P มีภาษาที่เข้าใจยากไหม (วิกิชุมชน TCS)

คำตอบ: ไม่เป็นที่รู้จัก

ขอบคุณมากสำหรับทุกคนที่ช่วยปรับแต่งคำถามนี้และคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

คำจำกัดความของวิกินี้ให้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับวิกิ TCS ล่าสุด " P มีภาษาที่การมีอยู่เป็นอิสระจาก PA หรือ ZFC หรือไม่ (วิกิชุมชน TCS) "

วิกิที่เพิ่งได้รับความนิยมมากขึ้นเนื่องจากคำจำกัดความและระบบการตั้งชื่อมีความซับซ้อนมากกว่าวิกิที่มีอายุมากกว่านี้

โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบการตั้งชื่อนี้วิกิพีเดียสูงอายุที่ไม่สามารถเข้าใจ เข้าใจ ภาษาและหน่วยความจำจะถูกแทนที่ในวิกิพีเดียใหม่โดยคลุมเครือองค์ นอกเหนือจากรายละเอียดที่ชัดเจนซึ่งเป็นเรื่องสำคัญ แต่วิกิทั้งสองตอบคำถามที่คล้ายกัน $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$

ยินดีต้อนรับคำตอบเพิ่มเติม

คำตอบเพิ่มเติมยินดีต้อนรับ (ไม่จำเป็นต้องพูด) และเป็นไปได้ว่าการปรับแต่งแบบกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมนั้นเหมาะสม บทเรียนหลักหนึ่งข้อคือคำถามในชั้นเรียนนี้มีความท้าทายในการกำหนดและยังคงท้าทายในการตอบคำถามอย่างจริงจัง

ในฐานะพื้นหลังคำตอบของ Sasho Nikolov ได้รับการจัดอันดับว่า "ยอมรับ"เพราะเป็นสูตรที่จับเจตนาของคำถาม: คำตอบสำหรับคำถามนี้ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด

คำตอบที่มีค่าของฟิลิปไวท์เป็นแรงบันดาลใจในการให้คำจำกัดความของ TMs ที่ไม่สามารถเข้าใจได้เทียบกับที่ไม่สามารถเข้าใจได้อย่างรุนแรงเมื่อเทียบกับที่เข้าใจไม่ได้อย่างเห็นได้ชัด (ต่อรายการ "คำจำกัดความ

ข้อความต่อไปนี้ของคำถามชั่วคราวประกอบด้วยข้อมูลเชิงลึกที่มีคุณค่าและข้อเสนอแนะให้โดยซึโยชิอิโตะ Marzio De Biasi, Huck เบนเน็ตต์, ริคกี้ Demer, ปีเตอร์เชอร์และยังโพสต์เว็บบล็อกที่มีคุณค่าโดยLuca Trevisan

นิยามที่เป็นทางการ

มีการกำหนดเครื่องทัวริงที่เข้าใจไม่ได้ (ภายใน ZFC) ดังนี้:

D1 เนื่องจากเครื่องทัวริง M หยุดการทำงานสำหรับสตริงอินพุตทั้งหมด M ถูกเรียกว่าเข้าใจยากถ้าคำสั่งต่อไปนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้และไม่สามารถหักล้างได้อย่างน้อยหนึ่งจำนวน semidefinite จำนวนจริงบวก : $r$

คำสั่ง:รันไทม์ของ M คือเกี่ยวกับความยาวอินพุต ${O}(n^r)$ $n$

ในทางกลับกัน M เรียกว่าcomprehensible iff ซึ่งไม่สามารถเข้าใจได้

disambiguating decidable

รายการวิกิพีเดีย " ปัญหา undecidable: ตัวอย่างของงบ undecidable " สั้น ๆ ทบทวนความรู้สึกที่แตกต่างกันของคำว่า "undecidable" ที่มีจารีตประเพณีในวรรณคดีหลักฐานทางทฤษฎีกับการคำนวณ - ทฤษฎีการคำนวณ ด้วยมุมมองที่จะหลีกเลี่ยงความคลุมเครือคำจำกัดความและคำถามที่ถามจ้างคำศัพท์เฉพาะ "ไม่สามารถพิสูจน์ได้และพิสูจน์ได้"

การอ้างอิงต่อไปในเรื่องนี้ของเจเรมีอาวิกาดบันทึกหลักสูตร " ไม่สมบูรณ์ผ่านทางลังเลปัญหา " สกอตต์ Aaronson เรียงความของเว็บบล็อก " ร็อสทฤษฎีบทผ่านเครื่องทัวริง " และโพสต์เว็บบล็อก Luca Trevisan ของสองคำถามที่น่าสนใจ

เกี่ยวกับการดำรงอยู่ของเครื่องจักรทัวริงที่เข้าใจไม่ได้

เครื่องจักรทัวริงที่เข้าใจยากนั้นมีอยู่อย่างชัดเจนจากการก่อสร้างโดย Emmanuele Violaและกว้างไกลจากกรอบความซับซ้อนเชิงทฤษฎีของ Juris Hartmanis โดยเฉพาะอย่างยิ่งการก่อสร้างของ Viola มีวิธีการบันทึกหลักสูตรของJeremy Avigad (ตามที่ฉันเข้าใจ) ในบทแทรกดังต่อไปนี้:

เลมม่า [ความหมายของไวโอล่า]
(หากภาษา L ได้รับการยอมรับจาก comprehensible TM) (L เป็นที่ยอมรับโดย TM ที่เข้าใจยาก) $\to$

เคารพธรรมชาติในการกำหนดความไม่เข้าใจ

เป็นเรื่องธรรมดาที่จะสงสัยว่าความหมายของ Viola นั้นเป็นความจริง

การพิจารณาของ naturality จำเป็นต้องให้ความหมายสนทนาถูกวางอย่างระมัดระวังในการที่ความคิดเห็นของฟิลิปสีขาวด้านล่างแสดงให้เห็นถึงวิธีการที่จะนิด ๆ ลดหน่วยความจำยากที่จะเข้าใจหน่วยความจำเข้าใจผ่านpolylimitersซึ่งเป็นโมดูลการคำนวณที่ (มีผลบังคับใช้) "แผ่น" รันไทม์ของเครื่องที่ไม่สามารถเข้าใจเพื่อ เพื่อลดความมันลงในเครื่องที่เข้าใจได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นเรื่องธรรมดาที่เราไม่ต้องการ " ปกปิดองค์ประกอบเก่าแก่ที่ไม่สามารถเข้าใจได้โดยการแนะนำองค์ประกอบใหม่ของความไม่เข้าใจ " ความท้าทายที่สำคัญที่เกี่ยวข้องกับคำถามที่ถามจำนวนเงินที่ "มีคำจำกัดความตามธรรมชาติของความไม่เข้าใจ?" …ซึ่ง (ได้รับการอภิปรายที่นี่ของ TCS) เราอาจคิดว่าเป็นคำถามเมตาน้อยที่อาจมีคำตอบตามธรรมชาติมากกว่าหนึ่งข้อ

ด้วยมุมมองของหลักการเกี่ยวกับการเกิดตามธรรมชาตินี้จะมีการระบุคำจำกัดความที่ไม่สามารถเข้าใจได้อย่างช้าๆดังนี้

คำจำกัดความอย่างช้า ๆ ของความไม่เข้าใจ

D2 เรากล่าวว่าเครื่องทัวริง M มีประสิทธิภาพ IFF ก็มีรันไทม์สัญลักษณ์ดังกล่าวว่าภาษาที่ L ที่ M ยอมรับเป็นที่ยอมรับโดยไม่มี TM อื่น ๆ ที่มีสัญลักษณ์รันไทม์ขนาดเล็กกว่า R $r$ $r$

D3 เราพูดว่าภาษา L ไม่สามารถเข้าใจได้ถ้ามันเป็นที่ยอมรับโดย(a) เครื่องทัวริงอย่างน้อยหนึ่ง M นั่นคือทั้งประสิทธิภาพและเข้าใจยากและยิ่งกว่านั้น(b) ไม่มี TM ที่เข้าใจได้และมีประสิทธิภาพซึ่งพิสูจน์ได้ (ใน ZFC) ลิตร

D4 เราพูดว่า TM ที่เข้าใจยากนั้นเข้าใจยากอย่างยิ่งหากภาษาที่ยอมรับนั้นนั้นไม่สามารถเข้าใจได้

D5 เราพูดว่า TM ที่ไม่สามารถเข้าใจได้อย่างยิ่งนั้นเป็นสิ่งที่ไม่สามารถเข้าใจได้หากมีประสิทธิภาพ

คำจำกัดความเหล่านี้ทำให้มั่นใจได้ว่าภาษาที่เข้าใจยากทุกภาษาได้รับการยอมรับอย่างน้อยหนึ่ง TM ที่เข้าใจได้ไม่ถูกต้องตามกฎหมายและยิ่งกว่านั้น - ในมุมมองของD3 (a)และD3 (b) - ไม่มีโพลิลิเทอร์ ที่พิสูจน์ได้ว่าสามารถจดจำภาษาเดียวกันได้

คำถามสามข้อถาม

ไตรมาสที่ 1 ปี นี้มีการระดับความซับซ้อน Pมีภาษาที่เข้าใจได้ยาก?

Q2 มีภาษาที่เข้าใจยากอย่างน้อยหนึ่งภาษาที่สามารถเข้าใจได้หรือไม่? (ถ้าเป็นเช่นนั้นให้เป็นตัวอย่างที่สร้างสรรค์)

Q3 อย่างน้อยหนึ่ง TM ที่เข้าใจไม่ได้ทางบัญญัติสามารถแสดงอย่างเป็นรูปธรรมได้หรือไม่? (ถ้าเป็นเช่นนั้นให้เป็นตัวอย่างที่สร้างสรรค์)

แรงจูงใจ

คุณสมบัติที่เข้าใจยากของคลาสซับซ้อน P ขัดขวางความเข้าใจของปัญหาในวงกว้างที่ (สำหรับผู้เสนอแบบดั้งเดิมของคำถามนี้ ) รวมถึงปริศนา Blue-Eyed Islandersของ Terry Tao , Dick Lipton และเกม Urn-Choiceของ Ken Regan และการผสมพันธุ์ใน บริบทของของ Newcomb Paradox ผ่านที่ได้เปรียบสมดุล Newcomb เกม

ในฐานะที่เป็นเอกสารทางกฎหมายของ Juris Hartmanis ความเป็นไปได้และคุณสมบัติของความซับซ้อนที่พิสูจน์ได้ (1978) ทำให้:

ผลลัพธ์เกี่ยวกับความซับซ้อนของอัลกอรึทึมเปลี่ยนแปลงค่อนข้างมากหากเราพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติของการคำนวณที่สามารถพิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการ

การดิ้นรนเพื่อสร้างคำจำกัดความที่มีการโพสต์ดีและใช้สมมุติฐานที่จับความเข้าใจของ Hartmanis ช่วยให้เราเห็นคุณค่าที่ดีกว่าความซับซ้อนในระดับ P มีภาษาแปลก ๆ มากมายในนั้นซึ่งได้รับการยอมรับจากเครื่องจักรทัวริงแปลกประหลาด ) ไม่ไกลจากการจับ เป็นที่น่าสังเกตว่าในแง่ที่เข้มงวดอย่างสมบูรณ์ในปัจจุบันยังไม่เป็นที่ทราบกันว่าคลาส P ที่ซับซ้อนนั้นสามารถเข้าใจได้หรือไม่

ขอขอบคุณเป็นอย่างยิ่งสำหรับทุกคนที่มีส่วนร่วมในการแสดงความคิดเห็นและคำตอบ

— John Sidles
แหล่งที่มา

โปรดระบุคำว่า“ (เครื่องทัวริง) ที่ถอดรหัสได้ใน P. ”

— Tsuyoshi Ito

ในปัญหาที่ระบุไว้ในคำนิยามของ "เข้าใจยากใน P" สิ่งที่ป้อนเข้าคืออะไร? เครื่องทัวริงเป็นส่วนหนึ่งของอินพุตหรือคงที่หรือไม่? นอกจากนี้วิธีการระบุจำนวนจริงเป็นสตริง?

— Tsuyoshi Ito

r

$r$

M

$M$

ดังที่ซาโชอธิบายไว้อย่างดีที่สุดปัญหาที่ระบุไว้ในคำจำกัดความของ "ไม่สามารถเข้าใจได้" ในการแก้ไขที่ 4 นั้นสามารถแก้ไขได้สำหรับเอ็มทุกคนฉันกลัวว่าคุณกำลังทำข้อผิดพลาดเบื้องต้นที่นี่ หากคุณยังคงมีปัญหาในการทำความเข้าใจโพสต์นี้โดยราฟาเอลและลิงก์ในนั้นอาจมีประโยชน์ ฉันโหวตให้ปิดนี่ไม่ใช่คำถามจริง

— Tsuyoshi Ito

C n^{k}

$Cn^k$

C

$C$

k

$k$

คำตอบ:

(ฉันเลิกใช้งานเนื่องจากไม่เกี่ยวข้องกับส่วนของคำตอบที่เพิ่งอธิบายว่าทำไมไม่มีอินสแตนซ์ที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ของปัญหา / ไม่มีอัลกอริทึมแบบ polytime ที่มีเวลาไม่สามารถคำนวณได้)

$T$ $M$ $M$ $T$

$M$ $M$
$M$ $M'$

ดังนั้นดูเหมือนว่าคำตอบสำหรับคำถามของคุณคือ "ไม่": ภาษาใด ๆ ที่สามารถตัดสินใจได้ในหลาย ๆ ครั้งโดยเครื่องบางเครื่องจะถูกตัดสินโดยเครื่อง polytime ที่พิสูจน์ได้ แต่บางทีคำถามของคุณควรเป็น:

$M$ $M'$ $M$

ฉันสงสัยว่าคำตอบคือใช่ แต่ตอนนี้ฉันไม่มีเวลาเพิ่มเติมที่จะอุทิศให้กับสิ่งนี้

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา

------ มีความรู้สึกสองอย่างที่แตกต่างกันของคำที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ครั้งแรกของสิ่งเหล่านี้คือความรู้สึกพิสูจน์ทางทฤษฎีที่ใช้ในความสัมพันธ์กับทฤษฎีบทของGödelว่าคำสั่งที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้และพิสูจน์ได้ในระบบนิรนัยที่ระบุ ... เพราะทั้งสองความหมายของคำว่า undecidable บางครั้งคำที่เป็นอิสระจึงถูกนำมาใช้แทน undecidable สำหรับ "ความรู้สึกที่พิสูจน์ได้และไม่สามารถแก้ไขได้"

— John Sidles

ขอบคุณ Sasho! ฉันก็รู้สึกซาบซึ้งเช่นกัน แต่ความจริงก็สามารถแก้ไขได้โดยผ่านความแตกต่างของวิกิพีเดีย: "มีสองความรู้สึกที่แตกต่างกันของคำที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ คำให้การนั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้และไม่สามารถหักล้างได้ในระบบนิรนัยที่ระบุ ... เพราะทั้งสองความหมายของคำว่า undecidable บางครั้งคำที่เป็นอิสระก็ใช้แทนคำที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้สำหรับความหมายที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ ดังนั้นฉันหวังว่าจะชี้แจงคำถามในวันนี้

— John Sidles

ส่วนใหญ่ได้รับการพร้อมท์จากความคิดเห็นที่รอบคอบของคุณตอนนี้แอตทริบิวต์ที่ไม่ชัดเจน "decidable" ตอนนี้ถูกแทนที่ด้วยแอตทริบิวต์ (หวังว่าไม่ชัดเจน) ว่า 'ไม่สามารถพิสูจน์ได้ ซึ่งความช่วยเหลือของคุณได้รับการชื่นชมและได้รับขอบคุณ

— John Sidles

โปรดตรวจสอบคำตอบที่อัปเดตของฉัน

— Sasho Nikolov

ขอบคุณ Sasho ฉันต้องหยุดพักไปจนถึงวันพรุ่งนี้ แต่เมื่ออ่านข้อเสนอแนะสุดท้ายของคุณดูเหมือนว่าจะมีผลมากและฉันหวังว่าจะตอบกลับในไม่ช้า ขอบคุณอีกครั้ง.

— John Sidles

เพียงความคิดเห็นเพิ่มเติมที่พยายามตีความคำถาม

$M$ ~~สัญญาว่าจะหยุด~~ $M$ ~~จำนวนจริงบวก semidefinite~~ $r$ ~~คำถาม~~ $Q_{M,r}$

ตัวเลือกที่ 1

$Q_{M,r}(n)$ $M$ $n^r$ $n$

$2^n$ $M$ $\Rightarrow$

ตัวเลือก 2

$Q_{M,r}$ $M$ $O(n^r)$

$\Rightarrow$

และถ้าคุณถามว่า: "ตกลง แต่เราสามารถคำนวณค่า 1 หรือ 0 เพื่อสร้างอัลกอริทึมที่ตอบคำถามตัวเลือก 2 ได้หรือไม่" จากนั้นเราก็ย้อนกลับไปที่สิ่งนี้:

$Q_{r}(M)$ $M$ $O(n^r)$ $M$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

Marzo ขอขอบคุณสำหรับคำตอบนี้และความคิดเห็นของคุณด้านบน คำที่คลุมเครือ "decidable" ได้ถูกทิ้งไปแล้ว - มันหมายถึงสิ่งต่าง ๆ ไปยังชุมชนที่แตกต่างกัน --- เพื่อสนับสนุนสำนวนที่เป็นทฤษฏีทางทฤษฎี "ไม่สามารถพิสูจน์ได้ ในคิวของการชี้แจงการแก้ไขสำหรับคำถามที่แก้ไขในวันพรุ่งนี้ (ซึ่งหวังว่าจะเป็นคำถามที่เข้มงวดในขั้นสุดท้าย) วลี "For nทั้งหมด" จะได้รับการต่อเติมตามตัวเลือกของคุณ 1 และสุดท้ายขอบคุณและขอบคุณจะถูกขยายออกไป สำหรับคุณและทุกคนสำหรับความช่วยเหลือในการวางคำถามอย่างจริงจังและชัดเจน

— John Sidles

M

$M$

M

$M$

O (n^{r})

$O(n^r)$

M

$M$

O (n^{r})

$O(n^r)$

Marzo โอเคและขอบคุณ นอกจากนี้เพื่อที่จะสร้าง "ความหมายของไวโอล่า" เราต้องทำการโต้แย้งจากส่วนที่ 3 ของบันทึกหลักสูตรของ Jeremy Avigad (ตามที่เชื่อมโยงในคำถาม) กับการก่อสร้างของ Viola ... คำถามที่แก้ไขจะชี้แจงประเด็นนี้ จำเป็นต้องพูดกระบวนการของคำจำกัดความการชี้แจงได้ 10X ++ ยากกว่าที่ฉันคาดไว้เดิม ... ซึ่งอาจเป็นประเด็นหลักของคำถาม ขอบคุณอีกครั้ง.

— John Sidles

คำตอบสำหรับคำถามของคุณ # 1 คือ "ไม่" อย่างแน่นอน ในขณะที่ฉันเชื่อว่ามีคนชี้ให้เห็นในส่วนความคิดเห็น (ยาวมาก) คุณสามารถเพิ่ม "การรวมเข้าด้วยกัน" ลงในเครื่องได้อย่างง่ายดาย นั่นคือแม้ว่าคุณจะไม่ทราบว่า r คืออะไรถ้าคุณเดาจำนวนเต็มใด ๆ ที่มากกว่า r (นี่เป็นไปได้แน่นอน) คุณสามารถตั้งค่าเครื่องโอเวอร์เฮดที่จำลองเครื่องทัวริงที่เข้าใจยากและบังคับให้มัน เพื่อหยุดการทำงานในเวลาพหุนาม ... โดยไม่ต้องเปลี่ยนภาษาที่เครื่องทัวริงยอมรับเลย ในแบบนี้คุณสามารถแปลงเครื่องทัวริงเวลา "เข้าใจยาก" ทัวริงเป็นเครื่องทัวริงเวลา "เข้าใจ" ซึ่งหมายความว่าไม่มีภาษาใน P ที่สามารถตัดสินใจได้โดยเฉพาะเครื่องทัวริง "เข้าใจยาก"

ฉันหวังว่านี่จะช่วยได้. ถ้าฉันไม่ตีความคำถามและความตั้งใจของคุณอย่างสมบูรณ์คำตอบของฉันก็ค่อนข้างถูกต้อง ไม่ใช่คำถามเปิดทั้งหมด

— ฟิลิปไวท์
แหล่งที่มา

โดยวิธีการที่ถ้าคุณต้องการเป็นตัวอย่างที่ดีของผู้สมัครสำหรับสิ่งที่คุณเรียกขั้นตอนวิธีการ "เข้าใจยาก" ให้ดูscholarpedia.org/article/Universal_search อัลกอริธึมการค้นหาที่เป็นสากลสำหรับการแก้ SAT ปฏิบัติตามคำจำกัดความของคุณหาก if P = NP ที่เข้าใจไม่ได้นั้นเป็นอิสระอย่างเป็นทางการ

— Philip White

คุณรู้อะไรเกี่ยวกับคำถามสุดท้ายจากคำตอบของฉัน ฉันเชื่อว่าเป็นคำถามเดียวที่ยังไม่เห็นได้ชัดสำหรับฉันนั่นคือ

— Sasho Nikolov

@ ฟิลิปไวท์คำจำกัดความถูกสร้างขึ้นอย่างระมัดระวังเพื่อหลีกเลี่ยงการก่อสร้างที่คุณให้ เนื่องจากสมมติว่ารันไทม์ของ M นั้นไม่สามารถอธิบายได้สำหรับเลขชี้กำลังrและเราคาดเดาค่าr ' > rและเราติดตั้งr' -polylimiter ในเครื่องที่แก้ไขแล้วซึ่งรู้จักภาษาเดียวกันกับ M ดังนั้นคำสั่ง M ' "ไทม์ของ M 'คือ O (n ^ r) ที่เกี่ยวกับความยาวอินพุต n" ยังไม่สามารถระบุได้ ผมเห็นด้วย แต่ที่เราต้องคิดอย่างรอบคอบเกี่ยวกับว่าทุกเกมแมวและเมาส์กับ polylimiters oracle ระบุได้รับการยกเว้น (เป็นเจตนา) --- และดังนั้นผมจึง upvoted คำตอบของคุณ!

— John Sidles

โอ้และเนื่องจากความคิดเห็นของ Sasho ซ้อนทับกันฉันขอให้ฉันแสดงความขอบคุณต่อคำถามสุดท้ายในคำตอบของ Sashoซึ่ง (ตามความเข้าใจของฉันในปัจจุบัน) ขัดขวางการแนะนำของ polylimiters ที่ได้มาจาก oracle ก่อนหน้านี้ฉันจะต้องคิดเรื่องนี้สักวันหรือสองวัน ขอบคุณอีกครั้ง Philip

— John Sidles

ขออภัยฉันควรอ่านคำตอบของ Sasho Nikolov ให้ละเอียดยิ่งขึ้น ฉันเพิ่งเห็นคำว่า "ใช่" ฉันจะดูคำถามสุดท้ายในไม่ช้าและดูว่าฉันมีอะไรที่เป็นประโยชน์ที่จะพูด

— ฟิลิปไวท์