กรณีที่เลวร้ายที่สุดของอัลกอริธึมการหาตำแหน่งแบบสามเหลี่ยม delaunay ที่เพิ่มขึ้นแบบสุ่มคืออะไร

ฉันรู้ว่ารันไทม์กรณีเลวร้ายที่สุดที่คาดหวังของอัลกอริทึม triangulation delaunay ที่เพิ่มขึ้นแบบสุ่ม (ตามที่ระบุในComputational Geometry ) คือ $\mathcal O(n \log n)$ . มีแบบฝึกหัดซึ่งแสดงถึง runtime-case ที่แย่ที่สุดคือ $\Omega(n^2)$ . ฉันพยายามสร้างตัวอย่างซึ่งเป็นจริงในกรณีนี้ แต่ยังไม่ประสบความสำเร็จ

หนึ่งในความพยายามเหล่านั้นคือการจัดเรียงและสั่งซื้อจุดที่กำหนดในลักษณะเช่นนั้นเมื่อเพิ่มจุด $p_r$ ในขั้นตอน $r$ ประมาณ $r-1$ ขอบถูกสร้างขึ้น

วิธีการอื่นอาจเกี่ยวข้องกับโครงสร้างตำแหน่งจุด: พยายามจัดเรียงจุดต่าง ๆ เช่นเส้นทางที่ใช้ในโครงสร้างตำแหน่งจุดเพื่อค้นหาตำแหน่ง $p_r$ ในขั้นตอน $r$ นานที่สุด

ถึงกระนั้นฉันไม่แน่ใจว่าวิธีการใดในสองวิธีนี้ถูกต้อง (ถ้าเลย) และจะดีใจสำหรับคำแนะนำบางอย่าง

— Tedil
แหล่งที่มา

ลองวางจุดทั้งหมดบนเส้นโค้ง

y = x^{r}

$y = x^r$ สำหรับบางอย่างที่เลือก

r

$r$ .

— Peter Shor

วิธีแรกสามารถทำเป็นระเบียบได้ดังนี้

ปล่อย $P$ เป็นชุดโดยพลการของ $n$ คะแนนในสาขาบวกของพาราโบลา $y=x^2$ ; นั่นคือ,

P = {(t_{1}, t_{1}^{2}), (t_{2}, t_{2}^{2}), \dots, (t_{n}, t_{n}^{2})}

$P = \{ (t_1, t_1^2), (t_2, t_2^2), \dots, (t_n, t_n^2) \}$ สำหรับจำนวนจริงที่เป็นบวก

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

$t_1, t_2, \dots, t_n$ . โดยไม่สูญเสียความคิดทั่วไปถือว่าคะแนนเหล่านี้ได้รับการจัดทำดัชนีตามลำดับที่เพิ่มขึ้น:

0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}

$0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ .

อ้างสิทธิ์: ในรูปสามเหลี่ยมของ Delaunay $P$ จุดซ้ายสุด $(t_1, t_1^2)$ เป็นเพื่อนบ้านของทุก ๆ จุด $P$ .

การอ้างสิทธิ์นี้แสดงถึงการเพิ่มจุดใหม่ $(t_0, t_0^2)$ ถึง $P$ กับ $0 < t_0 < t_1$ เพิ่ม $n$ ขอบใหม่ของการหาสามเหลี่ยม Delaunay ดังนั้นถ้าเราทำสัญญาแบบสามเหลี่ยม Delaunay ของ $P$ โดยการใส่จุดตามลำดับจากขวาไปซ้ายจำนวนรวมของ Delaunay edge ที่สร้างขึ้นคือ $\Omega(n^2)$ .

เราสามารถพิสูจน์ข้อเรียกร้องได้ดังนี้ สำหรับคุณค่าที่แท้จริงใด ๆ $0<a<b<c$ , ปล่อย $C(a,b,c)$ แสดงถึงวงกลมที่ไม่ซ้ำกันผ่านจุด $(a,a^2), (b,b^2), (c,c^2)$ .

แทรก: $C(a,b,c)$ ไม่มีจุดใด ๆ $(t,t^2)$ ที่ไหน $a<t<b$ หรือ $c<t$ .

พิสูจน์:จำได้ว่าสี่คะแนน $(a,b), (c,d), (e,f), (g,h)$ เป็น cocircular ถ้าและเฉพาะในกรณีที่

| \begin{matrix} 1 & a & b & a^{2} + b^{2} \\ 1 & c & d & c^{2} + d^{2} \\ 1 & e & f & e^{2} + f^{2} \\ 1 & g & h & g^{2} + h^{2} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & b & a^2 + b^2 \\ 1 & c & d & c^2 + d^2 \\ 1 & e & f & e^2 + f^2 \\ 1 & g & h & g^2 + h^2 \\ \end{vmatrix} = 0$ ดังนั้นประเด็น

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ อยู่บนวงกลม

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ ถ้าและเพียงถ้า

| \begin{matrix} 1 & a & a^{2} & a^{2} + a^{4} \\ 1 & b & b^{2} & b^{2} + b^{4} \\ 1 & c & c^{2} & c^{2} + c^{4} \\ 1 & t & t^{2} & t^{2} + t^{4} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^2 + a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^2 + b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^2 + c^4 \\ 1 & t & t^2 & t^2 + t^4 \\ \end{vmatrix} = 0$ มันไม่ยาก (เช่นขอให้ Wolfram Alpha) ขยายและแยกตัวประกอบ

4 \times 4

$4\times4$ ปัจจัยในรูปแบบต่อไปนี้:

\begin{matrix} (*) & (a - b) (a - c) (b - c) (a - t) (b - t) (c - t) (a + b + c + t) = 0 \end{matrix}

$(a-b)(a-c)(b-c)(a-t)(b-t)(c-t)(a+b+c+t) = 0 \tag{$*$}$ ดังนั้น,

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ ตั้งอยู่บน

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ ถ้าและเพียงถ้า

t = a

$t=a$ ,

t = b

$t=b$ ,

t = c

$t=c$ , หรือ

t = - a - b - c < 0

$t=-a-b-c < 0$ . ยิ่งกว่านั้นเพราะ

0 < a < b < c

$0<a<b<c$ รากทั้งสี่นี้แตกต่างอย่างชัดเจนซึ่งหมายความว่าพาราโบลาข้ามจริง ๆ

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ ที่จุดสี่เหล่านั้น มันติดตามว่า

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ อยู่ข้างใน

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ ถ้าและเพียงถ้า

- a - b - c < t < a

$-a-b-c<t<a$ หรือ

b < t < c

$b<t<c$ .

◻

$\qquad\Box$

— Jeffε
แหล่งที่มา

ขอบคุณแม้ว่าฉันจริง ๆ แล้วต้องการเพียงคำใบ้ (โดยไม่มีข้อพิสูจน์);

— Tedil