การรวมศูนย์เป็นศูนย์หมายความว่าศูนย์คู่มีช่องว่างสำหรับปัญหาบางอย่างหรือไม่?

เรารู้ว่าหากช่องว่างระหว่างค่าของโปรแกรมเลขจำนวนเต็มและคู่ ("ช่องว่างคู่") เป็นศูนย์ดังนั้นการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นของโปรแกรมจำนวนเต็มและการผ่อนคลายแบบคู่ทั้งคู่ยอมรับวิธีแก้ปัญหาแบบอินทิกรัล ช่องว่าง ") ฉันต้องการที่จะทราบว่าการสนทนาถืออย่างน้อยในบางกรณี

สมมติว่าฉันมีโปรแกรมจำนวนเต็ม 0-1โดยที่เมทริกซ์เป็นเมทริกซ์สมมติว่าการโปรแกรมเชิงเส้นผ่อนคลายของมีวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด การโปรแกรมเชิงเส้นคู่ของยังยอมรับการแก้ปัญหาที่สำคัญหรือไม่?$P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}$$A$$0-1$$P'$$P$$P'$

ฉันขอขอบคุณตัวอย่างเคาน์เตอร์หรือพอยน์เตอร์ใด ๆ ..

นี่คืออินสแตนซ์ที่อาจใกล้เคียงกับตัวอย่างตัวอย่างของการอ้างสิทธิ์

พิจารณา LP และคู่ P ' = นาที{ 1 T Y + 1 T Z | A T y + z ≥ 1 , y ≥ 0 , z ≥ 0 }สำหรับเมทริกซ์ 12 × $P = \max \{ 1^T x \,|\, Ax \leq 1, x \leq 1, x \geq 0\}$$P' = \min \{1^Ty + 1^Tz ~|~ A^Ty + z \geq 1, ~y \geq 0, z \geq 0 \}$$12 \times 6$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$

ทางออกที่ดีที่สุดของจะได้รับโดยปี1 = Y 2 = Y 12 = 1 (ตัวแปรอื่น ๆ ทั้งหมดเป็นศูนย์) มีค่าฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ของ3 ทางออกที่ดีที่สุดของPจะได้รับจากเวกเตอร์x = [ 0.5 0.5 0 1 0.5 0.5 ] T หากคุณแก้ปัญหาPเป็นโปรแกรมจำนวนเต็มค่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ดีที่สุดคือ2เท่านั้นและx = [ 1 0 0 1 $P'$$y_1=y_2=y_{12}=1$$3$$P$$x = [0.5~0.5~0~1~0.5~0.5]^T$$P$$2$ เป็นทางออกที่ดีที่สุด$x = [1~0~0~1~0~0]$

ในการสรุปแผ่นเสียงมีทางออกที่ดีที่สุดหนึ่ง แต่คู่, Pไม่ได้มีทางออกที่ดีที่สุดหนึ่ง บทบาทอันดับสองถูกย้อนกลับจากการตั้งค่าที่ Ankur ต้องการ แต่ด้วยลักษณะของ LP duality อินสแตนซ์นี้อาจยังถือว่าเป็นตัวอย่างที่ขัดแย้งกับคำแถลงทั่วไปของการอ้างสิทธิ์ดั้งเดิม$P'$$P$