ผู้ชนะเกมการ์ดในเวอร์ชั่นที่ง่ายขึ้น

ฉันถามปัญหานี้ในMathOverflowโดยไม่มีคำตอบที่น่าพอใจ

พิจารณาต่อไปนี้เกมที่สองผู้เล่นซึ่งเป็นความเรียบง่ายของเกมการ์ดที่เรียกว่าผู้ชนะ (สูตรต่อไปนี้นำมาจากความคิดเห็นโดย Guillaume Brunerie บน MathOverflow)

มีผู้เล่นสองคน A และ B ผู้เล่นแต่ละคนมีชุดไพ่ (เซตย่อยของ ) ซึ่งมองเห็นได้จากผู้เล่นทั้งสอง เป้าหมายของเกมคือการกำจัดไพ่ของตัวเอง ผู้เล่นคนแรกเล่นการ์ดใด ๆ บนโต๊ะจากนั้นผู้เล่นคนอื่นจะต้องเล่นไพ่ที่ใหญ่กว่า (อย่างเคร่งครัด) และต่อไปจนกว่าผู้เล่นคนใดคนหนึ่งจะไม่สามารถเล่นหรือตัดสินใจที่จะผ่าน จากนั้นไพ่บนโต๊ะจะถูกยกเลิกและผู้เล่นคนอื่นจะเริ่มต้นอีกครั้งโดยการเล่นไพ่ใด ๆ (ซึ่งจะตามด้วยไพ่ที่ใหญ่กว่า) และต่อไปจนกว่าผู้เล่นหนึ่งในสองคนจะหมดไพ่และชนะเกม $\{1,\dots,n\}$

ฉันต้องการทราบกลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับผู้เล่น (ถ้าเขาสามารถชนะได้)

นิยามที่เป็นทางการ

แสดงโดยการกำหนดค่าของเกมที่ชุดไพ่ของผู้เล่นคนแรกคือชุดของไพ่ของผู้เล่นที่สองคือและการ์ดที่ใหญ่ที่สุดบนโต๊ะคือโดยที่หมายความว่าไม่มีบัตรบนโต๊ะ ผมอยากจะอัลกอริทึมในการคำนวณการรับไม่ว่าจะเป็นผู้เล่นคนแรกมีกลยุทธ์ชนะในการกำหนดค่าB) $w(i,A,B)$ $A$ $B$ $i$ $i=0$ $i,A,B$ $w(i,A,B)$

อย่างเป็นทางการฉันต้องการอัลกอริทึมในการคำนวณฟังก์ชันกำหนดดังนี้: $f$

ปล่อย , . $\mathbb{Z}_n = \left\{1, 2, \cdots, n\right\}$ $\mathrm{Bool} = \left\{\mathrm{False}, \mathrm{True}\right\}$

ฟังก์ชัน $f:\;\left\{ 0, 1, \cdots, n \right\} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \to \mathrm{Bool}$

โดยที่

ฉ (ผม, A, B) = {\begin{cases} F a ล. s อี & B = \emptyset \\ T R ยู อี & B \neq \emptyset \land \exists J \in A : J > ผม, ฉ (J, B, A - {J}) = F a ล. s อี \\ T R ยู อี & B \neq \emptyset \land ฉ (0, B, A) = F a ล. s อี \\ F a ล. s อี & มิฉะนั้น \end{cases}

$f ( i, A, B ) = \begin{cases} \mathrm{False} & B = \emptyset \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land \exists j \in A: j > i, f(j, B, A - \left\{j\right\}) = \mathrm{False} \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land f(0, B, A) = \mathrm{False} \\ \mathrm{False} & \textrm{otherwise} \end{cases}$

กลยุทธ์ที่ไม่ถูกต้อง

นี่คือกลยุทธ์ที่ผิด:

เล่นไพ่ที่เล็กที่สุดเสมอ ให้กลยุทธ์ชนะเลิศสำหรับผู้เล่นในการกำหนดค่าคือการเล่นการ์ด3หากผู้เล่น A เล่นไพ่ 1 เขาจะแพ้ $n = 3, A = \{1,3\}, B = \{2\}$ $w(0, A, B)$ $3$
เล่นการ์ดที่เล็กที่สุดยกเว้นว่าผู้เล่นคนอื่นมีการ์ดเพียงใบเดียว มันเป็นกลยุทธ์ที่แข็งแกร่งกว่ากลยุทธ์ 1 แต่ก็ผิดเช่นกัน เพียงคิดเกี่ยวกับการกำหนดค่า\}) หากผู้เล่น A ใช้กลยุทธ์ 2 เขาจะแพ้:ดังนั้นผู้เล่น A เสีย $w(0, \{1, 4, 6, 7\}, \{2, 3, 5, 8\})$ $1\rightarrow2\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\textrm{pass}\rightarrow3$

gt.game-theory card-games

— Yai0Phah
แหล่งที่มา

คำถามนี้น่าสนใจ แต่โปรดพยายามทำให้อ่านได้มากที่สุด ตัวอย่างเช่นคุณไม่ต้องคัดลอกคำต่อคำติชมของ Guillaume Brunerie รวมทั้งส่วน“ ฉันคิดว่ามันเป็น A ที่ควรเป็นที่รู้จักสำหรับผู้เล่น…” ซึ่งแตกต่างจากสมมติฐานในคำถามของคุณและสร้างความสับสนให้ผู้อ่านเท่านั้น นอกจากนี้โปรดพิจารณาลบสูตรแรกของสูตรที่สาม: สูตรที่สองให้ความเข้าใจที่เข้าใจง่ายส่วนที่สามให้คำจำกัดความที่เป็นทางการและฉันไม่คิดว่าสิ่งแรกนั้นมีจุดประสงค์อะไร

— Tsuyoshi Ito

อาจเป็นวิธีที่ดีที่สุดในการวิเคราะห์สิ่งนี้คือการเขียนโปรแกรมที่แสดงการเคลื่อนไหวที่ดีที่สุดสำหรับตำแหน่งใด ๆ และมองหารูปแบบ ไม่มีเหตุผลเบื้องต้นที่เกมนี้ควรมีกลยุทธ์ที่ดี

— Peter Shor

ฉันจะเริ่มต้นกลยุทธ์ด้วยบัตรจำนวนน้อยและทำงานจากที่นั่น ตัวอย่างเช่นหากผู้เล่นแต่ละคนมีไพ่ 2 ใบผู้เล่นใดก็ตามที่มีไพ่สูงสุดจะชนะโดยไม่คำนึงว่าผู้เล่นคนใดมีเทิร์นถัดไป เขาเล่นไพ่สูงสุดผู้เล่นคนอื่นจะต้องผ่านจากนั้นเขาก็เล่นไพ่ใบสุดท้ายของเขา

— Joe

ใครช่วยให้ฉันอธิบายการตัดสินใจของ GB เพื่อติดตาม postscript ที่ 1 ได้ไหม ฉันรู้สึกเสียใจที่ฉันไม่ได้เป็นเจ้าของภาษาและการอธิบายเกมที่ซับซ้อนดังกล่าวนั้นเกินความสามารถของฉัน

— Yai0Phah

@Tsuyoshi: หากผู้เล่น A เล่นไพ่ที่เล็กที่สุดเสมอผู้เล่น B ชนะ หากผู้เล่น A เล่นไพ่ 1 และไม่เล่นไพ่ที่เล็กที่สุดเสมอไปผู้เล่น A สามารถชนะ ซึ่งหมายความว่ามีตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ สำหรับกลยุทธ์ 2 ที่ชนะเสมอ

— Peter Shor

นี่อาจเป็นความคิดเห็น แต่มันยาวเกินไป

เกมที่เกี่ยวข้องได้ทำการศึกษาโดย Jeff Kahn, Jeff Lagarias และ Hans Witsenhausen ในชุดของบทความSingle-Suit Card สองคนเล่น I, II, IIIและOn Card ของเกม Laskar ในเกมที่พวกเขาศึกษาผู้เล่นแต่ละคนมี $n$ ไพ่แจกจาก $2n$ หมายเลขบัตร $1$ $\ldots$ $2n$ . แต่ละเคล็ดลับประกอบด้วยไพ่สองใบไพ่ที่สูงกว่าชนะเคล็ดลับและผู้ชนะจะนำไปสู่ เป้าหมายคือการใช้เล่ห์เหลี่ยมมากที่สุด

พวกเขาพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับกลยุทธ์ที่ดีที่สุด แต่ไม่สามารถหาอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการเล่นที่ดีที่สุดและยังไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามันเป็นปัญหาที่ยาก

สำหรับเกมmisèreที่แต่ละคนพยายามใช้ลูกเล่นน้อยที่สุดพวกเขาก็สามารถกำหนดกลยุทธ์ที่ดีที่สุดได้

ส่วนใหญ่ผลลัพธ์เหล่านี้ได้มาจากการดูผลลัพธ์ของโปรแกรมคอมพิวเตอร์เป็นครั้งแรกซึ่งพบว่ากลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับอินสแตนซ์เล็ก ๆ จากนั้นมองหารูปแบบที่จะได้รับการคาดเดาและในที่สุดก็พิสูจน์การคาดเดาเหล่านี้ ฉันสงสัยว่านี่จะเป็นแนวทางที่มีประโยชน์สำหรับเกมของ OP

— ปีเตอร์แคระ
แหล่งที่มา