จำนวนการเปรียบเทียบที่แน่นอนเพื่อคำนวณค่ามัธยฐาน

ปริมาณที่สามของนูของศิลปะของการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (บทที่ 5 ข้อ 3.2) รวมถึงตารางต่อไปนี้รายชื่อที่แน่นอนจำนวนขั้นต่ำของการเปรียบเทียบที่จำเป็นในการเลือก $t$ องค์ประกอบ TH เล็กที่สุดจากชุดที่ไม่ได้เรียงลำดับขนาดสำหรับทุก . ตารางนี้พร้อมกับที่รู้จักกันดีแสดงออกปิดฟอร์มและหมายถึงมากที่สุดของรัฐของศิลปะเป็น 1976 . $n$ $1\le t \le n\le 10$ $V_1(n) = n-1$ $V_2(n) = n - 2 + \lceil n/2 \rceil$

ตารางจาก Knuth III: 5.3.2

มีการคำนวณมูลค่าที่แน่นอนของ $V_t(n)$ ในช่วง 36 ปีที่ผ่านมาหรือไม่? ฉันสนใจค่าที่แน่นอนของ $M(n) = V_{\lceil n/2 \rceil}(n)$ จำนวนขั้นต่ำของการเปรียบเทียบที่ต้องใช้เพื่อคำนวณค่ามัธยฐาน

ดังที่ @ MarkusBläserชี้ให้เห็นตารางของ Knuth ดูเหมือนจะรวมผลลัพธ์ล่าสุดจาก Bill Gasarch, Wayne Kelly และ Bill Pugh (การค้นหา ith ที่ใหญ่ที่สุดของ n สำหรับ small i, n . SIGACT News 27 (2): 88-96, 1996 .)

— Jeffε
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าบทความที่มีชื่อเสียงที่สุดในหัวข้อนี้คือของแพรตต์และเย้า (1976) ซึ่งได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในคนกลุ่มแรก ๆ ที่ได้พบเทคนิค (ฝ่ายตรงข้าม) เพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าของปัญหานี้ ถ้าฉันจะหาเอกสารล่าสุดเกี่ยวกับเรื่องนี้ฉันจะติดตามการอ้างอิงที่ทำกับบทความนี้ เอกสารล่าสุดคือ Dor and Zwick's แต่ยังมีการสำรวจโดย Paterson ปี 1996 (แม้ว่าฉันจะไม่ได้ดูว่ามันเกี่ยวข้องกับตัวเองด้วยผลลัพธ์ที่แน่นอนหรือไม่)

— Jérémie

Nitpicking: ในประโยคสุดท้ายของคำถามคุณอาจหมายถึงเพดานแทนที่จะเป็นพื้น

— Tsuyoshi Ito

Jeff อยากรู้ว่าทำไมคุณถึงสนใจคำตอบที่แน่นอน

— จันทรา Chekuri

เคนเน็ ธ Oksanen เขียนรหัสที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณ

)

ขออภัยมีsciencedirect.com/science/article/pii/S1571065306001582 เพียงสองปีที่ผ่านมานักเรียนของฉันคนหนึ่งส่งอีเมลถึงเขาและรับรหัสจากเขา ฉันจำไม่ได้ว่าจะได้รับค่าใหม่บางอย่าง

V_{i} (n)

$V_i(n)$

— Markus Bläser

@ChandraChekuri: ผมเล่นรอบกับสายพันธุ์ของบลัม-ฟลอยด์แพรตต์-Rivest-Tarjan ขั้นตอนวิธีการเลือกเส้นตรงเวลาเป็นปัญหาขั้นตอนวิธีการบ้านที่มีศักยภาพ ถ้าเราใช้อัลกอริธึมการเปรียบเทียบขั้นต่ำเพื่อค้นหาค่ามัธยฐานในแต่ละบล็อกขนาดบล็อกใดที่ให้ค่าคงที่ดีที่สุดใน big-Oh 9 ดีกว่า 7 ดีกว่า 5; แล้วประมาณ 11

— Jeffε

$n=15$

ขอบเขตของ Kenneth Oksanen สำหรับการเลือก

ขอขอบคุณ @ MarkusBläserที่เป็นผู้นำ!

— Jeffε
แหล่งที่มา

ฉันสงสัยว่าข้อมูลนี้อาจมีประโยชน์กับคุณหรือไม่ น่าเสียดายที่มันไม่ได้ให้ข้อมูลเพิ่มเติมใด ๆ กับคำถามของโพสต์นี้ แต่เป็นการตอบกลับความคิดเห็นของคุณเกี่ยวกับสิ่งที่มันมีไว้เพื่อ (การวิเคราะห์ตัวแปรของ QuickSelect)

$v(n,t)$ $v_t(n)$

{โวลต์}_{เสื้อ} (n) = n + นาที (เสื้อ, n - เสื้อ) + จำนวนมาก .

$v_t(n)=n+\min(t,n-t)+\text{l.o.t.}.$

ผลที่ได้นี้จะไม่ได้ใช้บ่อยและโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นพื้นฐานสำหรับขั้นตอนวิธีการในส่วน"การปรับเปลี่ยนการสุ่มตัวอย่างสำหรับ QuickSelect" โดยมาร์ติเน Panario และวิโอลา จุดเริ่มต้นของกระดาษคือ QuickSelect มัธยฐานแห่งสามและถามว่า: มันเกี่ยวข้องกับการเลือกค่ามัธยฐานอย่างเป็นระบบหรือไม่เมื่อองค์ประกอบที่เราค้นหามีอันดับสัมพัทธ์ต่ำกว่า n / 2 หรือสูงกว่า n / 2 มาก ?

$k$ $n$ $m$ $m/2$ $\alpha m$ $\alpha = k/n$ $m$

— Jeremie
แหล่งที่มา