มันเป็นไปได้ที่จะใช้ข้อ จำกัด แบบสุ่มเพื่อให้ได้ต่ำกว่ามุ่ง

มีหลายที่รู้จักกันดีผลขนาดวงจรที่ต่ำกว่าที่ถูกผูกไว้ขึ้นอยู่กับข้อ จำกัด แบบสุ่มและการสลับแทรก $\mathsf{AC^0}$

เราสามารถพัฒนาผลการสลับเลมม่าเพื่อพิสูจน์ขนาดขอบเขตล่างสำหรับวงจร $\mathsf{TC^0}$ (คล้ายกับบทพิสูจน์ขอบเขตล่างสำหรับ $\mathsf{AC^0}$ ) ได้หรือไม่?

หรือมีอุปสรรคใด ๆ ที่จะใช้วิธีนี้เพื่อพิสูจน์ $\mathsf{TC^0}$ ขอบเขตล่าง?

ทำผลอุปสรรคเช่นพิสูจน์ธรรมชาติพูดอะไรเกี่ยวกับการใช้การสลับแทรกเช่นเทคนิคในการพิสูจน์ $\mathsf{TC^0}$ ต่ำกว่าขอบเขต?

— Jeigh
แหล่งที่มา

คุณคุ้นเคยกับหลักฐานการเปลี่ยนบทแทรกสำหรับ

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$ หรือไม่?

— Kaveh

ฉันอ่านบทขอบเขตล่างของหนังสือเรียนของ Arora ประการแรกเปลี่ยน cirtuit ความลึกคงที่ใด ๆ ให้เป็นวงจรโดยไม่มีประตูที่ไม่มีเลเยอร์ AND-OR interleaving และอันดับที่สองโดยใช้สวิตช์เล็มม่าสลับเลเยอร์นี้สองชั้นสุดท้ายเราจะได้วงจรด้านบน ดังนั้นเราจึงสามารถตัดการ cicuit ของชั้นหนึ่ง, ลดความลึกของวงจร

— Jeigh

อย่างไรก็ตามมันไม่ง่ายกว่ากรณีบูลีนที่จะสังเกตเห็นเอาต์พุตของเกตเมื่อเราแก้ไขค่าอินพุตหลายค่า (ในกรณีบูลีนที่เราแก้ไขเกี่ยวกับสแควร์รูท n อินพุต) และประตูและหรือประตูเป็นรุ่นที่มากที่สุดของประตู threshhold และง่ายมากที่จะสังเกตเห็นอิทธิพลของข้อ จำกัด

— Jeigh

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

\land

$\land$

\lor

$\lor$

\mod p

$\mod p$

\mod p

$\mod p$

โปรดทราบว่าข้อ จำกัด แบบสุ่มและการสลับเล็มม่าเป็นหนึ่งในตัวอย่างสำคัญของการพิสูจน์ตามธรรมชาติ ไม่ว่าในกรณีใดหวังว่าผู้เชี่ยวชาญด้านความซับซ้อนของวงจรจะโพสต์คำตอบที่ครอบคลุมมากขึ้น ps: ฉันใช้เสรีภาพในการเขียนคำถามใหม่คุณสามารถย้อนกลับได้ถ้าคุณไม่ชอบการแก้ไขของฉัน

— Kaveh

คำตอบ:

เป็นไปได้จริงที่จะใช้ประโยชน์จากข้อ จำกัด แบบสุ่มเพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับวงจรขีด จำกัด

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการแลกเปลี่ยนขนาดความลึกสำหรับวงจร Threshold , Impagliazzo, Paturi และ Saks ใช้ข้อ จำกัด แบบสุ่มเพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่า (ตามจำนวนสาย) สำหรับวงจรเกณฑ์ความลึกคงที่ที่คำนวณฟังก์ชันพาริตี้

เกี่ยวกับการพิสูจน์ขอบเขตล่าง superpolynomial สำหรับ วงจรแล้วใช่แนวคิดหลักฐานที่เป็นธรรมชาติของความเกี่ยวข้องเนื่องจากมีการก่อสร้างของสุ่มหลอกปั่นไฟฟังก์ชั่นใน 0 $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{TC}^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
แหล่งที่มา

ดูเอกสารล่าสุดของ Daniel Kane และ Ryan Williams, Super-Linear Gate และ Super-Quadratic Wire Lower Bounds สำหรับ Depth-2 และ Depth-3 Threshold Circuits (STOC 2016)

Ryan อธิบายกระดาษดังนี้ (คำอธิบายต่อไปนี้นำมาจากหน้าแรกของเขา):

เราให้ฟังก์ชั่นที่ชัดเจนในซึ่งส่วนใหญ่ทุกความลึกสองวงจรเกณฑ์เชิงเส้น (มีน้ำหนักมากมาย) ความต้องการเกี่ยวกับประตูและสายพร้อมกัน นอกจากนี้เรายังแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นของ Andreev (คำนวณโดยวงจรความลึกสามส่วนใหญ่ของขนาด ) ต้องการประมาณเกทและลวดล่างเดียวกันเพื่อคำนวณด้วยวงจรเชิงเส้นลึกสองเส้น เครื่องมือสำคัญคือ Littlewood-Offord Lemma ซึ่งเราใช้ในการวิเคราะห์ผลกระทบของข้อ จำกัด แบบสุ่มต่ออินพุตของวงจรขีด จำกัด ความลึกต่ำ $\mathsf{PP}$ $n^{1.5}$ $n^{2.5}$ $O(n)$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา