Büchiออโตมาพร้อมกลยุทธ์การยอมรับ

ปัญหา

ให้เป็นหุ่นยนต์BüchiจำภาษาLเราคิดว่ามีกลยุทธ์ที่ได้รับการยอมรับในความหมายดังต่อไปนี้: มีฟังก์ชั่นซึ่งสามารถใช้ในการนำร่องวิ่ง เราดำเนินการตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้: $A=\langle \Sigma, Q, q_0,F,\Delta\rangle$ $L\subseteq\Sigma^\omega$ $A$ $\sigma:\Sigma^*\to Q$ $A$

$\sigma(\epsilon)=q_0$
สำหรับและ , $u\in\Sigma^*$ $a\in\Sigma$ $(\sigma(u),a,\sigma(ua))\in\Delta$
สำหรับ , การขับโดยคือการยอมรับ, นั่นคือลำดับมีองค์ประกอบหลายอย่างมากมายในF $w=a_0a_1a_2\dots\in L$ $\sigma$ $\sigma(\epsilon),\sigma(a_0),\sigma(a_0a_1),\sigma(a_0a_1a_2),\dots$ $F$

ในการเพิ่มเงื่อนไขให้สามารถยอมรับคำศัพท์ภาษาใดก็ได้โดยไม่ต้องคาดเดาอะไรเกี่ยวกับอนาคต $A$

จากนั้นภายใต้สมมติฐานเหล่านี้ในมันเป็นความจริงหรือไม่ที่สามารถกำหนดได้เพียงแค่ลบการเปลี่ยน? กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถเลือกการเปลี่ยนแปลงครั้งต่อไปได้หรือไม่ขึ้นอยู่กับสถานะและจดหมายปัจจุบันเท่านั้น? มีการอ้างอิงเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่? คำถามเดียวกันสามารถถามได้ใน co-Büchiออโตมาตะและออนิก้าทั่วไป $A$ $A$

สิ่งที่เป็นที่รู้จัก

นี่คือผลลัพธ์บางส่วน

อันดับแรกเราสามารถ จำกัดเป็นตัวเลือก nondeterminstic ระหว่างรัฐที่มีส่วนที่เหลือเหมือนกัน แน่นอนถ้าเป็นภาษาที่ได้รับการยอมรับจากกลยุทธ์ยอมรับไม่สามารถเลือกกว่าในบางจุดถ้ามี(q_1) $\sigma$ $L(q)$ $q$ $q_1$ $q_2$ $w\in L(q_2)\setminus L(q_1)$

ขอให้สังเกตว่าทางเลือกที่เหลือนั้นมีความสำคัญดังนั้นแม้จะมีสัญชาตญาณ แต่ก็ยังไม่เพียงพอที่จะกำจัดลัทธิหลงทาง นี่เป็นเพราะมันเป็นไปได้ที่จะอยู่ ad infinitum ในส่วนที่เหลือดี (เช่นส่วนที่เหลือของคำนั้นอยู่ในส่วนที่เหลือ) แต่ปฏิเสธคำนั้นเพราะไม่เห็นBüchiหลายรัฐอย่างไม่สิ้นสุด นี่คือปัญหาหลักของปัญหา: การทำงานที่ไม่มีที่สิ้นสุดสามารถผิดโดยไม่ทำผิดพลาดร้ายแรงในบางจุด

ประการที่สองปัญหาจะแก้ไขถ้าคือทุกคำที่ได้รับการยอมรับโดย ในกรณีนี้เราสามารถดูเป็นเกมBüchiที่ผู้เล่นฉันเลือกตัวอักษรที่ป้อนและ Player II เลือกการเปลี่ยน จากนั้นเราสามารถใช้การกำหนดตำแหน่งของเกมBüchiเพื่อแยกกลยุทธ์ตำแหน่งสำหรับ Player II ข้อโต้แย้งนี้ใช้ได้กับกรณีทั่วไปของออโต้พาริตี้ ความยากลำบากของปัญหานี้มาจากความจริงที่ว่าบางคำไม่ได้อยู่ในและในกรณีนี้กลยุทธ์สามารถมีพฤติกรรมใด ๆ $L=\Sigma^\omega$ $A$ $A$ $L$ $\sigma$

ประการที่สามนี่เป็นหลักฐานที่อยู่ภายใต้สมมติฐานที่ภาษาอยู่ในชั้นเรียนภาษาBüchiกำหนดที่เห็นหุ่นยนต์กับรัฐ Q ขอให้สังเกตว่านี่หมายความว่าไม่สามารถเป็นภาษา -regular ใด ๆ ได้ตัวอย่างเช่นถ้าไม่มีกลยุทธ์ตรงกับเงื่อนไขใด ๆ $L$ $2^Q$ $L$ $\omega$ $L=(a+b)^*a^\omega$ $\sigma$

เราเริ่มต้นด้วยการ จำกัด ช่วงการเปลี่ยนภาพตามคำพูดแรก: ตัวเลือกเดียวที่เราสามารถทำได้ไม่ส่งผลกระทบต่อภาษาตกค้าง เรารับผู้สืบทอดที่มีค่าสูงสุดสูงสุดเท่านั้นพวกเขาจะต้องมีอยู่เพราะอยู่ $\sigma$

จากนั้นเราสร้างด้วยวิธีต่อไปนี้ เป็นหุ่นยนต์ชุดย่อยของแต่เวลารัฐBüchiทุกปรากฏในองค์ประกอบทั้งหมดที่รัฐอื่น ๆ สามารถลบออกจากองค์ประกอบและเราจะเริ่มต้นอีกครั้งจากเดี่ยว\} จากนั้นเราสามารถตั้งค่า\} เราสามารถยืนยันได้ว่าเป็นหุ่นยนต์BüchiกำหนดสำหรับL $A'=\langle \Sigma, 2^Q, \{ q_0\},F',\Delta'\rangle$ $A'$ $A$ $q$ $\{ q\}$ $F'=\{\{ q\} : q\in F\}$ $A'$ $L$

สุดท้ายโดยการใส่คำพูดที่สองและสามเข้าด้วยกันเราจะได้รับกลยุทธ์หน่วยความจำที่ จำกัดโดยใช้กลยุทธ์ตำแหน่งสำหรับผู้เล่น II ในเกมที่ผู้เล่นฉันเลือกตัวอักษรผู้เล่น II เลือกการเปลี่ยน ในและชนะถ้ายอมรับเมื่อใดก็ตามที่ยอมรับ $\sigma$ $A\times A'$ $A$ $A$ $A'$

— เดนิส
แหล่งที่มา

เขียน

สำหรับหุ่นยนต์ (กำหนดขึ้น) ด้วยการถอดการเปลี่ยน Let

เป็นคำในL

แล้วตามด้วยเงื่อนไขของคุณ

คือการทำงานของ

และเป็นที่ยอมรับจึง

)

ในทางกลับกันการรันของ

ยอมรับใด ๆ ของ

นั้นโดยเฉพาะการรันที่ยอมรับของ

ดังนั้น

A_{σ}

$A_\sigma$

w = w_{0} w_{1} \dots

$w=w_0w_1\cdots$

L

$L$

σ (w_{0}) σ (w_{0} w_{1}) \dots

$\sigma(w_0)\sigma(w_0w_1)\cdots$

A_{σ}

$A_\sigma$

L \subseteq L (A_{σ})

$L\subseteq L(A_\sigma)$

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

L (A_{σ}) \subseteq L

$L(A_\sigma)\subseteq L$

— Sylvain

@Sylvain: ช่วงการเปลี่ยนภาพใดถูกลบออก

— Dave Clarke

ฉันสมมติว่าคุณเรียก

หุ่นยนต์จำกัด ให้เปลี่ยนใช้ในกลยุทธ์ที่σ

ปัญหาคือคุณไม่ได้มีการรับประกันใด ๆ ที่

คือกำหนด ตัวอย่างเช่นสมมติ

และ

แล้ว

ไม่ได้กำหนด

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

σ

$\sigma$

A_{σ}

$A_\sigma$

σ (a) = σ (ϵ) = q_{0}

$\sigma(a)=\sigma(\epsilon)=q_0$

σ (a a) = q_{1}

$\sigma(aa)=q_1$

A_{σ}

$A_\sigma$

— เดนิส

ฉันยังโพสต์ลงใน mathOverflow ด้วยรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับงานก่อนหน้านี้ที่นี่: mathoverflow.net/questions/97007/…มันโอเคไหม?

— เดนิส

โดยทั่วไปแล้วการโพสต์ข้ามไม่ได้รับอนุญาตเว้นแต่จะไม่มีใครได้รับคำตอบหลังจากใช้เวลาพอสมควร เนื่องจากว่ามีคำถามมากมายเกี่ยวกับคำถามนี้ฉันจะรออีกสองสามวัน คุณสามารถลบการโพสต์อื่น ๆ และเปิดในไม่กี่วัน (นอกจากนี้ยังโพสต์อื่น ๆ ควรจะเชื่อมโยงไปยังหนึ่งนี้.)

— เดฟคล๊าร์ค

ปรากฎว่าคำตอบคือไม่บางตัวอย่างเคาน์เตอร์สามารถพบได้ในบทความนี้

— เดนิส
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการอัปเดต แต่คลุมเครือ! ทีมอะไร พวกเขาเผยแพร่หรือไม่ วางแผนที่จะ? คุณได้ยินได้อย่างไร พวกเขาพบมันได้อย่างไร มีเหตุผลที่พวกเขากำลังมองหามัน? นี่เป็นความอยากรู้อยากเห็นทางทฤษฎีหรือเชื่อมต่อกับปัญหาหรือการประยุกต์ที่ใหญ่กว่า? ฯลฯ

— vzn

ดูคำตอบนี้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม: cstheory.stackexchange.com/a/24918/8953

— เดนิส

-1

ในขณะที่คุณชี้ให้เห็นว่า Buchi แบบไม่กำหนดเขตและกำหนดแบบอัตโนมัติยอมรับภาษาที่แตกต่างกัน 'การกำหนด' ที่มีชื่อเสียงที่สุดสำหรับหุ่นยนต์ Buchi นั้นมอบให้โดย Safra (ค้นหา "การก่อสร้างของ Safra" บนเว็บนี่คือเอกสารหนึ่งฉบับที่เกิดขึ้น: www.cs.cornell.edu/courses/cs686/2003sp/Handouts/safra.pdf) . กระบวนการนี้ค่อนข้างซับซ้อนและเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนหุ่นยนต์ของ Buchi ให้เป็นหุ่นยนต์ Rabin ที่กำหนดไว้ (มี 'การยอมรับ' F state และ 'ปฏิเสธ' G ฯ : \ sigma มีเพียงขอบเขตจำนวนมากใน G) การก่อสร้างของ Safra เกี่ยวข้องกับมากกว่าเพียงแค่ลบการเปลี่ยนและ / หรือการก่อสร้างชุดย่อยตามปกติ

— Sudeep
แหล่งที่มา

ฉันรู้ว่านี้คำถามคือเกี่ยวกับการเรียนพิเศษของBüchiออโตคือคนที่ยอมรับกลยุทธ์การยอมรับσ

ฉันได้แสดงให้เห็นแล้วว่าคลาสนี้มีพลังเดียวกันกับคลาสของBüchiออโตมาตาที่กำหนดขึ้นแล้วและฉันอธิบายขั้นตอนการกำหนดที่ง่ายขึ้น (ในส่วน "สิ่งที่เป็นที่รู้จัก") การคาดคะเนคือว่ามีขั้นตอนการกำหนดที่ง่ายกว่ามากสำหรับคลาสนี้ซึ่งประกอบด้วยเพียงในการลบการเปลี่ยนภาพบางส่วน

σ

$\sigma$

— เดนิส