มาเฟียยากแค่ไหน?

มาเฟียเป็นเกมเล่นตามบทบาทที่ได้รับความนิยมในงานปาร์ตี้คำอธิบายรายละเอียดที่มีอยู่ในวิกิพีเดียhttp://en.wikipedia.org/wiki/Mafia_%28game%29

โดยทั่วไปจะทำงานดังนี้:

• ในตอนแรกผู้เล่นคนแต่ละคนได้รับมอบหมายอย่างลับๆไม่ว่าจะเป็นแนวเดียวกับ Mafia หรือ the Town แต่ละบทบาทอาจมีความสามารถพิเศษ เพิ่มเติมเกี่ยวกับที่ในภายหลัง$N$

• มีสองช่วงเวลาของเกม: กลางวันและกลางคืน ในเวลากลางคืนพวกมาเฟียสามารถสื่อสารกันอย่างลับๆ และพวกเขาอาจเห็นด้วยกับผู้เล่นเป้าหมายคนหนึ่งที่พวกเขาสังหารในคืนนั้น ณ วันที่ผู้เล่น (มีชีวิตอยู่) สื่อสารกันในฟอรัมที่เปิดอยู่ ผู้เล่นอาจเห็นด้วยกับผู้เล่นคนเดียวซึ่งจำเป็นต้องมีผู้เล่นส่วนใหญ่แน่นอน

• เกมจะจบลงหากว่ามีพวกมาเฟียเหลืออยู่หรือมีเพียงเมืองที่เหลืออยู่เท่านั้น ฝ่ายหญิงที่รอดชีวิตชนะ

• สมมติว่ามีสามบทบาท: พลเมืองนักสืบและมาเฟีย พลเมืองไม่มีอำนาจ Mafiosi ไม่มีความสามารถใด ๆ เกินกว่าที่จะสามารถสื่อสารซึ่งกันและกันในเวลากลางคืนและลงคะแนนให้เหยื่อฆาตกรรมหนึ่งรายในแต่ละคืน นักวิจัยสามารถตรวจสอบผู้เล่นคนอื่นในแต่ละคืนเพื่อค้นหาบทบาทที่แน่นอน

• สมมติว่าเกมเริ่มต้นในวันและบทบาทของผู้เล่นจะถูกเปิดเผยเมื่อตาย

กลยุทธ์การชนะ

ได้รับการติดตั้งของฉันนักวิจัย, คประชาชนและม.มาเฟียเราบอกว่าการติดตั้งจะชนะสำหรับทาวน์ถ้ามีกลยุทธ์สำหรับผู้เล่นเมืองเช่นที่พวกเขาชนะไม่ว่าวิธีการที่ มาเฟียเล่น$(i,c,m)$$i$$c$$m$

โปรดทราบว่าเราสามารถสันนิษฐานได้ว่ามาเฟียเล่นกับข้อมูลทั้งหมดเนื่องจากเราต้องการพิจารณาการตัดสินใจใด ๆ ที่พวกเขาสามารถทำได้

ตัวอย่าง:การตั้งค่าชนะสำหรับ Town$(4,1,1)$

วันที่ 1:ผู้เล่นทุกคนในเมืองรายงานความจริงของพวกเขาในการแชทแบบเปิด ผู้เล่นมาเฟียต้องอ้างสิทธิ์ว่าเป็นผู้ตรวจสอบหรือเป็นพลเมือง

ถ้าเขาอ้างสิทธิ์พลเมืองมาเฟียนั้นเป็นหนึ่งในสองพลเมืองที่ถูกกล่าวหา ผู้ตรวจสอบแต่ละคนสามารถตรวจสอบได้ทั้งตัวและจะค้นหาตัวตนที่แท้จริง นักวิจัยส่วนใหญ่คนหนึ่งสามารถตายได้ในตอนกลางคืนและอีกสองคนก็แขวน Mafioso

ดังนั้น Mafioso จะต้องเรียกร้องผู้ตรวจสอบ มีผู้ริเริ่มที่ถูกกล่าวหา 5 คน ในการแชทแบบเปิดผู้ตรวจสอบเห็นด้วยกับการอนุญาตให้ตรวจสอบซึ่งกันและกัน

คืนที่ 1:ผู้ตรวจสอบตรวจสอบเป้าหมายของพวกเขาและมาเฟียเสียชีวิตหนึ่งราย

วันที่ 2:เหลือผู้ตรวจสอบ 3 คน ผู้ตรวจสอบที่ถูกกล่าวหาทั้งหมดรายงานสิ่งที่พบ ไม่ว่าใครจะถูกฆ่าตายอย่างน้อยหนึ่งคนก็ยังได้รับการยืนยันจากนักสืบคนอื่นที่มีชีวิต เนื่องจาก Mafioso อ้างสิทธิ์ Investigator เขาต้องบอกด้วยว่าเป้าหมายที่ได้รับมอบหมายของเขาคือ Mafia หรือไม่ ถ้าเขาใส่ใครลงไปแล้วเมืองรู้ว่าเขาหรือคนที่มีกรอบคือมาเฟียกับอีกสามเมืองที่ได้รับการยืนยัน ถ้าเขาไม่ทำเฟรมใครก็จะมี 3 เมืองยืนยัน ไม่ว่าจะด้วยวิธีใดไม่แขวนใครและตรวจสอบผู้ต้องสงสัยเพียง 2 คนที่เหลือให้กับ Town

คำถาม

• $PSPACE$
• $i:m$$(i+c):m$

นี่คือข้อมูลอ้างอิงที่คุณต้องการดู: http://www.jstor.org/stable/10.2307/25442651

Mafia: การศึกษาเชิงทฤษฎีของผู้เล่นและพันธมิตรในสภาพแวดล้อมข้อมูลบางส่วน Braverman, M. และ Etesami, O. และ Mossel, E. พงศาวดารของความน่าจะเป็นประยุกต์ 2008

ก่อนอื่นโปรดทราบว่ามันเป็นประโยชน์เสมอที่จะเริ่มเกมด้วยการขอให้แต่ละคนแสดงบทบาทของพวกเขาหากเรากำลังมองหากลยุทธ์การชนะที่กำหนดขึ้นสำหรับเมือง นี่เป็นเพราะถ้าไม่ว่า Mafiosi จะประกาศตัวเองว่า The Town ชนะก็ตามมันก็ไม่เป็นอันตรายที่จะถาม และหาก Mafiosi สามารถประกาศตัวเองบางสิ่งบางอย่างและชนะในกรณีนั้นพวกเขาแสร้งว่าพวกเขาประกาศและปฏิบัติตาม

นอกจากนี้เกมเช่นนี้อาจจะไม่สมบูรณ์แบบ PSPACE เนื่องจากไม่มีโครงสร้างพื้นฐาน ฉันเชื่ออย่างยิ่งว่ามันไม่ยากที่จะวิเคราะห์เกมสำหรับค่าทั้งหมดของ i, c, m ด้านล่างฉันทำสิ่งนี้เพื่อ m = 1 ดังนั้นจากนี้ให้เราสมมติว่ามีมาเฟียเดียว, M และเกมเริ่มด้วยการถามบทบาท ตอนนี้ M เรียกร้องนักวิจัยหรือพลเมือง ให้เราตรวจสอบทั้งสองกรณี

กรณีที่ 1: M อ้างสิทธิ์ผู้ตรวจสอบ

ถ้า i = 0 ดังนั้น Town จะชนะถ้า c มีอย่างน้อย 2 ตัว

ถ้า i = 1 แล้ว Town จะชนะถ้า c อย่างน้อย 4 สำหรับตัวเลขที่น้อยกว่าพวกเขาแพ้เพราะ M สามารถฆ่าพลเมืองได้ในแต่ละคืน

ถ้า i = 2, Town จะชนะถ้า c มีอย่างน้อย 3 ตัวนักสืบที่ถูกกล่าวหา 3 คนสามารถถามกันและกันในลำดับวงกลม M ถูกเปิดเผยเว้นแต่ว่าหนึ่งในนั้นเสียชีวิตดังนั้นเขาจะต้องฆ่าผู้ตรวจสอบ สิ่งนี้จะลดเกมเป็นกรณี i = 1

ถ้า i = 3, Town จะชนะถ้า c มีอย่างน้อย 1 ตัวนักวิจัยที่ถูกกล่าวหา 4 คนสามารถถามซึ่งกันและกันในลำดับวงกลม M ถูกเปิดเผยเว้นแต่ว่าหนึ่งในนั้นเสียชีวิตดังนั้นเขาจะต้องฆ่าผู้ตรวจสอบ ขณะนี้มีความเป็นไปได้สองทางสำหรับ M และอย่างน้อย 5 คนดังนั้นพวกเขาจึงสามารถฆ่าทั้งสองได้ ถ้า c = 0 ดังนั้นไม่ว่าพวกเขาจะถามกันอย่างไร M สามารถฆ่าใครคนหนึ่งและซ่อนตัวอยู่เสมอ (จากการวิเคราะห์เคส) ดังนั้น Town จึงไม่มีชัยชนะที่แน่นอน

หาก i> = 4 ทาวน์จะเป็นผู้ชนะโดยผู้ตรวจสอบที่ถูกกล่าวหาจะถามกันตามลำดับเช่นในกรณี i = 3

กรณีที่ 2: M อ้างสิทธิ์พลเมือง

ที่นี่เกมนี้ง่ายกว่ามากนักวิจัยถามคนอื่นในทุก ๆ รอบและ M ฆ่าคนหนึ่งในแต่ละคืน (ดีกว่าเสมอในการฆ่านักสืบมากกว่าพลเมือง) นอกจากนี้บางครั้งพวกเขาอาจลงคะแนนเพื่อฆ่าพลเมือง (อันที่จริงมันก็โอเคที่จะทำเช่นนั้นเว้นแต่ว่าฉันจะ = 2 และ c = 1) เนื่องจากการใช้การเรียกซ้ำเป็นการดีกว่าที่จะอนุญาตให้พลเมืองที่พิสูจน์แล้วว่าไร้เดียงสาและแสดงจำนวนของพวกเขาด้วย n

ทาวน์ชนะถ้า

i = 0, n> = c + 2, i = 1, n> = c + 1, i = 2, n> = c-2, และจากที่นี่เราสามารถเห็น (และพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย) ว่าสำหรับเมืองทั่วไปของฉัน ชนะถ้าหาก n> = c + 2-i ^ 2 เนื่องจากในเกมจริงไม่มีผู้บริสุทธิ์ที่จุดเริ่มต้นซึ่งหมายความว่าเมืองชนะถ้าฉัน ^ 2> = c + 2

การรวมเข้าด้วยกัน: เมืองไม่มีการชนะที่แน่นอนถ้าฉัน <= 2 สำหรับ i = 3, Town จะชนะ 1 <= c <= 7 (สำหรับ 0 M สามารถเรียกร้องผู้ตรวจสอบและสำหรับ c> = 8 เขาสามารถเรียกร้องพลเมือง) สำหรับ i> = 4, Town จะชนะสำหรับ c <= i ^ 2-2