วิธีสร้างกราฟที่มีจุดสุดยอดที่เหมาะสมที่ทราบ

ฉันกำลังมองหาวิธีในการสร้างกราฟเพื่อให้ทราบจุดสุดยอดที่เหมาะสม ไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับจำนวนโหนดหรือขอบมีเพียงกราฟที่เชื่อมต่ออย่างสมบูรณ์

ความคิดคือการสร้างกราฟที่ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะหาจุดสุดยอดที่เหมาะสมเพื่อให้สามารถทดสอบการวิเคราะห์พฤติกรรมที่แตกต่าง

ฉันพบกระดาษArthur, J. & Frendeway, J. การสร้างปัญหาพนักงานขายการเดินทางกับทัวร์ที่ดีที่สุดที่รู้จัก, วารสารสมาคมวิจัยปฏิบัติการ 39, ฉบับที่ 2 (ก.พ. , 1988), หน้า 153-159สำหรับการสร้าง TSP ด้วยวิธีการที่เหมาะสมที่สุด แต่ฉันไม่สามารถเข้าถึงได้

มีอัลกอริทึมที่รู้จักหรือไม่?

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms

— AndresQ
แหล่งที่มา

"ไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับจำนวนโหนดหรือขอบเฉพาะที่กราฟเชื่อมต่ออย่างสมบูรณ์" คุณต้องการข้อ จำกัด มากกว่านี้ มิฉะนั้นฉันจะสร้างชุดของกราฟที่สมบูรณ์และรู้ว่าจุดสุดยอดที่เหมาะสมครอบคลุมสำหรับแต่ละคน

— Tyson Williams

M

$M$

e \in M

$e \in M$

C

$C$

C

$C$

C

$C$

K_{3}

$K_3$

ฉันคิดว่า "การสร้างฝ่ายกราฟสุ่มและคำนวณปกจุดสุดยอดของมัน" ไม่ได้นับเป็นคำตอบที่มีประโยชน์ ...

— เดวิด Eppstein

มีกลยุทธ์มากมายสำหรับการสร้างอินสแตนซ์ "hard" SAT และที่เก็บอินสแตนซ์ "hard" ที่เก็บถาวรถ้าคุณยินดีที่จะไปเส้นทางนั้น - นั่นคือการแปลงอินสแตนซ์ของ SAT เป็นจุดสุดยอด นอกจากนี้ยังมีงานวิจัยมากมายที่ศึกษา SAT จากมุมมองเชิงประจักษ์ซึ่งแปลเป็นปัญหาที่สมบูรณ์แบบอื่น ๆ ทั้งหมดเช่นจุดเปลี่ยนและอื่น ๆ อีกมากมายอ้างอิงทั้งหมดนี้ ...

— vzn

ยิ่งกว่าเวลาพหุนามการแก้จุดยอดบนกราฟ Koning ตามที่บันทึกไว้โดย David ผลลัพธ์ต่อไปนี้เป็นที่รู้จักจากพื้นที่ของความซับซ้อนของพารามิเตอร์: มีค่าคงที่ c เช่นนี้สำหรับค่าคงที่ k ทุกค่าคงที่ k มี O (n) ^ c) อัลกอริธึมเวลาในการทดสอบว่ากราฟมีหน้าปกจุดสุดยอดที่เกินขนาดการจับคู่สูงสุดโดยสูงสุด k หรือไม่ กราฟ Konig เป็นกรณีพิเศษเมื่อ k = 0

— Bart Jansen

คำตอบ:

การขยายความคิดเห็นของ vzn เป็นคำตอบ: การลดมาตรฐานจาก CNF-SAT ไปยังจุดสุดยอดนั้นค่อนข้างง่าย: สร้างจุดยอดสำหรับแต่ละเทอม (ตัวแปรหรือการปฏิเสธ) เชื่อมต่อตัวแปรแต่ละตัวเข้ากับการปฏิเสธโดยขอบทำให้ส่วนหนึ่งของแต่ละประโยค และเชื่อมต่อแต่ละจุดสุดยอดในกลุ่มเพื่อจุดสุดยอดสำหรับหนึ่งในเงื่อนไขในข้อ หากคุณเริ่มต้นด้วยปัญหาความพึงพอใจกับการมอบหมายที่น่าพอใจที่รู้จักกันสิ่งนี้จะทำให้คุณมีปัญหาครอบคลุมจุดสุดยอดด้วยวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดที่รู้จักกันดี (เลือกคำยอดยอดที่กำหนดโดยการมอบหมายและในแต่ละส่วนคำสั่งเลือกทั้งหมด จุดสุดยอดของประโยคที่ไม่ได้เลือกอยู่ติดกับจุดสุดยอดของคำที่เลือก)

ดังนั้นตอนนี้คุณต้องค้นหาปัญหาความพึงพอใจที่มีการมอบหมายที่น่าพอใจที่รู้จัก แต่วิธีแก้ปัญหาหายาก มีหลายวิธีที่รู้จักกันในการสร้างปัญหาความพึงพอใจอย่างหนัก (เช่นสร้างอินสแตนซ์ k-SAT แบบสุ่มใกล้กับเกณฑ์ความพึงพอใจ) แต่ข้อกำหนดพิเศษที่คุณรู้ว่าการมอบหมายที่น่าพอใจนั้นจำกัดความเป็นไปได้ สิ่งหนึ่งที่คุณสามารถทำได้ที่นี่ก็คือการลดลงอีกระดับจากปัญหาที่ยากต่อการเข้ารหัสเช่นการแยกตัวประกอบ คือเลือกสองช่วง pr และ p ขนาดใหญ่ตั้งวงจร Boolean สำหรับการคูณ p และ q เป็นเลขฐานสองและแปลเป็นสูตร CNF ซึ่งมีตัวแปรสำหรับแต่ละอินพุต (p และ q) และสำหรับแต่ละค่ากลางบน สายไฟในวงจรส่วนคำสั่งสำหรับเอาท์พุทบังคับให้มันมีค่าที่ถูกต้อง และข้อสำหรับแต่ละประตูบังคับให้อินพุตและเอาต์พุตของเกตนั้นสอดคล้องกัน จากนั้นแปลสูตร CNF นี้เป็นหน้าปกสุดยอด

สำหรับกลยุทธ์ที่ง่ายกว่าให้เลือกการกำหนดที่น่าพอใจให้กับสูตร 3CNF ก่อนจากนั้นสร้างคำสั่งแบบสุ่มสุ่มเก็บเฉพาะส่วนคำสั่งที่สอดคล้องกับการมอบหมายแล้วแปลงเป็นจุดสุดยอด หากส่วนคำสั่งมีความน่าจะเป็นแบบเดียวกันจะมีความเสี่ยงต่อการแก้ปัญหาแบบอิงองศา (คำยอดที่ตรงกับการบ้านที่เลือกจะมีระดับต่ำกว่าจุดยอดที่ไม่มี) แต่ข้อบกพร่องนี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการปรับความน่าจะเป็นของประโยคต่างๆ ตามข้อกำหนดของข้อจำนวนที่เห็นด้วยกับการบ้านที่เลือก อาจเป็นไปได้ว่ามีความเสี่ยงต่อการโจมตีแบบพหุนามแบบบางอย่าง แต่มันอาจไม่ใช่แบบธรรมดาที่ครอบคลุมจุดสุดยอดดังนั้นมันอาจสร้างชุดทดสอบที่ดีแม้ว่าจะไม่ได้รับประกันความแข็งมากนัก

— David Eppstein
แหล่งที่มา

\cap

$\cap$

การอ้างอิงที่ใกล้เคียงที่สุดที่ฉันพบคือ - ในกรณียาก ๆ ของการครอบคลุมจุดสุดยอดโดยประมาณโดย Sundar Vishwanathan ไม่เห็น refs สำหรับการดูอินสแตนซ์ที่ยากของปัญหาที่แน่นอน

ในความคิดเห็นของฉันมีการวิจัยจำนวนมากเกี่ยวกับวิธีการที่สอดคล้องกันนี้สำหรับ SAT ซึ่งสามารถลดการครอบคลุมจุดสุดยอดได้

ความคิดเห็นของ DE, แนวคิดของการสร้างอินสแตนซ์สุ่มและเพียงแค่เลือกอินสแตนซ์เหล่านั้นยากสำหรับอัลกอริธึมมาตรฐานดูเหมือนสมเหตุสมผลโดยสิ้นเชิงกับฉันโดยใช้วิธีการวิจัยเชิงทดลอง / ทดลอง [1] ซึ่งเป็นกระบวนการปฏิบัติการมาตรฐานสำหรับการวิจัยที่คล้ายกัน จุดเปลี่ยน [2]

ซึ่งโดยวิธีมีบางสิ่งบางอย่างที่จะบอกว่าที่ "ยาก" ภูมิภาคสำหรับปัญหาที่สมบูรณ์ NP อื่น ๆ [3,4,5] ซึ่งเกี่ยวข้องกับจุดสำคัญใน "ความหนาแน่น" ของ 1s ในกรณีสุ่มที่ระบุในไบนารี สำหรับจุดสุดยอดครอบคลุมสิ่งนี้อาจสอดคล้องกับความหนาแน่นของขอบ

โปรดทราบว่าการพิสูจน์หนึ่งสามารถสร้างชุดของอินสแตนซ์ที่ยากและเฉพาะกรณีที่ยากจะเทียบเท่ากับปัญหา P vs NP การวิเคราะห์ความเท่าเทียมกันนี้เป็นทางการมากขึ้นในกระดาษ Razborov / Rudich Natural Proofs

[1] อัลกอริทึมทดลอง

[2] การวิจัยการเปลี่ยนสถานะ SAT

[3] การเปลี่ยนเฟสในปัญหาฮาร์ด NP

[4] ช่วงการเปลี่ยนภาพในปัญหาที่เกิดขึ้นกับ NP: ความท้าทายสำหรับความน่าจะเป็น, combinatorics และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์โดย Moore

[5] พฤติกรรมการเปลี่ยนเฟสโดย Walsh

— vzn
แหล่งที่มา