ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับสูตรความลึกคงที่

21

เรารู้มากเกี่ยวกับข้อ จำกัด ของวงจรเชิงลึก (ขนาดพหุนาม) เนื่องจาก (ขนาดพหุนาม) สูตรความลึกคงที่จึงเป็นรูปแบบการคำนวณที่ จำกัด ยิ่งขึ้นปัญหาทั้งหมดที่ทราบว่าไม่อยู่ใน AC ⁰จึงไม่สามารถคำนวณได้จากสูตรเชิงลึกคงที่ อย่างไรก็ตามเนื่องจากเป็นรุ่นที่ง่ายกว่าฉันจึงคาดว่าจะมีปัญหามากกว่าที่จะไม่สามารถคำนวณได้ในโมเดลนี้ มีการศึกษาเรื่องนี้หรือไม่? (ฉันเดาว่ามันเป็นไปได้ แต่ฉันอาจไม่ได้ใช้คำค้นหาที่เหมาะสม)

โดยเฉพาะฉันสนใจในคำถามต่อไปนี้: มีฟังก์ชัน f ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยวงจรAC ⁰ของขนาด S แต่ต้องการสูตรความลึกคงที่ขนาดอย่างน้อยกำลังสองใน S หรือซุปเปอร์พหุนามใน S? อะไรคือผลลัพธ์ที่รู้จักกันดีที่สุดในประเภทนี้?

ในกรณีที่มันไม่ชัดเจนว่าฉันหมายถึงอะไรโดยสูตรเชิงลึกคงที่ฉันหมายถึงสูตรที่ถ้าคุณเขียนเป็นต้นไม้ (โดยมีโหนดภายในเป็นและ / หรือ / ไม่มีประตูและใบไม้เป็นอินพุต) จากนั้นต้นไม้นี้มีค่าคงที่ ความสูง สูตรที่มีความลึกคงที่เท่ากับวงจรความลึกคงที่ซึ่งประตูที่ไม่ใช่อินพุตทั้งหมดจะมี fanout 1

cc.complexity-theory circuit-complexity lower-bounds

— Robin Kothari
แหล่งที่มา

11

มันง่ายที่จะแปลงวงจรความลึกคงที่เป็นสูตรความลึกคงที่ของความลึกเดียวกันกับการเพิ่มขนาดพหุนามด้วยการทำสำเนาประตูที่ใช้มากกว่าหนึ่งครั้ง ถ้าความลึกของวงจรคือและขนาดของมันคือสูตรจะมีความลึกและขนาด )ดังนั้นคำตอบคือไม่ $d$ $O(p(n))$ $d$ $O((p(n))^d)$

— Kaveh
แหล่งที่มา

5

ทำให้ขนาดเพิ่มขึ้นมากกว่ากำลังสอง (ถึงแม้ว่าจะไม่เพิ่มขึ้นอย่างแน่นอนพหุนาม)

— Iddo Tzameret

2

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. ความคิดเกี่ยวกับฟังก์ชั่นเฉพาะ f ซึ่งมีวงจรความลึกคงที่ขนาด S แต่ต้องการสูตรที่มีขนาด S ^ 2 หรือ S ^ 10 เป็นต้น

— Robin Kothari

3

ฉันคิดว่าความสัมพันธ์ระหว่างความลึกและขนาดวงจรยังคงเปิดอยู่ (เป็นที่ทราบกันว่า "ความลึก" เป็นขนาดของสูตร teta) ดูบทที่ 7 และ 8 ในหนังสือของ Wegener "ความซับซ้อนของฟังก์ชั่นบูลีน" สำหรับฟังก์ชั่นบางอย่างที่มีขนาดสูตรต่ำกว่าขอบเขตชัดเจน มีสิ่งหนึ่งที่เพิ่มขึ้นเกือบเป็นกำลังสอง (

) ไม่ได้สังเกตอะไรเลยดีกว่า

n^{2} / l o g n

$n^2/log n$

— Kaveh

17

คำถามนี้ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ (ขึ้นอยู่กับปัจจัยคงที่) โดยผลล่าสุดของ Benjamin Rossman ( http://eccc.hpi-web.de/report/2013/169/ )

เมื่อ Kaveh ชี้ให้เห็นข้างต้นความลึก , ขนาด , วงจรสามารถแปลงเป็นความลึก , ขนาดสูตร $d$ $S$ $d$ $S^d$

Rossman แสดงให้เห็นว่านี่เป็นสิ่งที่สำคัญอย่างยิ่ง สำหรับความลึกใด ๆเขาจัดแสดงฟังก์ชั่นที่สามารถคำนวณโดยวงจรอย่างต่อเนื่องเชิงลึกของความลึกและขนาดแต่สูตรคงที่ความลึกใด ๆ (หรือแม้กระทั่ง $d$ $d$ $S = O(n^3)$ สูตรที่ลึกลงไป) ต้องการขนาดเพื่อคำนวณ $\sqrt{\log n}$ $S^{\Omega(d)}$

(ลืมที่จะพูดแบบนี้มาก่อน: ขอบคุณ Benjamin Rossman ที่แจ้งให้ฉันทราบเกี่ยวกับผลลัพธ์นี้)

— Robin Kothari
แหล่งที่มา