ความซับซ้อนของการนับเส้นทางในกราฟ

กำหนดกราฟกำกับด้วย n nodes ซึ่งแต่ละจุดยอดมีขอบออกสองด้านและจำนวนธรรมชาติ N เข้ารหัสในเลขฐานสองจุดยอดสองจุด s และ t

ฉันต้องการนับจำนวนเส้นทาง (ไม่จำเป็นต้องง่าย) จาก s ถึง t ภายใน N step

นี่เป็นปัญหา # P-hard หรือไม่ หรือโดยทั่วไปความซับซ้อนของปัญหานี้คืออะไร

cc.complexity-theory graph-theory counting-complexity

— Maomao
แหล่งที่มา

คุณลองเมทริกซ์เปิดเครื่องไหม?

— Yuval Filmus

ใช่ แต่ความซับซ้อนยังไม่เป็นที่รู้จักเท่าที่ฉันเห็น

— maomao

การเดินต้องจบที่ t หรือเพียงแค่ไปที่จุดใดจุดหนึ่งในการเดินหรือไม่?

— Tyson Williams

มันจะต้องจบลงที่ t

— maomao

s \neq t

$s \ne t$

คำตอบ:

$\Omega(2^N/n)$ $s$ $t$ $2^N$ $s$ $\Omega(N)$ บิตที่จะเขียนลงอย่างชัดเจน นี่เป็นเลขชี้กำลังในขนาดอินพุต ในอีกทางหนึ่งวิธีการจ่ายไฟแบบแมทริกซ์มีพหุนามความซับซ้อนในผลรวมของขนาดอินพุตและเอาต์พุต ดังนั้นดูเหมือนว่าจะอยู่ในระดับของปัญหาการนับที่มีเอาต์พุตขนาดเอ็กซ์โพเนนเชียลและอาจแก้ไขได้ในเวลาพหุนามในขนาดเอาท์พุทไม่ว่าสัญกรณ์สำหรับคลาสนั้นคืออะไร ไม่แน่นอน #EXP ซึ่งคล้ายกับ NEXP มากกว่า)

— David Eppstein
แหล่งที่มา

♯ P

$\sharp P$

n + \log N + \log p

$n + \log N + \log p$

p = 2

$p=2$

\oplus

$\oplus$

\oplus

$\oplus$

@SamiD: แน่นอน, การแสดงการโต้แย้งของคุณที่ถาวรอาจจะไม่ # P-ยากภายใต้เค็มลดลง หลักฐานที่เป็นที่รู้จักใช้การลดลงของทัวริง

— Holger

@ Holger ฉันเห็นด้วย ขออภัยฉันพลาดส่วนหนึ่งที่สำคัญมาก ดังนั้นปัญหาการจ่ายไฟให้กับเมทริกซ์จึงอาจ # P-hard ภายใต้การลดทัวริง

— SamiD

$A^N[s,t]$ $A$ $\mathsf{BitSLP}$ $\#\mathsf{P}$ $\mathsf{BitSLP}$

$\mathsf{BitSLP}$ $\mathsf{CH} \subseteq \mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$

— samid
แหล่งที่มา

$\leq N$ $=N$ $\leq N$ $\leq N-1$

$\leq 2$

— Miki Hermann
แหล่งที่มา

ปัญหาดั้งเดิมไม่ต้องการเส้นทางที่จะง่ายดังนั้นฉันไม่คิดว่าคำตอบนั้นถูกต้อง

— maomao

จะเป็นอย่างไร # P-complete เมื่อ #P ปัญหาทั้งหมดมีจำนวนวิธีแก้ปัญหาที่อธิบายในขนาดอินพุตและอันนี้เป็นเลขชี้กำลังสองเท่า

— David Eppstein

"ND31" หมายถึงอะไรในบริบทของหนังสือของ Garey และ Johson

— Tyson Williams