แก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมเชิงเส้นที่เข้มงวดอย่างมีประสิทธิภาพด้วยสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับ 1 โดยไม่ต้องใช้ตัวแก้ LP ทั่วไปหรือไม่?

นอกเหนือจากการใช้ตัวแก้จุดมุ่งหมายทั่วไปของ LP มีวิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมของตัวแปรโดยที่ความไม่เท่าเทียมกันมีรูปแบบ ? แล้วกรณีพิเศษของความไม่เท่าเทียมกันที่รวมกันเป็นผลรวมของจำนวนสมาชิกของชุดพลังของ ?$x_i, \ldots, x_k$$\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j$$\{x_i, \ldots, x_k\}$

สำหรับคำถามแรกของคุณหากไม่มีคำสั่งซื้อทั้งหมดคำตอบสำหรับคำถามของคุณคือการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเป็นเรื่องยาก นี่คือโครงร่างของการพิสูจน์

อันดับแรกให้สร้างตัวแปรซึ่งเราเรียกว่า\ตอนนี้ขอเลือกตัวแปรอื่นซึ่งเราจะเรียก1เราต้องการให้แน่ใจว่า หากต้องการทำสิ่งนี้ให้พิจารณาความไม่เท่าเทียม และอื่น ๆ ด้วยห่วงโซ่ที่ยาวพอนี่จะบอกเราว่าหรือสำหรับมีขนาดใหญ่มากบางตัว(คือหมายเลขฟีโบนักชีและเติบโตขึ้นอย่างมากใน )$x_1>0$$\epsilon$$x_i$$1$

$$\epsilon \ll 1\, .$$ $$x_1 < x_2,$$ $$x_1 + x_2 < x_3,$$ $$x_2+x_3 < x_4,$$ $Nx_1 < x_i$$\epsilon < 1/N$$N$$N$$i$

ตอนนี้เราสามารถผลิตโปรแกรมเชิงเส้นพร้อมค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ถ้าเราต้องการค่าสัมประสิทธิ์ของ 3 บนเราเพิ่มความไม่เท่าเทียมกัน และให้ยืน ใน 3 x_tหากคุณต้องการสัมประสิทธิ์ที่มากขึ้นคุณสามารถรับได้โดยการแสดงสัมประสิทธิ์ในรูปแบบเลขฐานสองและสร้างความไม่เท่าเทียมกันที่รับประกันว่า ,และอื่น ๆ เพื่อให้ได้ทางขวามือเราจะทำเช่นเดียวกันกับตัวแปร$x_t$

$$x_t < x_{t'} < x_{t''} < x_t + \epsilon$$ $x_t + x_{t'} + x_{t''}$$x_t$$x_u \approx 2x_t$$x_v \approx 2x_u$$x_i = 1$. เทคนิคนี้จะช่วยให้เราใช้โปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบของ OP เพื่อประมาณความเป็นไปได้ในการตรวจสอบโปรแกรมเชิงเส้นโดยมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มซึ่งเป็นงานที่ยากเหมือนการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ฉันไม่ทราบวิธีวิเคราะห์คำถามที่สองถามเกี่ยวกับกรณีที่มีคำสั่งซื้อทั้งหมดในชุดย่อยทั้งหมด