเซลล์สุดท้ายสามารถเติมเต็มได้ไหม?
หากมีการเพิ่มคอลัมน์ด้วยชื่อ "Universal for BQP" คอลัมน์ที่เหลือจะมีลักษณะอย่างไร
ผลงานชิ้นเอก 95 หน้าของ Aaronson และ Arkhipov สามารถสรุปเป็นแถวใหม่ได้หรือไม่?

quantum-computing

— Chris Ferrie
แหล่งที่มา

คำตอบของ Chris Granade แนะนำว่าแถว KLM ของคอลัมน์การวัดควรเป็น "การนับโฟตอนการเลือกโพสต์" มีใครรู้บ้างไหมว่าส่วนหัวอื่น ๆ ต้องการการเลือกแบบโพสต์ด้วยหรือไม่

— Chris Ferrie

อาจเป็นคำถามที่โง่ แต่ไม่ใช่ความจริงที่ว่าคุณสามารถละเมิดความไม่เท่าเทียมกันของเบลล์ด้วยโฟตอนเดี่ยวและการตรวจจับ homodyne เป็นหลักฐานว่ารายการสุดท้ายของตารางไม่สามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่

@ MateusAraújo - หลักฐานที่น่าเชื่อถือที่สุดที่ความซับซ้อนในการคำนวณไม่เกี่ยวข้องกับสถานที่นั้นมาจากข้อเท็จจริงสองประการ: (1) ว่ารูปแบบการโคลงของโคลงสั้น ๆ ของ qubit นั้นมีประสิทธิภาพในเชิงคลาสสิกผ่านทฤษฎีบท Gottesman-Knill (2) พิธีการโคลง qutrit เป็นคลาสสิกอย่างมีประสิทธิภาพ simulatable แต่ก็ยังสามารถหาตัวแปรที่ซ่อนอยู่ในท้องถิ่นทำซ้ำมัน

— Chris Ferrie

มีความเสี่ยงที่จะเบี่ยงเบนความสนใจไปจากคำถามของคุณ แต่: เป็นที่รู้จักกันหรือไม่ว่าระบบที่มีรูปแบบตัวแปรซ่อนเร้นในตัวเครื่อง แต่ไม่สามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่ นั่นจะทำให้ฉันประหลาดใจจริงๆ

@ MateusAraújo - ฉันคิดว่าระบบวุ่นวายแบบคลาสสิกจะทำยังไงดี?

— Chris Ferrie

คำตอบ:

สำหรับคำถามที่สามของคุณ Aaronson และ Arkhipov (A&A เพื่อความกะทัดรัด) ใช้โครงสร้างของการคำนวณเชิงแสงเชิงควอนตัมเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับการก่อสร้าง KLM โดยเฉพาะอย่างยิ่งพวกเขาพิจารณากรณีของเหมือนกันที่ไม่ได้มีปฏิสัมพันธ์โฟตอนในพื้นที่ของการโหมดเริ่มต้นในสถานะเริ่มต้น นอกจากนี้ A&A ยังอนุญาตให้ beplplters และ phaseshifters ซึ่งเพียงพอที่จะสร้างตัวดำเนินการที่รวมกันทั้งหมดในพื้นที่ของโหมด (ที่สำคัญแม้ว่าจะไม่ได้อยู่ในพื้นที่เต็มรูปแบบของระบบ) การวัดทำได้โดยการนับจำนวนโฟตอนในแต่ละโหมดโดยสร้าง tuple $n$ $\text{poly}(n) \ge m \ge n$

| 1_{n} ⟩ = | 1, \dots, 1, 0, \dots, 0 ⟩ (n 1s) .

$\left|1_n\right>=\left|1,\dots,1,\ 0,\dots,0\right>\quad (n\text{ 1s}).$

m \times m

$m\times m$

(s_{1}, s_{2}, \dots, s_{m})

$(s_1, s_2, \dots, s_m)$ ในการประกอบอาชีพตัวเลขดังกล่าวว่าและสำหรับแต่ละฉัน(คำจำกัดความส่วนใหญ่สามารถพบได้ในหน้า 18-20 ของ A&A)

\sum_{i} s_{i} = n

$\sum_i s_i = n$

s_{i} \geq 0

$s_i \ge 0$

i

$i$

ดังนั้นในภาษาของตารางโมเดล A&A BosonSampling น่าจะอธิบายได้ดีที่สุดว่า "โฟตอน, เลนส์เชิงเส้นและการนับโฟตอน" ในขณะที่ประสิทธิภาพคลาสสิกของการสุ่มตัวอย่างจากโมเดลนี้คือการพูดอย่างไม่ทราบความสามารถในการสุ่มตัวอย่างแบบคลาสสิกจากโมเดล A&A จะบ่งบอกถึงการล่มสลายของลำดับชั้นพหุนาม เนื่องจากการพังทลายของค่า PH ใด ๆ นั้นโดยทั่วไปถือว่าไม่น่าเป็นไปได้อย่างมากจึงไม่น่าที่จะกล่าวได้ว่าการสุ่มตัวอย่าง Boson อาจไม่ได้มีประสิทธิภาพและสามารถจำลองได้อย่างคลาสสิก $n$

สำหรับ BQP- ความเป็นสากลของแบบจำลอง A&A ในขณะที่เลนส์เชิงเส้นของโบซอนแบบไม่โต้ตอบเพียงอย่างเดียวไม่เป็นที่รู้จักกันทั่วไปสำหรับ BQP การเพิ่มการวัดหลังการเลือกนั้นเพียงพอที่จะได้รับความเป็นสากล BQP เต็มรูปแบบผ่านทฤษฎีบท KLM ความน่าจะเป็นที่ได้รับการยอมรับของการเลือกในการก่อสร้างของ KLM เท่ากับ 1/16โดยที่คือจำนวนประตูควบคุม -Z ที่ปรากฏในวงจรที่กำหนด ไม่ว่าจะเพียงพอที่จะสรุปได้ว่าโมเดลเชิงเส้นตรงของ BQP ที่ผ่านการคัดเลือกนั้นมีประสิทธิภาพหรือไม่นั้นเป็นเรื่องของสิ่งที่เรากำหนดให้มีประสิทธิภาพ แต่เป็นสากล $1/16^\Gamma$ $\Gamma$

Aaronson สำรวจกล่องเลนส์เชิงเส้นแบบโพสต์ที่ได้รับการคัดเลือกเพิ่มเติมในกระดาษติดตามผลของเขาบน # P-hardness ของค่าคงที่ ผลลัพธ์นี้ได้รับการพิสูจน์โดย Valiant ก่อนหน้านี้ แต่ Aaronson นำเสนอหลักฐานใหม่ตามทฤษฎี KLM จากบันทึกด้านข้างฉันพบว่ากระดาษนี้ทำให้มีการแนะนำที่ดีเกี่ยวกับแนวคิดมากมายที่ A&A ใช้ในผลงานชิ้นเอกของ BosonSampling

— Chris Granade
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดี! ดังนั้น x ในคอลัมน์สุดท้ายควรมีเชิงอรรถหรืออย่างแม่นยำมากขึ้นเป็นเครื่องหมายคำถามเนื่องจากเราไม่รู้ว่า P = BQP หรือไม่

— Chris Ferrie

ขอบคุณ! คอลัมน์สุดท้ายเป็นสมมติฐานที่ดีที่สุดเนื่องจากเราไม่มีหลักฐานว่า P ≠ BQP ผลลัพธ์ A&A เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งที่สุดที่ฉันเคยเห็นสำหรับการแยกการคำนวณแบบคลาสสิกและควอนตัมแม้ว่าจะให้ผลที่เป็นรูปธรรมในเชิงทฤษฎีที่ซับซ้อนของการมีตัวจำลองแบบคลาสสิกที่มีประสิทธิภาพ บางทีคอลัมน์ที่มีความหมายมากกว่านี้อาจเป็น "ผลของการจำลองแบบคลาสสิกที่มีประสิทธิภาพ?"

— Chris Granade

คำถามติดตามผลที่อาจสมควรได้รับคำถามด้วยตัวคุณเอง: คุณรู้หรือไม่ว่ามีวิธีธรรมชาติในการพิสูจน์ว่าเลนส์ออพติคัลเชิงเส้นด้วยตัวเองนั้นไม่ใช่สากลสำหรับ BQP? หรือมีอุปสรรคในการพิสูจน์สิ่งนี้ (เช่นโดยการบอกสิ่งอื่น ๆ เราไม่รู้ว่าจะแสดงยังคงจริงหรือไม่)

— Abhinav

หลังจากสองสัปดาห์เรียนด้วยตัวเองผิดพลาดหลักสูตรอย่างต่อเนื่องคำนวณตัวแปรควอนตัม (เริ่มต้นด้วยนี้ทบทวนบทความ) ผม % มั่นใจในคำตอบต่อไปนี้: $\cos^2(\frac\pi8)$

ผมเชื่อว่ามันไม่ยุติธรรมที่จะบอกว่ารายการสุดท้ายในตารางเป็น "X" เนื่องจากควอนตัมคอมพิวเตอร์ที่มีอย่างต่อเนื่องตัวแปรกลุ่มโดย Gu , et al พวกเขาแสดงให้เห็นว่ารัฐที่ไม่ใช่แบบเกาส์สามารถดำเนินการได้โดยการวัด homodyne สำหรับ UQC
คอลัมน์สมมุติฐาน "Universal for BQP" จะมี "X" สำหรับแถวแรกและ "ตรวจสอบ" เพื่อพักผ่อน - ยกเว้นแถวสมมุติฐานบนผลลัพธ์ Aaronson และ Arkhipov ซึ่งจะมี "?" (แม้ว่ามันอาจจะเป็น "X" ตามผู้เขียน)
ดูคำตอบของ Chris Granade ด้านบน

UPDATE: ฉันควรถามด้วยเช่นกันว่าสามารถเพิ่มแถวใหม่ได้หรือไม่ ไม่ว่าในกรณีใด ๆ เราสามารถ: ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

นั่นคือจากVeitch et al, ดูเพิ่มเติมMari และ Eisert

— Chris Ferrie
แหล่งที่มา