ปัญหา NP-hard บนต้นไม้

ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดหลายอย่างที่รู้จักกันว่า NP-hard บนกราฟทั่วไปสามารถแก้ไขได้เล็กน้อยในเวลาพหุนาม (บางครั้งในเวลาเชิงเส้น) เมื่อกราฟอินพุตเป็นต้นไม้ ตัวอย่าง ได้แก่ การครอบคลุมจุดยอดขั้นต่ำชุดอิสระสูงสุด ตั้งชื่อปัญหาการปรับให้เหมาะสมตามธรรมชาติซึ่งยังคงมีปัญหาอยู่บนต้นไม้

คุณสามารถค้นหา "ธรรมชาติ" และ "รู้จักกันดี" ตัวอย่างของปัญหากราฟที่ยากแม้ว่า จำกัด กับต้นไม้จากการอ้างอิงมาตรฐานของเรา ตัวอย่าง:

• อินทิกรัลk -การไหลของสิ่งของหลายชนิด
• ทรีย่อยฝังทั่วไป ,
• ทรีย่อยทั่วไป

(สิ่งเหล่านี้ได้รับการกำหนดว่าเป็นปัญหาต้นไม้ แต่คุณสามารถทำให้เป็นกราฟโดยพลการจากนั้นสูตรข้างต้นจะได้รับเป็นกรณีพิเศษเมื่อคุณ จำกัด การป้อนข้อมูลของคุณกับต้นไม้)

สูตรทั่วไปเพิ่มเติมสำหรับการสร้างปัญหาที่ยากบนต้นไม้: นำปัญหา NP-hard ใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับsupersequences , superstrings , สตริงย่อยฯลฯ จากนั้นตีความสตริงเป็นกราฟเส้นทางที่มีข้อความอีกครั้ง จากนั้นตั้งคำถามแบบอะนาล็อกสำหรับกราฟทั่วไป และเรารู้ว่าปัญหาคือปัญหา NP-hard แม้บนต้นไม้ (และบนเส้นทาง)

นอกจากนี้ยังมีปัญหามากมายที่ยากต่อการถ่วงน้ำหนักดาวโดยการลดจากปัญหาผลรวมย่อย ตัวอย่างธรรมชาติคือ:

• TSP กับสองนักเดินทาง : รับกราฟขอบถ่วงน้ำหนักและขีด จำกัดเราสามารถหาสองปิดเดินและในเช่นกันว่าการเดินเท้ามีน้ำหนักรวมที่มากที่สุดและโหนดของแต่ละถูกปกคลุมด้วยอย่างน้อยหนึ่ง เดิน?W C 1 C 2 G W $G$$W$$C_1$$C_2$$G$$W$$G$

อีกครั้งมันง่ายที่จะเกิดขึ้นกับรูปแบบของชุดรูปแบบ

มันเป็น NP-complete เพื่อตรวจสอบว่าต้นไม้สามารถฝังลงในตารางจำนวนเต็มสองมิติได้หรือไม่โดยมีจุดยอดต้นไม้วางอยู่บนจุดกริดที่แตกต่างกันและขอบต้นไม้วางอยู่บนขอบกริด

ดูเช่น Gregori, IPL 1989

ปัญหากลุ่มทิเนอร์เป็นตัวอย่างที่ดี การป้อนข้อมูลเพื่อแก้ไขปัญหานี้เป็นไม่มีทิศทางขอบถ่วงน้ำหนักกราฟและกลุ่ม k ของจุดS_k เป้าหมายคือการหาต้นไม้น้ำหนักขั้นต่ำที่มีจุดสุดยอดอย่างน้อยหนึ่งจุดจากแต่ละกลุ่ม มันง่ายที่จะเห็นว่าปัญหา Set Cover เป็นกรณีพิเศษแม้ว่า G เป็นดาว ดังนั้นปัญหาจึงยากที่จะประมาณภายในปัจจัยยกเว้น P = NP ยิ่งไปกว่านั้นมันก็แสดงให้เห็นว่า Halperin Krauthgamer และปัญหานั้นยากที่จะประมาณภายในปัจจัยสำหรับการแก้ไขเว้นเสียแต่ว่าจะมีการสุ่ม - กึ่งเวลา ดูกระดาษสำหรับคำสั่งที่แม่นยำ) มีS 1 , S 2 , … , S k O ( บันทึกn ) O ( บันทึก2 - ϵ n ) ϵ > 0 O ( บันทึก2 n $G=(V,E)$$S_1, S_2, \ldots, S_k$$O(\log n)$$O(\log^{2-\epsilon} n)$$\epsilon > 0$$O(\log^2 n)$ การประมาณต้นไม้โดย Garg, Konjevod และ Ravi

หนึ่งในปัญหาที่ยากที่สุดบนต้นไม้คือปัญหาแบนด์วิดธ์ขั้นต่ำ มันคือ -hard บนต้นไม้ที่มีระดับสูงสุด 3 และมันยังเป็น NP-hard ในหนอนผีเสื้อแบบวงกลมที่มีความยาวผม 1$NP$

อ้างอิง:

Michael R. Garey, Ronald L. Graham, David S.Johnson และ Donald E. Knuth ผลลัพธ์ที่ซับซ้อนสำหรับการลดแบนด์วิดท์ สยามเจปร. คณิตศาสตร์, 34 (3): 477-495, 1978

Burkhard Monien ปัญหาการย่อแบนด์วิดธ์สำหรับหนอนผีเสื้อที่มีความยาวขน 3 เป็นปัญหา NP SIAM J. วิธีการแยกเชิงพีชคณิต, 7 (4): 505-512, 1986

W. อังเกอร์ ความซับซ้อนของการประมาณปัญหาแบนด์วิดท์ ใน FOCS หน้า 82–91, 1998

ปัญหาหลายประการของขอบไม่สมดุลคือ: จากกราฟไม่ได้บอกทิศทาง, กลุ่มของจุดยอดคู่ของ , และจำนวนเต็มบวก , ค้นหาว่ามีเซตย่อยของที่มากที่สุดในซึ่งการลบตัดการเชื่อมต่อทุกคู่ของ จุดยอดในการรวบรวมG k S k $G$$G$$k$$S$$k$$G$

ปัญหานี้เป็น NP-ยาก (และ MAX SNP-ยาก) บนดาว [ 1 ]

[ 1 ] Garg, Vazirani และ Yannakakis อัลกอริธึมการประมาณค่าแบบสองเท่าสำหรับการไหลแบบอินทิกรัลและมัลติอเนกประสงค์ในต้นไม้อัลกอริทึม, 18 (1), หน้า 3-20, 1997

ปัญหานักดับเพลิงที่ได้รับจำนวนเงินที่ยุติธรรมของความสนใจเมื่อเร็ว ๆ นี้และเป็น (ค่อนข้างน่าแปลกใจ) NP-อย่างหนักเกี่ยวกับต้นไม้ในระดับสูงสุด 3 จริงๆแล้วมันเป็นคำถามที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติอธิบายดังนี้

ไฟแตกที่รากของต้นไม้ (หรือโดยทั่วไปคือจุดยอดที่ระบุในกราฟ) ในทุกขั้นตอนเจ้าหน้าที่ดับเพลิงจะปกป้องจุดสุดยอดที่ไม่ไหม้หนึ่งจุดหลังจากนั้นเวลาที่ไฟลุกลามไปยังเพื่อนบ้านที่ไม่มีการป้องกัน กระบวนการจะสิ้นสุดลงเมื่อไม่มีจุดสุดยอดที่ไม่มีการป้องกันติดกับไฟ มีกลยุทธ์สำหรับนักผจญเพลิงที่จุดยอดเผามากที่สุดหรือไม่?$k$

หรือรุ่นที่แตกต่างกันก็คือ NP-hard : มีกลยุทธ์สำหรับนักผจญเพลิงที่ไม่มีใบไม้ไหม้หรือไม่?

ปัญหาที่อาจคิดว่าจะไม่ยากบนต้นไม้ แต่เป็นปัญหาแท็กตรึงในเรขาคณิตการคำนวณ : สั้น ๆ ปัญหาของการกำหนดเวลาปลุกสำหรับหุ่นยนต์เริ่มต้นด้วยบอทตื่นตัวเดียวที่ทำให้panpanเป็นตัวชี้วัดต้นทุน

เป็นที่รู้กันว่า NP-hard ในกราฟรูปดาวที่มีน้ำหนัก อย่างไรก็ตามมันเปิดอยู่ไม่ว่าจะเป็นปัญหา NP-hard ในระนาบ อาจมีคนแย้งว่า NP-hardness นั้นไม่ได้มาจาก 'tree-ness' แต่มาจาก 'metric'-ness แต่จากกราฟของดาวจะให้คุณมีพื้นที่ จำกัด ในการวัด ..

$T$$V(T)$$k$$\phi: V(T)\to \{1,\ldots, k\}$$T$$i$$i+1$$K$$K$

$k$

การระบายสีด้วยจักรวรรดินั้นยากสำหรับต้นไม้

$r$$s$$G$$r$$(s, r)$$s$$\text{COL}_r$$G$$s$

$s$$\text{COL}_r$$s \in \{3,\ldots, 2r − 1\}$$s$

โฟลว์ในเครือข่ายไหลมารวมกันถ้ามันใช้อาร์คขาออกอย่างมากที่สุดที่แต่ละโหนด ความแข็งของ NP ในการกำหนดการไหลของไหลมารวมสูงสุดในต้นไม้ (ของเส้นผ่าศูนย์กลาง 4 ที่อนุญาตให้มีหลายอ่าง) ได้รับการพิสูจน์ใน: D. Dressler และ M. Strehler, กระแสไหลเวียนไหลมารวมกัน: ความซับซ้อนและอัลกอริทึม, LNCS 6078 (2010) 347-358 .

$TS$$T$$T_1\in TS$$T$$T_1$$T$

ปัญหาคือ NP-hard (อันที่จริงแล้วมันยากที่จะประมาณ) เฉพาะเมื่อต้นไม้อินพุตทั้งหมดมีระดับที่ไม่ จำกัด

การผสมสีของกราฟอย่างง่ายกลมกลืนเป็นสีจุดสุดยอดที่เหมาะสมซึ่งแต่ละคู่ของสีจะปรากฏขึ้นบนขอบหนึ่งขอบ จำนวนรงค์ของกราฟที่ประสานกันนั้นมีจำนวนสีน้อยที่สุดในการระบายสีที่กลมกลืนกันของกราฟ ปัญหาการหาจำนวนสามัคคีรงค์นี้ได้แสดงให้เห็นว่า NP-สมบูรณ์บนต้นไม้โดยเอ็ดเวิร์ดและ McDiarmid ในความเป็นจริงพวกเขายังแสดงให้เห็นว่าปัญหายังคงเป็นปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับต้นไม้รัศมี 3

$u$$u$

โปรดทราบว่าในปัญหา TSP ที่เกี่ยวข้อง (และมีชื่อเสียงมากกว่า) เป้าหมายคือการลดค่าสูงสุดให้น้อยที่สุดแทนที่จะใช้เวลาแฝงเฉลี่ย ฉันคิดว่า TRP โดยทั่วไปถือว่าเป็นปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น (อันที่จริง TSP อยู่ใน P สำหรับการวัดต้นไม้)

ความแข็งของ NP บนต้นไม้แสดงใน RA Sitters "ปัญหาความล่าช้าขั้นต่ำคือ NP-Hard สำหรับต้นไม้น้ำหนัก", ISCO 2002

กราฟมาตรฐานเป็นปัญหา NP-Complete บนต้นไม้ที่มีระดับสูงสุดสาม:

Fellows, Fertin, Hermelin และ Vialette, เส้นขอบความสามารถในการเข้าใจง่ายสำหรับการค้นหาลวดลายที่เชื่อมต่อกันในกราฟ Vertex-Colored หมายเหตุการบรรยายในวิทยาการคอมพิวเตอร์, 2007, เล่มที่ 4596/2007, 340-351

มีปัญหา (ทั่วไปมาก) ฉันได้ดูเป็นส่วนหนึ่งของโครงการ: ตัวแปรของปัญหานี้ยังคง NP - hard แม้ในกราฟที่มีสองจุดยอดและขอบเดียวและตัวแปรที่แตกต่างกันคือ NP - hard บนต้นไม้ เนื่องจากความแข็งของ NP ของตัวแปรแรกไม่ได้เกิดจากรูปร่างของกราฟอย่างที่สองจึงน่าสนใจกว่า

$S$$C$$G=(V,E)$$S \subset V$$C \subset V$$S \cap C = \emptyset$$s \in S$$|s|$$F$$f \in F$$|f|$$e \in E$$t_e$$R \subseteq C \times F$$(c,f) \in R$$c$$f$

$s \in S$$A_s$$\sum_{f \in A_s} |f| \leq |s|$$P_r$$G$$r = (c,f) \in R$$c$$s$$f \in A_s$$e$$D_e$$r = (c,f) \in D_e$$P_r$$e$$\sum_{(c,f) \in D_e}|f| \leq t_e$

หากคุณไม่ต้องการกำหนดเส้นทางการดาวน์โหลดทั้งหมด แต่พยายามเพิ่มผลรวมของขนาดไฟล์ของการดาวน์โหลดที่ถูกกำหนดเส้นทางสูงสุดคุณสามารถลดผลรวมย่อยของปัญหานี้ได้อย่างง่ายดาย: คุณมีเซิร์ฟเวอร์เดียวที่มีพื้นที่จำนวนมาก ไคลเอนต์เดียวที่เชื่อมต่อกับเซิร์ฟเวอร์ที่มีขอบที่มีความจุเท่ากับค่าเป้าหมายของอินสแตนซ์ของผลรวมย่อยและสำหรับทุกจำนวนเต็มในอินสแตนซ์ของผลรวมย่อยที่คุณสร้างไฟล์ที่มีขนาดเท่ากัน ลูกค้าจึงต้องการดาวน์โหลดไฟล์เหล่านี้ทั้งหมด

ตัวแปรที่น่าสนใจกว่าสำหรับคำถามนี้คือกรณีที่คุณพยายามลดจำนวนขอบที่เกินขีดความสามารถซึ่งอาจเป็นเครือข่ายที่เราใช้กับแบบจำลองสายอินเทอร์เน็ตข้ามมหาสมุทรแอตแลนติกและการเปลี่ยนสายเคเบิลนั้นมีค่าใช้จ่ายมาก ค่าใช้จ่ายในการอัพเกรดเป็นปัจจัยสองเร็วขึ้นและอัพเกรดเป็นปัจจัยสามเร็วขึ้นเล็กน้อย นอกจากนี้เรายังกล่าวว่าตำแหน่งของไฟล์บนเซิร์ฟเวอร์นั้นได้รับแล้วและไม่สามารถแก้ไขได้ดังนั้นเราจึงพิจารณาเฉพาะปัญหาการกำหนดเส้นทาง

$U$$S \subseteq P(U)$$u \in U$

$s \in S$$u \in s$$u$

แนวคิดคือไคลเอนต์ต้องการไฟล์ที่ไม่ซ้ำกันสำหรับกลุ่มเซิร์ฟเวอร์ทั้งหมดดังนั้นขอบที่เชื่อมต่อไคลเอนต์กับคลัสเตอร์เซิร์ฟเวอร์นั้นมีขีด จำกัด ของความจุ (ขีดความสามารถของพวกเขาคือ 1 ไฟล์มีขนาด 1) หากลูกค้าดาวน์โหลดองค์ประกอบใด ๆ ของจักรวาลจากคลัสเตอร์ใด ๆ ขอบที่เชื่อมต่อกับคลัสเตอร์นั้นจะโอเวอร์โหลด เนื่องจากเราเพียงต้องการลดจำนวนเกินพิกัด (และไม่เกินความสามารถของเรา) ลูกค้าสามารถดาวน์โหลดองค์ประกอบที่เหลือของเอกภพที่โฮสต์ในเซิร์ฟเวอร์คลัสเตอร์นั้น (ดังนั้นส่วนที่เหลือขององค์ประกอบย่อยที่สอดคล้องกัน) โดยไม่มีการลงโทษ สิ่งนี้จึงสอดคล้องกับชุดย่อยที่ถูกเลือก ลูกค้าต้องการดาวน์โหลดไฟล์ทั้งหมดในเอกภพหนึ่งครั้งดังนั้นเอกภพจะได้รับการคุ้มครองอย่างแท้จริงและเพื่อลดจำนวนขอบที่เกินพิกัดเราจำเป็นต้องลดจำนวนชุดย่อยที่เลือก

โปรดทราบว่าการก่อสร้างด้านบนให้ผลกราฟต้นไม้ดังนั้นมันจึงเป็นตัวอย่างของปัญหา NP-hard บนต้นไม้

ปัญหาการไหลที่ไม่สามารถทำได้ ในความเป็นจริง UFP นั้นยากแม้อยู่บนขอบเดียว (เป้)

$G(V, E)$$NP$

อย่างเป็นทางการปัญหาคือ:

ภาพกราฟิกแบบแบ่งส่วน

$T = (V,E)$

$\{E1,E2 \}$$E$$T1 = (V,E1)$$T2 = (V,E2)$

คอลัมน์ความสมบูรณ์แบบ NP อ้างถึงต้นฉบับที่ไม่ได้เผยแพร่ของเกรแฮมและโรบินสัน "การแยกตัวประกอบ Isomorphic IX: แม้แต่ต้นไม้"

DS Johnson คอลัมน์ NP-ครบถ้วน: คู่มืออย่างต่อเนื่อง, วารสารอัลกอริทึม 3 (1982), 288–300

อย่างใดฉันได้พลาดปัญหาหมายเลข Achromatic ในคำตอบสุดท้าย แต่นี่เป็นหนึ่งในปัญหาธรรมชาติที่ฉันรู้ซึ่งเป็นปัญหาที่สมบูรณ์บนต้นไม้

กราฟสีที่สมบูรณ์เป็นสีที่เหมาะสมซึ่งจะมีขอบระหว่างคลาสสีทุกคู่ สีสามารถระบุได้ตรงกันข้ามกับ Harmonious Colouring เนื่องจากเป็นสีที่เหมาะสมซึ่งแต่ละคู่ของสีจะปรากฏบนขอบอย่างน้อยหนึ่งขอบ นอกจากนี้ยังสามารถระบุได้ว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมที่สมบูรณ์ (หรือเต็ม) กับกลุ่ม ปัญหาหมายเลขไม่มีสีเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นสูงสุดที่เรามองหาจำนวนคลาสสีที่ใหญ่ที่สุดในกราฟสีที่สมบูรณ์

Yannakakis และ Gravil พิสูจน์แล้วว่าปัญหานี้จะเป็นรุ่น NP-อย่างหนักในการเติมเต็มของฝ่ายกราฟ Cairnie เอ็ดเวิร์ดและขยายผลที่และแสดงให้เห็นว่าเป็นปัญหาNP-สมบูรณ์บนต้นไม้

มีการทำงานจำนวนมากเกี่ยวกับปัญหานี้ในด้านอัลกอริทึมการประมาณ [ 3 , 4 , 5 ]

$n$$k$$\lceil\frac{n}{k}\rceil$

เป็น Circuit SAT บนต้นไม้ NPC หรือไม่ จุดยอดภายในต้นไม้ถูกระบุว่าเป็นประตู OR / AND ใบเป็นปัจจัยการผลิต ตรวจสอบว่ามีชุดอินพุตที่น่าพอใจสำหรับวงจรเพื่อประเมินเป็น True หรือไม่

ดูเหมือนว่าคุณสามารถแก้ไขจากล่างขึ้นบนได้ แต่ข้อ จำกัด ก็น่ารังเกียจเมื่อคุณเลื่อนขึ้นต้นไม้และประตู OR ต้องการการอย่างใดอย่างหนึ่ง$2^k - 1$