ค่าสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์เชิงเส้นอิสระ

คุณสมบัติพื้นฐานของเวกเตอร์สเปซคือเวกเตอร์สเปซของมิติn - dสามารถกำหนดได้โดยdข้อ จำกัด เชิงเส้นอิสระเชิงเส้น - นั่นคือมีเวกเตอร์อิสระdเชิงเส้นw 1 , … , w d ∈ F n 2ที่ตั้งฉากกับV$V \subseteq \mathbb{F}_2^n$$n-d$$d$$d$$w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^n$$V$

จากมุมมองของฟูริเยร์นี้จะเทียบเท่ากับบอกว่าตัวบ่งชี้ที่ฟังก์ชั่นของVได้วันที่ linearly อิสระที่ไม่ใช่ศูนย์สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ โปรดทราบว่า1 Vมีค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ที่ไม่ใช่ศูนย์รวมอยู่2 dแต่มีเพียงdเท่านั้นที่มีความเป็นอิสระเชิงเส้น$1_V$$V$$d$ $1_V$$2^d$$d$

ฉันกำลังมองหาเวอร์ชั่นโดยประมาณของคุณสมบัติของช่องว่างเวกเตอร์ โดยเฉพาะฉันกำลังมองหาคำสั่งของแบบฟอร์มต่อไปนี้:

Let จะมีขนาด2 n - d จากนั้นฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้ที่1 Sมีที่มากที่สุดd ⋅ ล็อก( 1 / ε ) linearly อิสระสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ที่มีค่าที่แน่นอนอย่างน้อยε$S \subseteq \mathbb{F}_2^n$$2^{n-d}$$1_S$$d\cdot\log(1/\varepsilon)$ $\varepsilon$

คำถามนี้สามารถดูได้จากมุมมอง "โครงสร้างกับการสุ่ม" - โดยสังหรณ์ใจการกล่าวอ้างดังกล่าวบอกว่าทุกชุดใหญ่สามารถย่อยสลายเป็นผลรวมของปริภูมิเวกเตอร์และชุดลำเอียงขนาดเล็ก เป็นที่ทราบกันดีว่าทุกฟังก์ชั่นสามารถแยกย่อยเป็น "ส่วนเชิงเส้น" ซึ่งมีค่าp o l y ( 1 / ε )ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ขนาดใหญ่และ "ส่วนเทียมหลอก" ที่มีอคติเล็ก ๆ . คำถามของฉันถามว่าส่วนเชิงเส้นมีจำนวนลอการิทึมสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ที่เป็นเชิงเส้นเท่านั้นหรือไม่$f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2$$\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$

ไม่ใช่ตัวอย่างต่อไปนี้ใช่หรือไม่

$f(x)$$x_1, \ldots, x_{1/\epsilon^2}$$2^n/2$$d = 1$$\hat{f}(\{i\}) = \Theta(\epsilon)$$1 \le i \le 1/\epsilon^2$$1/\epsilon^2$ ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ขนาดใหญ่เชิงเส้นเป็นอิสระ

บางทีคุณอาจต้องการสิ่งที่บางครั้งเรียกว่า "Chang's Lemma" หรือ "Talagrand's Lemma" ... เรียกว่า "Level-1 Inequality" ที่นี่: http://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885

$1_S$$2^{-d}$$\gamma 2^{-d}$$O(d/\gamma^2)$$F_2$