ค่าเฉลี่ยการบิดเบือนแต่งงาน

11

พิจารณาสองพื้นที่วัดและและการฝังY การวัดพื้นที่แบบดั้งเดิม embeddings วัดคุณภาพของเป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุดของต้นฉบับ - ระยะทางอัตราส่วน: $(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

มีมาตรการอื่น ๆ ที่มีคุณภาพแม้ว่า: Dhamdhere et alศึกษาการบิดเบือน "เฉลี่ย":

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

อย่างไรก็ตามการวัดที่ฉันสนใจที่นี่คือวิธีการที่ใช้โดยวิธีเหมือน MDS ซึ่งดูที่ข้อผิดพลาดการเติมเฉลี่ย:

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

แม้ว่าจะมีการศึกษาวิธีการที่คล้ายกับ MDS อย่างกว้างขวางนอกทฤษฎีชุมชน CS ฉันก็รู้ว่ามีเพียงบทความเดียว ( โดย Dhamdhere และคณะ ) ที่ตรวจสอบการเพิ่มประสิทธิภาพภายใต้มาตรการนี้และนั่นก็เป็นปัญหาที่ จำกัด ในการฝังลงบนเส้น ( $Y = \mathbb{R}$ ) (หมายเหตุด้าน: วิทยานิพนธ์ Tasas Sidiropoulos ' 2005 MSมีความคิดเห็นที่ดีเกี่ยวกับงานก่อนหน้านี้)

มีงานอื่น ๆ อีกบ้างที่ผู้คนรับรู้เกี่ยวกับการวิเคราะห์คุณภาพอย่างเข้มงวดภายใต้แนวคิดเรื่องข้อผิดพลาดนี้หรือไม่? ในขณะที่ปัญหาเหล่านี้มักจะเกิดปัญหา NP-hard แต่สิ่งที่ฉันสนใจคือการประมาณค่าใด ๆ

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

3

นี่เป็นคำถามที่ดี ฉันไม่รู้อัลกอริธึมการประมาณค่า แต่ความแข็งที่ทราบแล้วเป็นผลมาจากการประมาณการบิดเบือนขั้นต่ำ (และปัญหาที่เกี่ยวข้องเช่นการติดฉลากเมตริก) ควรแสดงให้เห็นว่านั้นยากที่จะประมาณ $\epsilon^2$

เหตุผลก็คือพวกเขาให้การลดลงของปัญหา NP-hard เช่นในกรณี YES การบิดเบือนคือและในกรณี NO การบิดเบือนคืออย่างน้อยเศษส่วนคงที่ของขอบ ดังนั้นในกรณี YESจะเป็นปัจจัยเล็กกว่าในกรณี NO สำหรับรายละเอียดดูตัวอย่างกระดาษโดย Khot-Saket: www.cs.cmu.edu/~rsaket/pubs/approx.pdf $O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

ฉันไม่แน่ใจว่าปัจจัยความแข็งใดที่ตามมาจากกระดาษของพวกเขา แต่มันก็ไม่ควรยากที่จะเข้าใจ (ฉันจะเดาว่าอย่างน้อยที่สุดปัจจัยที่คุณควรได้รับสำหรับการติดฉลากระบบเมตริก) $\log^c(n)$

— มอริตซ์
แหล่งที่มา

นั่นเป็นคำแนะนำที่ดี ฉันจะดูงานการทำป้ายกำกับเมตริกอย่างแน่นอน เป็นที่ทราบกันว่าแม้การฝังลงบนบรรทัดคือ MAX SNP-hard แต่มันน่าสนใจ (แม้ว่าจะน่าผิดหวัง) เพื่อดูผลลัพธ์ที่ดีขึ้น

— Suresh Venkat

2

ฉันอาจจะหายไปบางอย่าง แต่ทำไม ? เราสนใจที่จะประมาณอย่างใกล้ชิดดังนั้นเราจึงไม่สามารถขยายเพื่อสร้างสำหรับใช่ไหม? $\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

ข้อดีอย่างหนึ่งของที่นี่คือเราสามารถทำได้ไม่ดีในระยะสั้นและในที่สุดก็โอเค นอกจากนี้ปัญหาง่าย (โดยประมาณถึงแม้ว่า) หากเราต้องการฝังหรือไม่ (เราสามารถเขียนโปรแกรมคณิตศาสตร์เพื่อจับคำถามได้ไหม) $\ell_2$

— Aditya
แหล่งที่มา

จุดดี. ฉันเปลี่ยนคำตอบ

— Moritz

มันขึ้นอยู่กับสูตร หากคุณก่อให้เกิดปัญหาในการย่อขนาดสำหรับพื้นที่ย่อยเป้าหมายที่มีมิติคงที่ข้อ จำกัด อันดับจะทำให้เกิดปัญหา หากคุณใช้สูตร "JL-style" (เช่นแก้ไขข้อผิดพลาดและค้นหามิติที่ถูกต้อง) สิ่งนั้นอาจทำได้

ϵ

$\epsilon$

— Suresh Venkat

ปริมาณซึ่งอาจจะเป็นประโยชน์ในการ "แข่งขันกับ" คือ 2 พิจารณาปัญหาของการฝังลงใน (ฉันแนะนำก่อนหน้านี้ แต่มันมี sqrt ที่ยุ่งเหยิง) เราต้องตั้งเป้าหมายที่จะได้รับ embeddings อย่างชัดเจนซึ่งมีเป็น (ในความหมายที่คลุมเครือซึ่งหมายความว่าเราปิดคูณทวีสำหรับส่วนใหญ่เราสามารถได้รับการฝัง สำหรับพูด (ตัวขยายองศา) ตัวขยาย (หรือพิสูจน์ได้ว่าเป็นไปไม่ได้ใช่ไหม)

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$

— aditya