การทำความเข้าใจหลักฐานการออกแบบกลไก

ฉันได้ดิ้นรนกับรายละเอียดทางเทคนิคของการพิสูจน์เกี่ยวกับทฤษฎีการประมูลในเอกสารนี้: http://users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

ทฤษฎีบท 2.5 โดยเฉพาะ: เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับกลไกที่เป็นความจริง

ยิ่งไปกว่านั้นโดยเฉพาะทิศทางไปข้างหน้าของการพิสูจน์ที่ให้ไว้ในหน้า 6 การกำหนดค่าตามความจริงเป็น $v_i$และค่าทั่วไปอาจเป็นเท็จ (เช่นการเสนอราคา) เป็น $b_i$ผู้เขียนยังคงยืนยันสองปริมาณเพิ่มเติม $z_1$ และ $z_2$.

จากนั้นเขาก็กำหนดว่า $v_i = z_1$, $b_i = z_2$ซึ่งให้ความไม่เสมอภาคบนพื้นฐานของงานก่อนหน้าของกระดาษ

เขายังกำหนดว่า $v_i = z_2$, $b_i = z_1$ซึ่งให้ความแตกต่างที่คล้ายกัน แต่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับงานก่อนหน้าของกระดาษ

โอเคยุติธรรมพอ จากนั้นเขาก็ลบความไม่เท่าเทียมกันอันหนึ่งออกจากอีกอันหนึ่งและหาวิธีทำให้ได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการบนพื้นฐานของพีชคณิตที่เป็นผลสืบเนื่อง ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมการลบนั้นเป็นธรรม - เขาดูเหมือนว่าจะลบความไม่เท่าเทียมกันสองข้อที่อยู่บนสมมติฐานที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง (ในความเป็นจริงตรงกันข้าม) และทุกครั้งที่ฉันเห็นมัน

ฉันค่อนข้างมั่นใจว่าฉันเห็นวิธีการพื้นฐานนี้ (หนังสือของ Shoham และ Leyton-Brown หรือไม่ฉันไม่ได้เข้าไปใกล้เพื่อตรวจสอบ) ดังนั้นมันจึงเป็นความคิดทั่วไป แต่ฉันไม่สามารถผ่านมันไปได้ ใครช่วยให้ฉันเข้าใจว่าทำไมถึงถูกต้องหรืออธิบายให้ฉันสิ่งที่ฉันหายไป?

(ฉันพยายามพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ต้องการโดยสมมติว่ามีค่าสามค่า - ค่าจริง $v_i$และสองการเสนอราคา $b_1$ และ $b_2$- เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ แต่ก็ล้มเหลวเช่นกัน ดังนั้นจึงอาจไม่เพียง แต่เป็นเรื่องปกติ แต่จำเป็นต้องทำตามวิธีของผู้เขียน แต่ฉันก็ยังไม่เข้าใจ)

UPDATE: ผมรู้ว่าผมเคยเห็นบางสิ่งบางอย่างที่คล้ายกันในโชฮัมและเลย์ตันสีน้ำตาลของหนังสือ มันไม่เหมือนกันทุกประการ แต่มันคล้ายกันมากและเกี่ยวข้องกับสมการและหัวเรื่องเดียวกัน มันเป็นกรณีที่ 1 ของทฤษฎีบท 10.4.3

เริ่มต้นจากบริบทของกลไกที่เป็นความจริงพวกเขาแรกถือว่าเป็นความจริง $v_i$ และเป็นเท็จ $v_i'$ และได้รับการชำระเงินตาม $v_i$ น้อยกว่าหรือเท่ากับการชำระเงินตาม $v_i'$, เช่น, $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$. จากนั้นพวกเขาจะถือว่าตรงกันข้าม$v_i'$ และเป็นเท็จ $v_i$และได้ผลลัพธ์ที่ตรงข้ามกับการชำระเงินตาม $v_i'$ น้อยกว่าการชำระเงินตาม $v_i$, เช่น, $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$. โอเคนั่นสมเหตุสมผลแล้ว

พวกเขาถือได้ว่าการชำระเงินตาม $v_i$ และ $v_i'$ จะต้องเท่าเทียมกันราวกับว่าพวกเขากำลังพูดอย่างนั้น $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$ และ $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$ เป็นความจริงในเวลาเดียวกันแม้ว่าพวกเขาจะเป็นผลมาจากการไม่เพียง แต่แตกต่างกัน แต่เป็นข้อสมมุติที่ตรงกันข้าม

คำตอบก็คือกลไกจะต้องเป็นจริงสำหรับทุกประเภทที่เป็นไปได้: กลไกไม่ทราบว่าเป็นประเภทจริงล่วงหน้า ดังนั้นสำหรับคู่ประเภท$v_i$ และ $v_i'$กลไกจะต้องเป็นจริงถ้าประเภทที่แท้จริงของตัวแทนคือ $v_i$: เช่นยูทิลิตี้ของเขาจะต้องมากกว่าถ้าเขาเสนอราคา $v_i$ กว่าถ้าเขาเสนอราคา $v_i'$. แต่กลไกนั้นจะต้องเป็นจริงถ้าประเภทที่แท้จริงของตัวแทนคือ$v_i'$! ท้ายที่สุดเท่าที่กลไกเกี่ยวข้องอาจเป็นได้! ดังนั้นในกรณีนี้ยูทิลิตี้ของตัวแทนจะต้องมากกว่าถ้าเขาเสนอราคา$v_i'$ เมื่อเทียบกับ $v_i$.

ประเด็นก็คือว่าความจริงกำหนดความไม่เท่าเทียมกันที่แตกต่างกันมากมายในกลไกเดียวกันพร้อมกัน: หนึ่งสำหรับตัวแทนทุกประเภทอาจมีและสำหรับการเบี่ยงเบนทุกเขาอาจพิจารณา พวกเขาทั้งหมดถือ หลักฐานนี้ใช้ความไม่เท่าเทียมกันเพียงสองข้อเท่านั้น

ฉันคิดว่าสิ่งที่คุณต้องการคือข้อเสนอดังต่อไปนี้

เรื่อง ปล่อย$V$ และ $A$ตั้งค่า ปล่อย$f:V^n\to A$ และ $p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$. สมมติว่าสำหรับทุกคน$i,x_i,y_i,v_{−i}$ เรามี

$$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$$ จากนั้นทั้งหมด $i,v_i,v'_i,v_{-i}$ เรามี $$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$$

พิสูจน์ วาง$x_i=v_i$ และ $y_i=v'_i$ เรามี

$$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$$ วาง $x_i=v_i$ และ $y_i=v'_i$ เรามี $$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$$ ผลลัพธ์จะตามมาด้วยการเพิ่มความไม่เท่าเทียมกันและจัดเรียงใหม่

การตีความการออกแบบกลไกของข้อเสนอนี้คือกลไกที่เข้ากันได้ทุกแรงจูงใจ (เช่นการพิสูจน์กลยุทธ์

ด้วยเหตุผลบางอย่างมันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะโต้แย้งโดยอ้างถึงการเสนอราคาจริงและการโกหก ในบริบทนี้ "จริง" และ "โกหก" เป็นเพียงชื่อตัวแปรเช่น "x" และ "y" มันเป็นเรื่องปกติที่จะใช้ชื่อเดียวกันเพื่ออ้างถึงสิ่งต่าง ๆ ในการโต้แย้งแยกกันเพราะไม่มีความแตกต่างอย่างเป็นทางการระหว่างการเสนอราคาจริงและการโกหก