Subgraph isomorphism กับต้นไม้

หากเรามีกราฟขนาดใหญ่ (กำกับ) และต้นไม้ที่ถูกรูทเล็ก ๆความซับซ้อนที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการค้นหากราฟย่อยของ isomorphic ถึงคืออะไร? ฉันรับรู้ถึงผลลัพธ์ของมอร์ฟิซึ่มส์ทรีที่ทั้งและเป็นต้นไม้และที่คือภาพถ่ายหรือมีขอบเขต treewidth (และอื่น ๆ ) แต่ไม่ใช่สำหรับกราฟและต้นไม้นี้ $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $G$

ds.algorithms reference-request graph-theory

— ราฟาเอล
แหล่งที่มา

คุณหมายถึง indg subgraph แทนที่จะเป็น subgraph หรือไม่

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@ Kristoffer ฉันสนใจทั้งคู่ ฉันพลาดอะไรซักอย่างเกี่ยวกับคดีที่ไม่ได้เกิดขึ้นหรือเปล่า?

— กราฟิลส์

ปัญหาของคุณคือ NP-hard แม้ว่า

เป็นเส้นทางเนื่องจากปัญหาเส้นทางที่ยาวที่สุด (เหนี่ยวนำหรือไม่เหนี่ยวนำ) คือ NP-hard

H

$H$

— Yota Otachi

ใช่. ฉันสนใจในสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันโดยเฉพาะสำหรับ

เป็นต้นไม้ ยกตัวอย่างเช่นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของ

เช่นผู้ที่อยู่ในคำถามหรือสมมติว่า

ได้รับการแก้ไข ฯลฯ

H

$H$

G

$G$

H

$H$

— ราฟาเอล

ปัญหาเส้นทางที่เหนี่ยวนำคือ W [1] - สมบูรณ์ (Papadimitriou-Yannakakis 1991) ในขณะที่ปัญหาเส้นทาง (ที่ไม่ได้เกิดขึ้น) คือ FPT (Monien 1985) ดู Chen-Flum 2007 ด้วยฉันต้องการทราบความซับซ้อนที่แปรผันของคลาสต้นไม้อื่น ๆ

— Yota Otachi

คำตอบ:

คำถามที่ว่ากราฟที่คงที่ใด ๆคือ subgraph (เหนี่ยวนำ) ของเป็นคุณสมบัติที่สามารถกำหนดลำดับแรกได้กล่าวคือสำหรับทุกจะมีสูตร ( ) เช่นนั้นว่าเป็น subgraph ของหาก และเพียงถ้า ( ) $H$ $G$ $H$ $\varphi_H$ $\psi_H$ $H$ $G$ $G \models \varphi_H$ $G\models\psi_H$

มันเป็นที่รู้จักก่อนว่าปัญหารูปแบบการตรวจสอบการแก้ไขพารามิเตอร์ซูฮกในชั้นเรียนของกราฟที่(ในประเทศ) ยกเว้นผู้เยาว์และในชั้นเรียนของการขยายตัว (ในประเทศ) ล้อมรอบ เมื่อเร็ว ๆ นี้ Grohe, Kreutzer และ S. ได้ทำการอธิบาย meta-theorem ที่มีความชัดเจนมากขึ้นโดยระบุว่าทรัพย์สินลำดับที่หนึ่งสามารถตัดสินใจได้ในเวลาเกือบเป็นเส้นตรงในกราฟที่ไม่มีความหนาแน่น

สำหรับคำถามของคุณสิ่งนี้แสดงถึงสิ่งต่อไปนี้ ให้เป็นต้นไม้ที่ถูกหยั่งราก จากนั้นก็จะสามารถตัดสินใจในเส้นเวลาไม่ว่าจะเป็นเป็น (induced) subgraph ของการป้อนข้อมูล (กำกับหรือไม่มีทิศทาง) กราฟถ้าเป็นระนาบหรือมากกว่าโดยทั่วไปจากชั้นเรียนที่ไม่รวมผู้เยาว์หรือจากระดับของการขยายขอบเขต ปัญหาสามารถตัดสินใจได้ในเวลาเกือบเป็นเส้นตรงถ้ามาจากคลาสที่แยกเฉพาะผู้เยาว์หรือจากคลาสของการขยายขอบเขตแบบโลคัลหรือโดยทั่วไปจะมาจากคลาสที่ไม่มีความหนาแน่นของกราฟ $H$ $H$ $G$ $G$ $G$ $G$

— เซบาสเตียนเซเบร์ตซ์
แหล่งที่มา

สามารถแก้ไขได้ในเวลาที่คาดหวังแบบสุ่มโดยที่คือขนาดของต้นไม้กำกับขนาดเล็กที่จะพบและคือจำนวนขอบของกราฟกำกับที่มีขนาดใหญ่ซึ่งจะพบได้ ดูทฤษฎีบท 6.1 ของ Alon, N. , Yuster, R. , และ Zwick, U. (1995) รหัสสี เจ ACM 42 (4): 844-856 อลอนและ ยังระบุว่าอัลกอริทึมของพวกเขาสามารถแยกส่วน แต่ไม่ให้รายละเอียดสำหรับส่วนนั้น ฉันคิดว่าเวลาที่กำหนดไว้อาจจะใหญ่กว่านี้เล็กน้อยเช่น $O(2^km)$ $k$ $m$ ) $O(k!\,m)$

— David Eppstein
แหล่งที่มา

รุ่น derandomized ควรเป็นปกติเช่นวิธีที่พวกเขาอธิบายไว้ในส่วนที่ 4 เพียงแค่ใช้ฟังก์ชั่นแฮชที่สมบูรณ์แบบในการแมปโหนด

กับสี

ซึ่งทำให้เกิดปัจจัย

พิเศษ (นอกจากนี้ยังสามารถปรับปรุงให้

กับปัจจัย

หมายถึงทั้งหมดคือ

)

n

$n$

k

$k$

\log^{2} n

$\log^2 n$

\log n

$\log n$

O (2^{k} \cdot m \cdot \log n)

$O(2^k \cdot m \cdot \log n)$

— Saeed

คุณอาจจะมองหามาร์กซ์, การทำงาน Pilipczuk ในความซับซ้อนของการแปร subgraph มอร์ฟ ในทางเทคนิคแล้วมันครอบคลุมเฉพาะกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง แต่ฉันคิดว่าคุณสามารถปรับความแข็งของต้นไม้ได้อย่างง่ายดายกับต้นไม้ที่หยั่งราก ผลลัพธ์ในเชิงบวกที่เกี่ยวข้องกับปัญหาของคุณได้รับการครอบคลุมโดยคำตอบก่อนหน้านี้ $H$

— Radu Curticapean
แหล่งที่มา