การสร้างกราฟของเส้นรอบวง

Let 3 ฉันต้องการสร้างกราฟอย่างง่ายGของ girth gเช่นว่าชุดของg-ุทุกๆรูปแบบเป็นขอบสองชั้นของG (นั่นคือทุก ๆ ขอบจะถูกแบ่งปันโดยสองg -erc) และเพื่อให้จุดตัดของสองg -107 เป็นจุดยอดขอบหรือว่างเปล่า กราฟที่สร้างขึ้นควรมีขนาดใหญ่โดยพลการ$g\geq 3$$G$$g$$g$$G$$g$$g$

วิธีการของรุ่นควรมีแบบแผนบางอย่าง แต่ไม่ในความหมายเล็กน้อย ฉันต้องการได้กราฟที่ซับซ้อนพอสมควร ตัวอย่างเช่นลองนึกภาพกริดสี่เหลี่ยมในระนาบ ถ้าเราระบุด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยม bounding เราได้กราฟที่ตอบสนองทุกความต้องการดังกล่าวข้างต้นสำหรับกรัม= 4 ฉันจะทำให้กราฟนี้เป็นเรื่องง่าย$n\times m$$g=4$

มีวิธีการดังกล่าวหรือไม่?

การอ้างอิงถึงปัญหาที่คล้ายคลึงกันใด ๆ ก็ชื่นชมเช่นกัน

ความคิดที่ผ่านการอบครึ่งของฉันนั้นค่อนข้างทะเยอทะยานเกินไป ฉันรวมมันไว้ด้านล่างเพื่ออ้างอิง แต่สภาพระยะทางที่ฉันระบุนั้นไม่เพียงพอที่จะรับประกันว่าจะมีเส้นรอบวงขนาดใหญ่

มีแผนที่พื้นผิวที่มีความสมมาตรสูงขนาดใหญ่ที่มีเส้นรอบวงขนาดใหญ่โดยพลการ แต่การพิสูจน์การมีอยู่ที่ตีพิมพ์นั้นส่วนใหญ่อาศัยทฤษฎีกลุ่มมากกว่าโครงสร้างทอพอโลยีหรือเรขาคณิตต่อ

โดยเฉพาะสำหรับการใด ๆ จำนวนเต็ม , dและrดังกล่าวที่1 /กรัม+ 1 / d < 1 / 2มีแผนที่พื้นผิวปกติที่ใบหน้าของทุกคนมีกรัมขอบทุกจุดสุดยอดมีปริญญาdและทุกที่ไม่หดตัว วงจรบนพื้นผิวข้ามอย่างน้อยrขอบ ที่นี่ "ปกติ" หมายถึงทั้งที่จุดสุดยอดทุกคนมีระดับเดียวกันและสำหรับขอบชี้นำคู่ใด ๆ จะมีออโตมอร์ฟิซึมของการฝังที่ส่งขอบชี้นำไปที่อื่น การตั้งค่า$g$$d$$r$$1/g + 1/d < 1/2$$g$$d$$r$$r$มากพอในการค้ำประกันการก่อสร้างนี้ว่าเส้นรอบวงของกราฟเป็นกรัมดูตัวอย่าง:$g$

• Roman Nedela และ Martin Škoviera แผนที่ปกติบนพื้นผิวที่มีความกว้างของระนาบขนาดใหญ่ European J. Combinatorics 22 (2): 243--262, 2001

• Jozef Širáň การเป็นตัวแทนกลุ่มรูปสามเหลี่ยมและการสร้างแผนที่ปกติ พร คณิตศาสตร์ลอนดอน Soc 82 (3): 513-532, 2001

เมื่อคุณมีแผนที่พื้นผิวหนึ่งแผนที่จะสามารถสร้างแผนที่ขนาดใหญ่ที่มีเส้นรอบวงและองศาเดียวกันได้โดยการสร้างพื้นที่ครอบคลุม

นี่เป็นวิธีหนึ่ง (ครึ่งอบ) ในการสร้างกราฟดังกล่าว ให้เป็นกราฟระนาบที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:$G$

• ใบหน้าทุกคนกระโดดมีตรงกรัมขอบ$G$$g$

• ใบหน้าด้านนอกของมีจำนวนคู่เท่ากัน เรียกเหล่านี้ขอบขอบเขตของG (เงื่อนไขนี้จะถือโดยอัตโนมัติเมื่อgเป็นเลขคู่หากgเป็นเลขคี่Gต้องมีจำนวนใบหน้าที่มีขอบเขตเท่ากัน)$G$$G$$g$$g$$G$

• มันเป็นไปได้ที่จะจับคู่ขอบขอบเขตของ , เพื่อให้ระยะทางในGจากขอบเขตแดนใด ๆ ที่จะเป็นพันธมิตรของมันคืออย่างน้อยกรัม เงื่อนไขนี้ไม่เพียงพอจริง ๆ ; เงื่อนไขที่แน่นอนที่จำเป็นที่นี่ไม่มีความชัดเจน$G$$G$$g$

พลกราฟเครื่องบินขนาดใหญ่ที่มีคุณสมบัติเหล่านี้สามารถถูกสร้างขึ้นโดยการใช้ส่วน จำกัด ขนาดใหญ่พอของการปูกระเบื้องปกติของเครื่องบินโดยการผ่อนชำระ$g$ -gons

ในที่สุดเพื่อให้ได้กราฟพื้นผิวที่ทุกใบหน้ามีความยาวgให้ระบุคู่ของขอบของขอบเขตในGตามการจับคู่ที่อธิบายข้างต้น ใบหน้าที่ล้อมรอบของGกลายเป็นใบหน้าของการฝังเซลล์ของG ′บนพื้นผิวปิดบางโดยไม่มีขอบเขต เงื่อนไขระยะทางบนค้ำประกันการจับคู่ที่เส้นรอบวงของG 'เป็น  กรัม$G'$$g$$G$$G$$G'$$G'$$g$

$G$$d$$d$$g$$1/d + 1/g < 1/2$