คำถามเกี่ยวกับการขยายเชิงเส้นของคำสั่งบางส่วน

หากคุณได้รับคอลเลกชันของคำสั่งบางส่วนการเรียงโทโพโลยีจะบอกคุณว่ามีการขยายคอลเลกชันไปยังคำสั่งซื้อทั้งหมด (ส่วนขยายในกรณีนี้คือคำสั่งซื้อทั้งหมดที่สอดคล้องกับคำสั่งซื้อบางส่วน)

ฉันเจอความแตกต่าง:

แก้ไขชุดVคุณได้ลำดับดังนี้ขององค์ประกอบที่ดึงมาจากโดยไม่มีการทำซ้ำ (ลำดับจะมีความยาวระหว่าง 1 ถึง ) $V$ $\sigma_1, \ldots \sigma_k$ $V$ $|V|$

มีวิธีในการแก้ไขการวางแนวสำหรับแต่ละลำดับ (ไม่ว่าจะไปข้างหน้าหรือย้อนกลับ) เพื่อให้คอลเลกชันของโซ่ที่เกิดขึ้น (ดูเป็นคำสั่งบางส่วน) ยอมรับการขยาย?

ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันดีหรือไม่?

หมายเหตุ:การวางแนวถูกเลือกสำหรับลำดับทั้งหมด ดังนั้นถ้าลำดับคือคุณสามารถเก็บมันไว้แบบนั้นหรือพลิกมันเป็นแต่คุณไม่สามารถทำอะไรได้อีก $1-2-4-5$ $5-4-2-1$

ds.algorithms reference-request order-theory

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

หากแต่ละซีเควนซ์มีความยาว

ดังนั้นเราสามารถคิดว่าแต่ละลำดับเป็นขอบที่ไม่ได้บอกทิศทางและเรากำลังถามว่ากราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางนั้นสามารถที่จะเป็น DAG - iff ได้หรือไม่ถ้าไม่มีวัฏจักร แต่อัลกอริทึมโลภก็ใช้งานได้เช่นกัน เริ่มต้นด้วยขอบและปรับทิศทางโดยพลการและดำเนินต่อไปตราบเท่าที่คุณสามารถทำได้และหากคุณติดขัดคุณก็รู้ว่ามันเป็นไปไม่ได้ คุณลองใช้รูปแบบของคุณหรือไม่ ดูเหมือนว่ามันอาจทำงานได้

2

$2$

— จันทรา Chekuri

เอ้อ, กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางทั้งหมดสามารถวางเป็น DAG ได้ เพียงแค่เลือกลำดับของจุดยอดและใช้ลำดับนั้นเพื่อจัดแนวขอบ

— David Eppstein

คุณพูดถูกฉันไม่ได้คิดอะไร

— จันทรา Chekuri

ในการเปลี่ยนแปลงของฉันแต่ละลำดับมีความยาว 4 ดังนั้นคำตอบของ Yury ก็เริ่มด้วยความหวังเดียวของฉัน ณ จุดนี้คือลำดับที่มีโครงสร้างพิเศษมากและเกี่ยวข้องกัน แต่ไม่มีค้อนทั่วไป

— Suresh Venkat

$u$ $v$ $w$

อัลกอริทึมการประมาณที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับปัญหาโดย Chor และซูดานตรงตาม 1/2 ของข้อ จำกัด ทั้งหมดหากอินสแตนซ์เป็นที่พอใจอย่างสมบูรณ์

[1] J. Opantry ปัญหาการสั่งซื้อทั้งหมด, วารสาร SIAM เกี่ยวกับการคำนวณ , 8 (1): 111—114, ก.พ. 1979

[2] B. Chor และ M. Sudan วิธีการทางเรขาคณิตเพื่อการอยู่ร่วมกันวารสาร SIAM ในคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง, 11 (4): 511-523, พฤศจิกายน 1998

การแก้ไข:ชี้แจงว่าเวอร์ชันการตัดสินใจของปัญหานั้นเป็นปัญหาแบบ NP-hard

— Yury
แหล่งที่มา

Yury นั่นหมายความว่าปัญหาการตัดสินใจว่าข้อ จำกัด ทั้งหมดสามารถทำได้หรือไม่?

— จันทรา Chekuri

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

1 - ϵ

$1-\epsilon$

1 / 3

$1/3$

1 / 3 + ε

$1/3+ \varepsilon$

O P T = 1 - ε

$OPT = 1 -\varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

| σ_{i} | = 3

$|\sigma_i| =3$

i

$i$

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

σ_{i}^{'}

$\sigma_i'$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

I^{'}

${\cal I}'$

V \cup {y_{i}}

$V \cup\{y_i\}$

{σ_{i}^{'}}

$\{\sigma_i'\}$

I^{'}

${\cal I}'$

I

${\cal I}$

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

V

$V$

V

$V$

σ_{i}

$\sigma_i$

{y_{i}}

$\{y_i\}$