ความซับซ้อนของปัญหาที่ครอบคลุมนี้คืออะไร

แก้ไข: ฉันแก้ไขข้อ จำกัด ของฉันเป็นครั้งแรก (2) ตอนนี้แก้ไขแล้ว ฉันยังเพิ่มข้อมูลและตัวอย่างเพิ่มเติม

กับเพื่อนร่วมงานบางคนศึกษาคำถามอัลกอริทึมอื่น ๆ เราสามารถลดปัญหาของเราลงไปเป็นปัญหาที่น่าสนใจต่อไปนี้ แต่เราไม่สามารถแก้ปัญหาความซับซ้อนได้ ปัญหามีดังนี้

เช่น:จำนวนเต็ม $n$ เป็นจำนวนเต็ม $k<n$ และชุด $S=\{\{s_1,t_1\},\ldots,\{s_n,t_n\}\}$ ของ $n$ คู่จากชุด $\{1,\ldots,n\}$ }

คำถาม:มีชุด $S'\subseteq S$ ขนาด $k$ เช่นนั้นสำหรับแต่ละองค์ประกอบ $i$ ของ $\{1,\ldots,n\}$ :
(1) ถ้า $i<n$ , ช่วงเวลา $[i,i+1]$ รวมอยู่ในช่วงเวลาหนึ่ง $[s_i,t_i]$ กำหนดโดยคู่ใน $S'$ และ
~~(2) อย่างน้อยหนึ่งใน $i$ , $i+1$ เป็นของคู่ของ $S'$ ?~~
(2) $i$ เป็นของคู่ของบาง $S'$ '

ตัวอย่าง
ชุด $\{\{i,i+1\}~|~i~\text{ is odd}\}\cup\{1,n\}$ เป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ (สมมติว่า $n$ เป็นคู่): คู่ $\{1,n\}$ ช่วยให้มั่นใจได้ถึงเงื่อนไข (1) ในขณะที่คู่อื่น ๆ ทั้งหมดรับรองเงื่อนไข (2)

ข้อสังเกต
(I) เนื่องจากแต่ละคู่มีองค์ประกอบสองประการเพื่อให้บรรลุเงื่อนไข (2) เราจึงต้องการอย่างน้อย $\frac{n}{2}$ คู่ BTW นี่หมายถึงการประมาณ 2 เล็กน้อยโดยส่งกลับทั้งหมด $S$ เนื่องจากเราถือว่า $|S|\leq n$ n

(II) อีกวิธีหนึ่งในการดูปัญหาคือการพิจารณาบันไดที่มี $n$ step (เช่นที่อยู่ด้านล่าง ) พร้อมกับชุด $S$ ของ $n$ รอบของบันได ขั้นตอนของบันไดที่สอดคล้องกับองค์ประกอบบางอย่างในแต่ละครั้งและขอบแต่ละด้านเป็นช่วงเวลา $[i,i+1]$ ]วงจรรวมถึงขั้นตอน $s,t$ สอดคล้องตรงกับคู่ $\{s,t\}$ : มันครอบคลุมช่วงเวลาติดต่อกันระหว่าง $s$ และ $t$ และจะหยุดทั้ง $s$ และเสื้อ $t$
คำถามคือว่ามีชุด $S'\subseteq S$ ของรอบ $k$ ซึ่งสหภาพครอบคลุมขอบทั้งหมดของบันได (รวมถึงขอบขั้นตอนและขอบด้านข้าง)

(III) หากมีใครขอเงื่อนไขเท่านั้น (1) ปัญหาจะสอดคล้องกับปัญหาเซตที่มีอิทธิพลในกราฟบางช่วงที่กำหนดจากช่วงเวลาได้รับจากคู่ของพร้อมกับช่วงเวลาเพิ่มเติมเล็ก ๆสำหรับแต่ละใน }ปัญหานี้แก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้น (ดูตัวอย่างที่นี่ ) $[s_i,t_i]$ $S$ $[i+\epsilon,i+1-\epsilon]$ $i$ $\{1,\ldots, n-1\}$
ในทำนองเดียวกันหากมีใครขอเงื่อนไข (2) สิ่งนี้อาจลดลงไปที่ปัญหาการปกคลุมของขอบ (จุดยอดคือองค์ประกอบขอบคือคู่) ซึ่งเป็นพหุนามเวลาที่แก้ไขได้ด้วยวิธีการจับคู่สูงสุด

ดังนั้นคำถามของฉันอยู่ในชื่อ:

ปัญหานี้เป็น P หรือไม่ มันเสร็จสมบูรณ์หรือไม่

การอ้างอิงถึงปัญหาที่คล้ายกันยินดีต้อนรับ

cc.complexity-theory ds.algorithms reference-request

— Florent Foucaud
แหล่งที่มา

มันอาจจะอยู่ที่ไหนสักแห่งระหว่าง ... ใครจะรู้ว่ามันไม่สามารถเทียบได้กับการพูดว่ากราฟ isomorphism? :)

— Tsuyoshi Ito

แน่นอนว่าเป็นตัวเลือกด้วย ... แต่จริงๆแล้วฉันรู้สึกว่า "มีกลิ่น" นี้ใน P - อาจเป็นเพราะฉันหวังว่ามันจะเป็น :)

— Florent Foucaud

ทำไมโซลูชันที่เป็นไปได้ใด ๆ ต้องมีขนาด

? โปรดอธิบายว่าทำไมชุดของคู่ {

} เป็นไปไม่ได้

\geq \frac{n}{2}

$\geq \frac{n}{2}$

[1, n - 1], [2, n]

$[1, n-1], [2, n]$

— hbm

@hbm: โซลูชันที่คุณเสนอไม่เป็นไปตามเงื่อนไข (2) (แม้จะมีข้อ จำกัด ก่อนที่จะอัปเดตของฉัน) ฉันได้รวมคำอธิบายเพิ่มเติมแล้วตอนนี้ฉันหวังว่ามันจะชัดเจนขึ้น

— Florent Foucaud

แล้ว k = n / 2 ล่ะ? เราสามารถแก้ปัญหากรณีพิเศษนี้ได้หรือไม่?

— domotorp

แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่สามารถแก้ไขคำถามที่คุณถามได้ แต่ความคิดเห็นก่อนหน้านี้บางส่วนพิจารณาอัลกอริทึมโดยประมาณ FWIW ฉันคิดว่า PTAS (รูปแบบการประมาณเวลาโพลี) เป็นไปได้โดยใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก นี่คือความคิด

รับอินสแตนซ์ใด ๆ และสร้างโซลูชันดังนี้ ทำเครื่องหมายจุดสุดยอดทุก ๆ ' สำหรับแต่ละจุดสุดยอดที่ทำเครื่องหมายจากขอบทั้งหมดที่ "ขยาย" (เช่นที่เป็นไปตามข้อ จำกัด (1) สำหรับ ) ให้เลือกหนึ่งขอบที่ย่อขนาดและ~~ย่อเล็กสุด~~ที่ลดขนาดมากที่สุด เพิ่มเหล่านี้ขอบเพื่อแก้ปัญหา $\epsilon > 0$ $(1/\epsilon)$ $i$ $(j,k)$ $i$ $i$ $j$ $k$ $2 \epsilon n$

ขอบเหล่านี้เป็นไปตามข้อ จำกัด ของประเภท (1) สำหรับจุดยอดต่าง ๆ ในขณะที่พวกเขามีส่วนร่วมในขอบเพื่อแก้ปัญหาซึ่งเป็นเพียง )ในการเสร็จสิ้นเราจะหาทางออกที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาที่เหลืออยู่ในการค้นหาชุดของขอบที่ตรงกับข้อ จำกัด ประเภทที่เหลือทั้งหมด (1) และประเภท (2) $2n\epsilon$ $O(\epsilon \mbox{OPT})$

กำหนด "บล็อก" ของจุดยอดเพื่อให้เป็นชุดของจุดยอดต่อเนื่องที่มีข้อ จำกัด ประเภท (1) ถูกพบโดยขอบที่เพิ่มเข้ามา ระหว่างสองบล็อกที่ต่อเนื่องกันมีลำดับของจุดยอดที่มีข้อ จำกัด ประเภท (1) ไม่ตรง (ลำดับดังกล่าวมีความยาวไม่เกินเนื่องจากจุดยอดที่ถูกทำเครื่องหมายมีประเภทของข้อ จำกัด (1) พบกับขอบที่เพิ่มเข้าไปแล้ว) เรียกลำดับดังกล่าวว่า "ย่าน" ของบล็อกทั้งสองที่อยู่ติดกัน ละแวกใกล้เคียงไปทางซ้ายและละแวกใกล้เคียงไปทางขวา) $1/\epsilon$

ภายในแต่ละละแวกใกล้เคียงสำหรับแต่ละจุดสุดยอดในละแวกใกล้เคียงแต่ละขอบออกจากจุดสุดยอดมีช่วงสูงสุดที่ (เพราะขอบไม่ครอบคลุมจุดสุดยอดที่ทำเครื่องหมายไว้) ดังนั้นจุดสุดยอดมีปริญญาที่มากที่สุด εดังนั้นเขตแต่ละคนมีที่มากที่สุดจุดและสัมผัสที่มากที่สุดขอบ เรียกชุดย่อยใด ๆ ของขอบเหล่านั้นเป็น "การกำหนดค่า" ของพื้นที่ใกล้เคียง หากการกำหนดค่าเป็นไปตามข้อ จำกัด ประเภท (1) และประเภท (2) ทั้งหมดสำหรับจุดยอดในพื้นที่ใกล้เคียงให้เรียกการกำหนดค่า "ถูกต้อง" $1/\epsilon$ $1/\epsilon$ $1/\epsilon$ $1/\epsilon^2$

สำหรับแต่ละบล็อกสำหรับแต่ละคู่การกำหนดค่าที่ถูกต้องของบล็อกของทั้งสองย่านคำนวณ (ในเวลาพหุนามโดยใช้การจับคู่สูงสุด ฯลฯ ) ขนาดต่ำสุดที่ของชุดของขอบ (ถ้ามี) เช่นนั้นขอบในไปตามข้อ จำกัด ประเภท (2) สำหรับจุดยอดในบล็อก เนื่องจากมีไม่เกิน $i$ $(C_i, C_{i+1})$ $F_i(C_i,C_{i+1})$ $S$ $C_i\cup S \cup C_{i+1}$ การกำหนดค่าซึ่งสามารถทำได้ในเวลาพหุนาม (สำหรับ eps คงที่) $2^{1/\epsilon^2} = O(1)$

ตอนนี้คุณสามารถแก้ปัญหาเช่นเดิมโดยการค้นหาลำดับของการกำหนดค่าที่ถูกต้องหนึ่งรายการสำหรับแต่ละพื้นที่ใกล้เคียงที่ลดโดยที่ถูกกำหนดไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการหาเส้นทางที่สั้นที่สุดในกราฟที่เกิดขึ้นจากการกำหนดค่าที่ถูกต้องทั้งหมดพร้อมกับราคา $D_1, D_2, .., D_k$ $\sum_i |D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$ $F_i$ จากการตั้งค่าแต่ละสำหรับพื้นที่ใกล้เคียงจะตั้งค่าแต่ละสำหรับพื้นที่ใกล้เคียง 1(กราฟนี้มีขนาดซึ่งเป็นสำหรับการแก้ไข .) $|D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$ $D_i$ $i$ $D_{i+1}$ $i+1$ $O(2^{1/\epsilon^2} n)$ $O(n)$ $\epsilon$

— โอนีลยัง
แหล่งที่มา

ดี และยินดีต้อนรับสู่ cstheory!

— Suresh Venkat

1 + ϵ

$1+\epsilon$

k = 4 / ϵ

$k=4/\epsilon$

O P T \geq n / 2

$OPT\geq n/2$

2 n / k \leq ϵ O P T

$2n/k\leq\epsilon OPT$

— Florent Foucaud