UG-hardness คืออะไรและแตกต่างจาก NP-hardness ตามการคาดเดาของเกมที่ไม่ซ้ำกันอย่างไร


22

มีผลลัพธ์ที่ไม่สามารถคาดการณ์ได้มากมายซึ่งขึ้นอยู่กับการคาดเดาของเกมที่ไม่เหมือนใคร ตัวอย่างเช่น,

ด้วยการคาดเดาเกมที่ไม่เหมือนใครมันเป็นปัญหาที่ยากที่สุดในการประมาณปัญหาการตัดสูงสุดภายในปัจจัยRสำหรับค่าคงที่R > R GWใด ๆ

(นี่คือR GW = 0.878 …คืออัตราส่วนการประมาณของอัลกอริทึม Goemans – Williamson)

อย่างไรก็ตามบางคนชอบใช้คำว่า“ UG-hard ” เป็น:

มันเป็น UG- ยากที่จะประมาณปัญหาการตัดสูงสุดภายในปัจจัยRสำหรับค่าคงที่R > R GWใด ๆ

อันหลังเป็นเพียงชวเลขสำหรับอดีตหรือพวกเขาหมายถึงคำสั่งที่แตกต่างกันอย่างไร


+1 ดีมาก ขอบคุณ Tsuyoshi ที่ทำให้เข้าใจแนวคิดสำคัญในทฤษฎีความซับซ้อน
Mohammad Al-Turkistany

คำตอบ:


15

รุ่นก่อนหน้าของคำตอบนี้ถูกโพสต์เป็นคำตอบสำหรับคำถาม“ ผลที่ตามมาของเกมที่ไม่ซ้ำที่เป็นปัญหา NPI ” โดย NicosM เพราะปรากฎว่าไม่ได้ตอบสิ่งที่เขาต้องการถามฉันจึงย้ายไปที่คำถามนี้

คำตอบสั้น ๆ : พวกเขาหมายถึงงบที่แตกต่างกัน หลังหมายถึงอดีต แต่อดีตไม่จำเป็นต้องหมายถึงหลัง

คำตอบยาว: จำได้ว่าปัญหาของเกมที่ไม่ซ้ำกันคือปัญหาสัญญาต่อไปนี้

ปัญหาเกมที่ไม่ซ้ำกับพารามิเตอร์k ∈ℕและε , δ > 0 (1- ε > δ )
อินสแตนซ์ : เป็นสองผู้เล่นคนหนึ่งตลอดทั้งเกมที่ไม่ซ้ำGที่มีขนาดป้ายk
ใช่สัญญา : Gมีค่าอย่างน้อย 1- ε
ไม่มีสัญญา : Gมีค่าที่มากที่สุดδ

สถานะการคาดเดาของเกมที่ไม่ซ้ำใคร:

การคาดเดาเกมที่ไม่ซ้ำ สำหรับค่าคงที่ทุกεและδมีอยู่อย่างต่อเนื่องkดังกล่าวว่าปัญหาเกมที่ไม่ซ้ำกับพารามิเตอร์k , εและδคือ NP-สมบูรณ์

พิจารณาผลลัพธ์ของแบบฟอร์มต่อไปนี้:

(1) สมมติว่าเกมมีลักษณะเฉพาะตัวปัญหาXคือ NP-hard

(ตัวอย่างของXคือปัญหาของการประมาณการตัดสูงสุดภายในปัจจัยคงที่R > R GW .)

ผลลัพธ์ส่วนใหญ่ (ถ้าไม่ทั้งหมด) ของแบบฟอร์ม (1) พิสูจน์ความจริงต่อไปนี้:

(2) มีค่าคงที่อยู่εและδเช่นว่าทุกคงที่kปัญหาเกมที่ไม่ซ้ำกับพารามิเตอร์k , εและδคือออกซิเจนX

ง่ายต่อการตรวจสอบว่า (2) แสดงถึง (1) อย่างไรก็ตาม (2) มีความหมายมากกว่า (1): ตัวอย่างเช่นสมมติว่าวันหนึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าการคาดเดาเกมที่แตกต่างซึ่ง“ NP-complete” ถูกแทนที่ด้วย“ GI -hard” จากนั้น (2) หมายถึง ที่Xยังเป็น GI ยาก (1) ไม่ได้หมายความถึงสิ่งนี้ นี่คือเหตุผลที่บางคนพิจารณาว่าคำสั่ง (1) ไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดในการระบุทฤษฎีบท: (1) อ่อนแอกว่าสิ่งที่พิสูจน์ได้จริงและความแตกต่างอาจมีความสำคัญ

แม้ว่า (2) จะเป็นคำแถลงที่ถูกต้องมากขึ้นเกี่ยวกับสิ่งที่พิสูจน์ได้ แต่ก็เป็นคำที่ชัดเจน นี่คือเหตุผลว่าทำไมผู้คนถึงได้จดชวเลขอยู่ด้วย:“ ปัญหาXคือ UG-hard” เป็นชวเลขสำหรับ (2)


8
ดูเหมือนว่าคล้ายคลึงกับสองข้อความนี้: "(1) สมมติว่า P! = NP, X ไม่มีอัลกอริธึมเวลาพหุนาม" และ "(2) X คือ NP-hard" (2) หมายถึง (1) แต่ (1) ไม่ได้หมายความถึง (2) ในทางปฏิบัติเรามักจะพิสูจน์ (2) ถึงแม้ว่าเรามักจะพูดว่า (1) เพื่ออธิบายความสำคัญของการพิสูจน์ให้คนที่ไม่คุ้นเคยกับความแข็งของ NP
Robin Kothari

1
@Tsuyoshi ฉันคิดว่าคุณอาจจะยอมรับคำตอบของคุณเอง :) ได้รับการสนับสนุนจริง ๆ และนี่เป็นข้อมูลอ้างอิงที่ดี q / a สำหรับผู้ใช้ Google ในอนาคต
Suresh Venkat

@Suresh: ขอบคุณ ฉันอาจจะได้ แต่ระบบต้องการให้ฉันรอเป็นเวลา 48 ชั่วโมงหลังจากโพสต์คำถามก่อนที่จะยอมรับคำตอบของฉันเอง
Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: อ่าฉันไม่ได้ตระหนักถึงสิ่งนั้น ฟังดูเข้าท่า.
Suresh Venkat

@TsuyoshiIto: คำตอบที่ชัดเจนดี! ขอโทษฉันไม่ได้ติดตามคำขอของคุณเพื่อให้ความเห็นของฉันตอบคำถามอื่น: ฉันยุ่งปาร์ตี้, ขี้เกียจ, ส่วนหนึ่งไม่รู้สึกว่าคำถามที่แก้ไขแล้วเป็นคำถามเลย
Sasho Nikolov
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.