ความแตกต่างของความคลาดเคลื่อนที่เกี่ยวข้องกับกราฟแบบสุ่ม

สมมติว่าเรามีกราฟบน $n$ โหนด เราต้องการมอบหมายให้แต่ละโหนด $+1$ หรือ-1เรียกสิ่งนี้ว่าการกำหนดค่า n จำนวนที่เราต้องกำหนดคือ (ดังนั้นจำนวนของคือ .) เนื่องจากการกำหนดค่าเราจะดูที่แต่ละโหนดและรวมค่าที่กำหนดให้กับเพื่อนบ้านเรียก นี้ซิก) จากนั้นเราจะนับจำนวนโหนดที่ไม่ใช่ค่าลบ: $−1$ $\sigma \in \{+1,−1\}^n$ $+1$ $s$ $−1$ $n−s$ $\sigma$ $i$ $\xi_i(\sigma)$ $\xi_i(\sigma)$

N (σ) := \sum_{i = 1}^{n} 1 {ξ_{i} (σ) \geq 0} .

$N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}.$ คำถามคือ: การกำหนดค่าคืออะไร

σ

$\sigma$ ที่ช่วยเพิ่ม

N (σ)

$N(\sigma)$ ? ที่สำคัญเราสามารถ จำกัด ขอบเขต

(max N) / n

$(\max N)/n$ ในแง่ของ n ฉันสงสัยว่าปัญหานี้ดูจะเป็นเรื่องที่ทุกคนคุ้นเคยหรือว่าจะลดลงเป็นปัญหาที่ทราบในทฤษฎีกราฟ ถ้ามันช่วยได้กราฟสามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็นการสุ่มของErdős-Renyi type (พูด, G (n, p) ด้วยความน่าจะเป็นที่ขอบ , นั่นคือระดับเฉลี่ยเพิ่มขึ้นเป็น ) instrest หลักคือในกรณีที่2)

s / n

$s/n$

p (\log n) / n

$p ~ (\log n)/n$

\log n

$\log n$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

graph-theory co.combinatorics optimization

— passerby51
แหล่งที่มา

ฉันเปลี่ยนชื่อเพราะสิ่งที่คุณขอเกี่ยวข้องกับปัญหาความคลาดเคลื่อนในการเว้นวรรค ไม่เกี่ยวข้องกับความคลาดเคลื่อนในกราฟ (ซึ่งเกี่ยวข้องกับการเบี่ยงเบนความหนาแน่นของขอบ)

— Suresh Venkat

ขอบเขตง่าย ๆ : ใช้

σ

$\sigma$ สุ่ม;

Pr [ξ_{i} (σ) < 0] \leq \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ ที่ไหน

δ_{i}

$\delta_i$ คือระดับของจุดสุดยอด

i

$i$ และ

C

$C$ คงที่บ้าง ดังนั้น,

E [N (σ)] \geq \sum_{i} 1 - \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$E[N(\sigma)] \geq \sum_i{1-\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$ . ถ้าพูดว่า

s = 3 n / 4

$s = 3n/4$ และกราฟก็คือ

(16 / C) \log n

$(16/C)\log n$ - ผิดปกติแล้วมีอยู่จริง

σ

$\sigma$ ดังนั้น

N (σ) \geq n - O (1)

$N(\sigma) \geq n - O(1)$ .

— Sasho Nikolov

@Suresh: ขอบคุณ นั่นคือสิ่งที่ฉันชอบเกี่ยวกับการถามนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์คุณเรียนรู้สิ่งใหม่! ดังนั้นสถานที่ที่ดีที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับปัญหาความคลาดเคลื่อนในพื้นที่ช่วงคืออะไร? (อาจเป็นกระดาษสั้น ๆ สั้น ๆ )

— passerby51

@Sasho: ขอบคุณ ด้วยเหตุผลบางอย่างฉันไม่เห็นสมการอย่างถูกต้อง (พวกเขาชนกับข้อความรอบข้าง) ฉันจะพยายามอ่านและกลับไปหาคุณ แต่ฉันควรพูดถึงว่าระบอบการปกครองที่น่าสนใจสำหรับฉันคือ

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$ และปัญหาดูเหมือนจะยากขึ้นเป็น

s / n

$s/n$ วิธีการ

1 / 2

$1/2$ . (นี่เป็นเพราะการพิจารณาความสมมาตรในปัญหาดั้งเดิมที่มาจากนี้) ฉันไม่คิดว่าจะดูแบบสุ่ม

σ

$\sigma$ จะทำเพื่อ

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$ .

— passerby51

การคาดเดา / ความหวังก็คือ

(max N) / n = o (1)

$(\max N)/n = o(1)$ สำหรับพูด G (n, p) ด้วย

p (\log n) / n

$p ~ (\log n) / n$ หรือ

p (\log n)^{1 + ϵ} / n

$p ~ (\log n)^{1+\epsilon} /n$ . ฉันเพิ่งรู้ว่าพิมพ์ผิดในโพสต์ต้นฉบับของฉันเกี่ยวกับ

p

$p$ . ขอโทษด้วยกับเรื่องนั้น. ระดับความนิยมเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ

\log n

$\log n$ ไม่

p

$p$ .

— passerby51

คำตอบ:

คุณสามารถเข้าใกล้นี้ด้วย "วิธีการขณะที่สอง" การคำนวณแบบเดียวกับที่ผมใช้ในเกณฑ์ที่คมชัดสำหรับปัญหาความพึงพอใจ จำกัด สุ่ม , คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง 285 / 1-3 (2004), 301-305

เมื่อระดับค่าเฉลี่ยเติบโตขึ้นเช่นค่าคงที่ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร $\log n$ วิธีนี้มักจะเพียงพอที่จะค้นหาเกณฑ์ที่น่าพอใจอย่างแม่นยำ มันอาจแสดงส่วนของข้อที่สามารถพอใจในตัวอย่างที่ไม่น่าพอใจแม้ว่าฉันจะไม่ได้ตรวจสอบว่า

หากต้องการทำให้ปัญหาของคุณดูเหมือนปัญหาทั่วไปของฉันคุณสามารถดูได้ว่าเป็น "MAX-AT-LEAST-HALF-SAT" ด้วยโครงสร้างกราฟิกแบบพิเศษที่รองรับส่วนคำสั่งในสูตร CNF ฉันไม่คิดว่าโครงสร้างพิเศษนี้จะช่วยในการวิเคราะห์กรณีที่เลวร้ายที่สุดและเนื่องจากขนาดประโยคของคุณไม่เหมือนกันและชุดการมอบหมายที่ "ไม่ดี" ของคุณเติบโตขึ้นคุณจะต้องผ่านการคำนวณและดูว่ามันเป็นอย่างไร ยังคงใช้งานได้

— Abraham D Flaxman
แหล่งที่มา

กำลังมองหาที่นี้เป็น CSP ดูเหมือนจริงเป็นแบบที่ดีกว่ามองหาที่มันเป็นปัญหาความแตกต่าง

— Sasho Nikolov

ขอบคุณ. มันดูน่าสนใจมาก ฉันจะดูมัน

— passerby51

ให้ฉันอธิบายความคิดเห็นของฉันให้ละเอียด ครั้งแรกนี้คล้ายกับความคลาดเคลื่อน แต่แน่นอนแตกต่างกันในหลายวิธี รับระบบของ $m$ ชุด $S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$ ความคลาดเคลื่อนของระบบคือ $\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$ . แสดงว่า $\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$ . คำจำกัดความของคุณแตกต่างกันไปตามที่คุณต้องการทราบจำนวนชุด $\sigma(S_j)$ เป็นบวกและความคลาดเคลื่อนถามว่าใหญ่แค่ไหน $\sigma(S_j)$ ในขนาดในกรณีที่เลวร้ายที่สุด สำหรับคำแนะนำสั้น ๆบันทึกของนักเขียนอาจช่วยฉันได้ Chazelle มีหนังสือดีๆที่ให้รายละเอียดมากมาย

สำหรับขอบเขตล่างที่เป็นไปได้ง่ายเมื่อ $s > n/2$ ในความคิดเห็นของฉันให้กราฟ $G = ([n], E)$ ด้วยลำดับองศา $\delta_1, \ldots, \delta_n$ คุณสามารถเลือก $\sigma$ สุ่มอย่างสม่ำเสมอจากทุกลำดับด้วย $s$ $1$ ของ $\sigma_i$ ไม่เป็นอิสระ แต่ควรพิสูจน์ได้ว่าเป็นกรณีที่เชอร์นอฟผูกมัดในกรณีนี้ด้วย) เรามี $E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$ และโดย Chernoff จำกัด $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ สำหรับบางค่าคงที่ $C$ . ดังนั้น $E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$ . มีอยู่บ้าง $\sigma$ ที่ประสบความสำเร็จในขอบเขตนี้

แก้ไข: ดูเหมือนว่าคุณสนใจในกรณีนี้ $s < n/2$ . มาเลือกกัน $\sigma$ ที่สุ่มในลักษณะเดียวกับในย่อหน้าก่อนหน้า การใช้ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางสำหรับการสุ่มตัวอย่างโดยไม่มีการแทนที่ ( $\sigma$ เป็นตัวอย่างของขนาด $s$ โดยไม่ต้องเปลี่ยนจากจุดยอดของกราฟ) คุณควรจะสามารถแสดงได้ $\xi_i(\sigma)$ มีพฤติกรรมเหมือนแบบเกาส์ด้วยค่าเฉลี่ย $\delta_i (2s/n - 1)$ และความแปรปรวนเกี่ยวกับ $\delta_i$ ดังนั้น $\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$ สำหรับบาง C และ $\eta(n)$ พารามิเตอร์ข้อผิดพลาดจากทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง เราควรจะมี $n\eta(n) = o(n)$ ดังนั้นคุณสามารถใช้ $N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$ .

การปฏิเสธความรับผิด: สิ่งนี้มีความหมายก็ต่อเมื่อ $\delta_i$ มีค่าคงที่ / เล็กหรือ $s/n$ อยู่ใกล้กับ $n/2$ . การคำนวณก็ค่อนข้างจะเป็นแบบฮิวริสติกและไม่ได้ทำอย่างระมัดระวัง

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการเชื่อมโยงที่ดีและการโต้แย้ง ฉันชอบข้อโต้แย้งความน่าจะเป็น แต่ฉันคิดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นกับคุณ คุณสามารถดูสิ่งนี้ได้โดยการตั้งค่า

s = 0

$s = 0$ ซึ่งเราควรจะมี

P r [ξ_{i} (σ) < 0] = 1

$Pr[\xi_i(\sigma) < 0] = 1$ . ดูเหมือนว่านี่คือสิ่งที่ผิดพลาด: ถ้าคุณเลือก

σ

$\sigma$ สุ่มอย่างสม่ำเสมอจากชุดที่ระบุในปัญหาแต่ละข้อ

σ_{j}

$\sigma_j$ มีปัญหา

γ := s / n

$\gamma := s/n$ ของการเป็น

+ 1

$+1$ และปัญหา ของ

1 - γ

$1-\gamma$ ของการเป็น

- 1

$-1$ . ดังนั้น

E [ξ_{i} (σ)] = (2 γ - 1) δ_{i}

$E[ \xi_i(\sigma)] = (2\gamma-1) \delta_i$ ซึ่งเป็นลบสำหรับ

γ \in (0, 1 / 2)

$\gamma \in (0,1/2)$ ...

— passerby51

{σ_{j}}

$\{\sigma_j\}$ จะไม่เป็นอิสระและพูดอย่างเคร่งครัดเราไม่สามารถใช้พูดความไม่เท่าเทียมกัน Hoeffding แต่ขอให้เราเพิกเฉยรายละเอียดเล็ก ๆ น้อย ๆ นี้และสมมติว่าพวกเขาเป็น iid จากนั้นขอบเขตจะ

P r [\frac{1}{δ_{i}} ξ_{i} (σ) < - t + 2 γ - 1) \leq \exp (- δ_{i} t^{2} / 2)

$Pr[ \frac{1}{\delta_i} \xi_i(\sigma) < -t + 2\gamma - 1) \le \exp ( -\delta_i t^2/2)$ ซึ่งถือค

t \geq 0

$t \ge 0$ . เราไม่สามารถตั้งค่า

t = 2 γ - 1 < 0

$t = 2\gamma - 1 < 0$ เพื่อรับ

P r [ξ_{i} (σ) < 0]

$Pr[\xi_i(\sigma) <0]$ .

— passerby51

ขออภัยฉันควรระบุว่า: ข้อสันนิษฐานของที่นี่คือ

s > n / 2

$s > n/2$ . ไม่อย่างนั้นก็ไม่สมเหตุสมผลและคุณต้องการอะไรที่แข็งแกร่งกว่าเช่น Berry-Esseen ฉันคิดว่า

σ_{j}

$\sigma_j$ สามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็นอิสระอย่างสำคัญ

— Sasho Nikolov

@ passerby51 เพิ่มภาพร่างวิธีที่คุณอาจพยายามใช้ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางเชิงปริมาณเพื่อเพิ่มความน่าจะเป็นที่ถูกผูกไว้กับ

s / n < 1 / 2

$s/n < 1/2$ .

— Sasho Nikolov