คำถามติดแท็ก circuit-complexity

นี่เป็นคำถามเกี่ยวกับความซับซ้อนของวงจร (คำจำกัดความอยู่ที่ด้านล่าง) Yao และ Beigel-Tarui แสดงให้เห็นว่าทุกตระกูลของขนาดsมีตระกูลวงจรเทียบเท่ากับขนาดs p o l y ( log s )ของความลึกสองที่ประตูเอาท์พุทเป็นฟังก์ชันสมมาตรและระดับที่สองประกอบด้วย ของN DประตูของP o L Y ( บันทึกs )CC0ACC0ACC^0ssssp o l y( บันทึกs )spoly(log⁡s)s^{poly(\log s)}A NDANDANDp o l y( บันทึกs )poly(log⁡s)poly(\log s)แฟนใน นี่คือ "การล่มสลายเชิงลึก" ที่น่าทึ่งอย่างมากของวงจร: จากวงจรความลึก 100 คุณสามารถลดความลึกเป็น 2 ได้โดยมีการระเบิดแบบกึ่งพหุนามเท่านั้น (และหนึ่งประตูแฟนซีที่ยัง จำกัด อยู่ที่ด้านบน) คำถามของฉัน: มีวิธีใดที่เป็นที่รู้จักกันในการแสดงความครอบครัววงจรเหมือนกัน? ยิ่งกว่านั้นมีความทะเยอทะยานแล้ววงจรครอบครัวN C …

40 cc.complexity-theory  circuit-complexity  upper-bounds 

ในปี 1980 Razborov มีชื่อเสียงแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชั่นบูลีนเสียงเดียวที่ชัดเจน (เช่นฟังก์ชั่น CLIQUE) ที่ต้องการประตู AND และ OR จำนวนมากเพื่อการคำนวณ อย่างไรก็ตามพื้นฐาน {AND, OR} เหนือโดเมนบูลีน {0,1} เป็นเพียงตัวอย่างหนึ่งของชุดเกทที่น่าสนใจซึ่งขาดความเป็นสากล สิ่งนี้นำไปสู่คำถามของฉัน: มีชุดประตูอื่น ๆ ที่น่าสนใจแตกต่างไปจากประตูโมโนโทนซึ่งเป็นที่รู้จักกันในขอบเขตล่างที่อธิบายขนาดของวงจร (ไม่มีความลึกหรือข้อ จำกัด อื่น ๆ ในวงจร)? ถ้าไม่มีมีชุดประตูอื่น ๆ ที่มีความน่าเชื่อถือสำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่านั้น --- ขอบเขตที่ไม่จำเป็นต้องทำลายกำแพง Natural Proofs ในขณะที่ผลการทดสอบเสียงโมโนโทนวงจรเดียวของ Razborov ไม่? หากชุดประตูมีอยู่แน่นอนว่ามันจะเป็นตัวอักษร k-ary สำหรับk≥3 เหตุผลก็คือเพราะตัวอักษรเลขฐานสองนั้น (1) ประตูเสียงเดียว ({AND, OR}) (2) ประตูเชิงเส้น ({NOT, XOR}) และ (3) …

40 lower-bounds  circuit-complexity  circuit-families 

Ryan Williams เพิ่งโพสต์ขอบเขตล่างของเขาใน ACCชั้นเรียนของปัญหาที่มีวงจรความลึกคงที่โดยมี fan-in และประตูมากมายและ AND, OR, NOT และ MOD_m สำหรับ m ที่เป็นไปได้ทั้งหมด มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับประตู MOD_m พวกเขาอนุญาตให้หนึ่งในการจำลองเลขคณิตมากกว่าแหวน Z_m ใด ๆ ก่อนผลลัพธ์ของ Ryan การขว้างประตู MOD_m ไปยังส่วนผสมให้ชั้นหนึ่งที่ขอบเขตล่างที่รู้จักไม่ทำงาน มีเหตุผลตามธรรมชาติอื่น ๆ หรือไม่ที่จะศึกษาประตู MOD_m?

39 cc.complexity-theory  circuit-complexity  big-picture  circuit-families 

ให้เป็นจำนวนเต็มบวกคงที่ของขนาดบิตAAAnnn หนึ่งรายการได้รับอนุญาตให้ประมวลผลจำนวนเต็มนี้ล่วงหน้าตามความเหมาะสม ด้วยจำนวนเต็มบวกขนาดบิตบวกความซับซ้อนของการคูณคืออะไร?BBBmmmABABAB โปรดทราบว่าเรามีอัลกอริทึม แบบสอบถามที่นี่คือว่าเราสามารถใช้\ epsilon = 0โดยอะไรที่ฉลาดกว่านี้ไหม?(max(n,m))1+ϵ(max(n,m))1+ϵ(\max(n,m))^{1+\epsilon}ϵ=0ϵ=0\epsilon=0

35 cc.complexity-theory  ds.algorithms  circuit-complexity  algebraic-complexity  arithmetic-circuits 

ไม่กี่ปีที่ผ่านมามีงานบางส่วนของโจเอลฟรีดแมนที่เกี่ยวข้องกับขอบเขตล่างของวงจรโฮโมโลจี้เพื่อ Grothendieck (ดูเอกสาร: http://arxiv.org/abs/cs/0512008 , http://arxiv.org/abs/cs/0604024 ) แนวความคิดนี้ทำให้เกิดความเข้าใจใหม่ ๆ เกี่ยวกับความซับซ้อนของบูลีนหรือว่ามันยังคงเป็นความอยากรู้อยากเห็นทางคณิตศาสตร์หรือไม่?

33 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  boolean-functions 

ฉันคิดว่าฉันจะแบ่งปันคำถามนี้เนื่องจากผู้ใช้รายอื่นอาจสนใจที่นี่ สมมติว่าฟังก์ชั่นที่อยู่ในคลาสที่เหมือนกัน (เช่นNPNPNP ) นั้นยังอยู่ในคลาส nonuniform ขนาดเล็ก (เช่นAC0/polyAC0/polyAC^0/poly , เช่น nonuniform AC0AC0AC^0 ) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้มีอยู่ใน a ชั้นเรียนขนาดเล็กกว่า (เช่นPPP )? ถ้าคำตอบสำหรับคำถามนี้เป็นบวกคลาสความซับซ้อนที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วยNP∩AC0/polyNP∩AC0/polyNP \cap AC^0/polyคืออะไร? หากลบเราสามารถหาตัวอย่างธรรมชาติที่น่าสนใจได้หรือไม่ คือC 0 / P o L Y ∩ N Pที่มีอยู่ในP ?AC0/poly∩NPAC0/poly∩NPAC^0/poly \cap NPPPP หมายเหตุ: เพื่อนคนหนึ่งได้ตอบคำถามของฉันไปแล้วบางส่วนออฟไลน์ฉันจะเพิ่มคำตอบของเขาหากเขาไม่ได้เพิ่มด้วยตนเอง คำถามคือความพยายามครั้งที่สองของฉันในการทำให้เป็นทางการคำถามต่อไปนี้เป็นทางการ: ความไม่สม่ำเสมอสามารถช่วยเราในการคำนวณปัญหาที่เหมือนกันตามธรรมชาติได้หรือไม่? ที่เกี่ยวข้อง: มีผู้สมัครสำหรับปัญหาธรรมชาติในP/poly−PP/poly−PP/poly−Pหรือไม่?

31 cc.complexity-theory  circuit-complexity  uniformity 

ให้เป็นฟังก์ชันบูลีนและขอให้คิดเกี่ยวกับ F เป็นฟังก์ชันจากจะ\} ในภาษานี้การขยายฟูริเยร์ของ f เป็นเพียงการขยายตัวของ f ในรูปของ monomials แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสอิสระ ( monomials เหล่านี้เป็นพื้นฐานของพื้นที่ของฟังก์ชันจริงใน . ผลรวมของกำลังสองของสัมประสิทธิ์คือดังนั้นนำไปสู่การแจกแจงความน่าจะเป็นบน monomials แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสอิสระ เราเรียกการกระจายตัวนี้ว่าการกระจายตัวแบบ Fฉฉf{ - 1 , 1 }n{-1,1}n\{-1,1\}^n{ - 1 , 1 }{-1,1}\{ -1,1 \}2n2n2^n{ - 1 , 1 }n{-1,1}n\{-1,1\}^n111ฉฉf ถ้า f สามารถอธิบายได้ด้วยวงจรเชิงลึกที่มีขอบเขตของขนาดพหุนามเราก็รู้จากทฤษฎีของ Linial, Mansour และ Nisan ว่าการแจกแจงแบบ F นั้นเน้นไปที่ monomials ของขนาดจนถึงน้ำหนักน้อยมาก สิ่งนี้ได้มาจาก Hastad …

29 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  boolean-functions  fourier-analysis 

ในหนังสือของเขา Boolean Function Complexity, Stasys Jukna กล่าวถึง (หน้า 564) ว่า Kolmogorov เชื่อว่าทุกภาษาใน P มีวงจรขนาดเชิงเส้น ไม่มีการกล่าวถึงการอ้างอิงและฉันไม่พบสิ่งใดทางออนไลน์ ไม่มีใครรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้?

28 cc.complexity-theory  reference-request  circuit-complexity  ho.history-overview 

ความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าวงจรกับบิตบิตและบิตเอาท์พุทคำนวณการเปลี่ยนแปลงของคืออะไร? กล่าวอีกนัยหนึ่งว่าสตริงบิตทุกตัวใน เป็นเอาต์พุตของวงจรสำหรับอินพุตบางส่วนหรือไม่? ดูเหมือนว่าปัญหาที่ได้รับการศึกษา แต่ฉันไม่สามารถหาการอ้างอิงใด ๆNC0NC0\mathsf{NC}^0nnnnnn{0,1}n{0,1}n\{0,1\}^n{0,1}n{0,1}n\{0,1\}^n

27 cc.complexity-theory  circuit-complexity  permutations 

ในความซับซ้อนของการคำนวณมีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการคำนวณเสียงเดียวกับการคำนวณทั่วไปและทฤษฎีที่โด่งดังโดย Razborov ยืนยันว่า 3-SAT และแม้กระทั่งการจับคู่นั้นไม่ได้เป็นพหุนามในแบบจำลองวงจรบูลีนเสียงเดียว คำถามของฉันง่าย: มีอะนาล็อกควอนตัมสำหรับวงจรเสียงเดียว (หรือมากกว่าหนึ่ง)? มีทฤษฎีบทของควอนตัม Razborov หรือไม่?

27 cc.complexity-theory  quantum-computing  circuit-complexity 

เมื่อเร็ว ๆ นี้ไรอัน Willams พิสูจน์ให้เห็นว่า Constructivity ในหลักฐานธรรมชาติหลีกเลี่ยงไม่ได้ที่จะได้รับการแยกของชั้นเรียนซับซ้อน: NEXPNEXP\mathsf{NEXP}และTCTC0\mathsf{TC}^{0} 0 Constructivity in Natural Proof เป็นเงื่อนไขที่พิสูจน์ combinatorial ทั้งหมดในความซับซ้อนของวงจรและเราสามารถตัดสินใจได้ว่าฟังก์ชันเป้าหมายในNEXPNEXP\mathsf{NEXP} (หรือคลาสที่ซับซ้อน "ยาก") มีคุณสมบัติ "ยาก" โดยอัลกอริทึมที่ทำงานใน เวลาโพลีในระยะเวลาของตารางความจริงของฟังก์ชันเป้าหมาย อีกสองเงื่อนไขคือ: เงื่อนไขที่ไร้ประโยชน์ที่ต้องการคุณสมบัติ "hard" ไม่สามารถคำนวณได้โดยวงจรใด ๆ ในTCTC0\mathsf{TC}^0และเงื่อนไขความใหญ่โตที่หาได้ยาก คำถามของฉันคือ: ไม่ผลนี้ทำให้ทางเรขาคณิตซับซ้อนทฤษฎี (GCT) ไม่สามารถใช้งานในการแก้ไขปัญหาการแยกหลักเช่นPP\mathsf{P} VS NPNP\mathsf{NP} , PP\mathsf{P} VS NCNC\mathsf{NC}หรือNEXPNEXP\mathsf{NEXP} VS TCTC0\mathsf{TC}^0 ? อ้างอิง: Ryan Williams " หลักฐานธรรมชาติกับการสุ่มตัวอย่าง "

25 cc.complexity-theory  complexity-classes  circuit-complexity  gct  barriers 

คำถาม: ขนาดของสูตรที่รู้จักกันดีที่สุดคือขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับฟังก์ชันที่ชัดเจนใน AC 0คืออะไร มีฟังก์ชั่นที่ชัดเจนที่มีขอบเขตล่างΩ(n2)Ω(n2)\Omega(n^2)หรือไม่? พื้นหลัง: เช่นเดียวกับขอบเขตที่ต่ำที่สุดขนาดขอบเขตสูตรที่ต่ำกว่านั้นหาได้ยาก ฉันสนใจที่จะลดขนาดของสูตรให้ต่ำกว่าชุดประตูสากลมาตรฐาน {AND, OR, NOT} ขนาดขอบสูตรที่รู้จักกันดีที่สุดคือขอบเขตล่างสำหรับฟังก์ชันที่ชัดเจนเหนือชุดเกตนี้คือΩ(n3−o(1))Ω(n3−o(1))\Omega(n^{3-o(1)})สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดโดย Andreev นี้ถูกผูกไว้ถูกนำมาแสดงโดยHåstadปรับปรุง Andreev ของผูกพันล่างของΩ(n2.5−o(1))Ω(n2.5−o(1))\Omega(n^{2.5-o(1)}) ) ลดลงอย่างชัดเจนอีกประการหนึ่งที่ถูกผูกไว้เป็น Khrapchenko ของΩ(n2)Ω(n2)\Omega(n^2)ขอบเขตล่างสำหรับการทำงานของความเท่าเทียมกัน แต่ทั้งสองฟังก์ชั่นไม่ได้อยู่ใน AC 0 ฉันสงสัยว่าถ้าเรารู้ฟังก์ชันที่ชัดเจนใน AC 0 ที่มีขอบเขตล่างเป็นกำลังสอง (หรือดีกว่า) ขอบเขตที่ดีที่สุดที่ฉันทราบคือขอบเขตล่างของΩ(n2/logn)Ω(n2/log⁡n)\Omega(n^2/\log n)สำหรับฟังก์ชันความแตกต่างขององค์ประกอบดังที่แสดงโดย Nechiporuk โปรดทราบว่าการทำงานขององค์ประกอบที่แตกต่างอยู่ใน AC 0ดังนั้นฉันกำลังมองหาที่ต่ำมุ่งชัดเจน AC 0ฟังก์ชั่นที่ดีกว่าΩ(n2/logn)Ω(n2/log⁡n)\Omega(n^2/\log n)โดยเฉพาะอย่างยิ่งΩ(n2)Ω(n2)\Omega(n^2) ) อ่านเพิ่มเติม: ทรัพยากรที่ยอดเยี่ยมในหัวข้อคือ "Boolean Function Complexity: Advance and Frontiers" โดย Stasys Jukna ร่างของหนังสือเล่มนี้สามารถใช้ได้ฟรีบนเว็บไซต์ของเขา

25 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  formulas 

ขออภัยในการถามคำถามที่ต้องอยู่ในมาตรฐานอ้างอิงจำนวนมากอย่างแน่นอน ฉันอยากรู้อยากเห็นเกี่ยวกับคำถามในชื่อเรื่องโดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันคิดถึงวงจรบูลีน ฉันใส่คำว่า "เล็กที่สุด" ในเครื่องหมายคำพูดเพื่อให้มีความเป็นไปได้ที่มีหลายคลาสที่แตกต่างกันซึ่งไม่ทราบว่าจะรวมซึ่งกันและกัน

25 cc.complexity-theory  circuit-complexity 

แก้ไข (v2): เพิ่มส่วนท้ายสิ่งที่ฉันรู้เกี่ยวกับปัญหา แก้ไข (v3): เพิ่มการสนทนาเกี่ยวกับระดับเกณฑ์ในตอนท้าย คำถาม คำถามนี้ส่วนใหญ่เป็นคำขออ้างอิง ฉันไม่รู้เกี่ยวกับปัญหามากนัก ฉันต้องการที่จะทราบว่ามีการทำงานก่อนหน้านี้เกี่ยวกับปัญหานี้หรือไม่และถ้าเป็นเช่นนั้นใครสามารถชี้ให้ฉันไปที่เอกสารใด ๆ ที่พูดถึงปัญหานี้ได้หรือไม่? ฉันยังต้องการที่จะรู้ว่าขอบเขตที่ดีที่สุดในปัจจุบันที่มีการศึกษาระดับปริญญาโดยประมาณของ 0 ข้อมูลอื่นใดก็จะได้รับการชื่นชมเช่นข้อมูลทางประวัติศาสตร์แรงจูงใจความสัมพันธ์กับปัญหาอื่น ๆ เป็นต้นAC0AC0\textrm{AC}^0 คำนิยาม ให้เป็นฟังก์ชั่นบูลีน ให้เป็นพหุนามเหนือตัวแปรถึงด้วยสัมประสิทธิ์จริง ระดับพหุนามเป็นระดับสูงสุดของ monomials ทั้งหมด ระดับของ monomial คือผลรวมของเลขชี้กำลังของต่างๆที่ปรากฏใน monomial นั้น ยกตัวอย่างเช่น9f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}pppx1x1x_1xnxnx_nxixix_ideg(x71x23)=9deg(x17x32)=9\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9 พหุนามมีการกล่าวถึง -approximateถ้าสำหรับทุกxศึกษาระดับปริญญา -approximate ของฟังก์ชั่นแบบบูล , แสดงเป็นเป็นระดับต่ำสุดของพหุนามว่า -approximates ฉสำหรับชุดของฟังก์ชั่น ,เป็นระดับต่ำสุดเช่นนั้นทุกฟังก์ชันในสามารถ -approximated โดยพหุนามขององศาที่ที่สุดpppϵϵ\epsilonfff|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)-p(x)|<\epsilonxxxϵϵ\epsilonfffdeg˜ϵ(f)deg~ϵ(f)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)ϵϵ\epsilonfffFFFdeg˜ϵ(F)deg~ϵ(F)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)dddFFFϵϵ\epsilonddd. โปรดทราบว่าทุกฟังก์ชั่นสามารถแสดงได้โดยไม่มีข้อผิดพลาดโดยดีกรีพหุนามฟังก์ชั่นบางอย่างต้องใช้พหุนามดีกรีเพื่อประมาณค่าความผิดพลาดคงที่ ความเท่าเทียมกันเป็นตัวอย่างของฟังก์ชั่นดังกล่าวnnnnnn คำชี้แจงปัญหา คืออะไร ? (ค่าคงที่ …

24 cc.complexity-theory  reference-request  circuit-complexity  polynomials 

พหุนามคือการฉายภาพเดียวของพหุนามถ้า = polyและมีการกำหนด เช่นว่า(y_m)) นั่นคือมันเป็นไปได้ที่จะเข้ามาแทนที่ตัวแปรแต่ละของโดยตัวแปรหรือคงที่หรือเพื่อให้ส่งผลให้สอดคล้องกับพหุนามฉ g ( y 1 , … , y m ) m ( n ) π : { y 1 , … , y m } → { x 1 , … , x n , 0 , 1 } f ( x 1 , …

23 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  arithmetic-circuits