เหตุการณ์ความน่าจะเป็นสูงที่ไม่มีพิกัดความน่าจะเป็นต่ำ

ปล่อย $X$ เป็นตัวแปรสุ่มที่รับค่า $\Sigma^n$(สำหรับตัวอักษรขนาดใหญ่ ) ซึ่งมีเอนโทรปีสูงมาก - พูดสำหรับขนาดเล็กอย่างต่อเนื่องโดยพล\ ปล่อยให้เป็นเหตุการณ์ในการสนับสนุนของที่โดยที่\ varepsilonเป็นค่าคงที่ขนาดเล็กโดยพลการ$\Sigma$$H(X) \ge (n- \delta)\cdot\log|\Sigma|$$\delta$$E \subseteq \rm{Supp}(X)$$X$$\Pr[X \in E] \ge 1 - \varepsilon$$\varepsilon$

เราบอกว่าคู่$(i,\sigma)$เป็นพิกัดความน่าจะเป็นต่ำของ$E$ถ้า$\Pr[X \in E | X_i = \sigma] \le \varepsilon$\ เราบอกว่าสตริง$x \in \Sigma^n$ มีความน่าจะเป็นที่ต่ำพิกัดของ$E$ถ้า$(i, x_i)$ความเป็นไปได้ต่ำพิกัดของ$E$สำหรับบางฉัน$i$

โดยทั่วไปสตริงบางอย่างในอาจมีพิกัดน่าจะต่ำของEคำถามคือเราสามารถหาเหตุการณ์ความน่าจะเป็นสูงได้เสมอเช่นนั้นไม่มีสตริงในมีพิกัดความน่าจะเป็นต่ำของ (ไม่ใช่ของ )$E$$E$$E' \subseteq E$$E'$$E'$$E$

ขอบคุณ!

นี่คือตัวอย่างการตอบสนองของ Harry Yuen สำหรับตัวอย่าง - มันพอเพียงที่จะกำหนดเหมาะสมและแสดงให้เห็นว่าส่วนใหญ่ของต้องมีความน่าจะเป็นต่ำ - พิกัดของความน่าจะเป็นต่ำ - พิกัดของจำเป็นต้องมีความเป็นไปได้ต่ำ co -ordinate ของE'$X,E$$E'\subseteq E$$E$$E$$E'$

นอกจากนี้ฉันจะไม่สนใจเงื่อนไขเกี่ยวกับเอนโทรปี - การผนวกตัวแปรสุ่มอิสระที่กระจายอย่างสม่ำเสมอไปยัง (และการถึง ) จะเพิ่มเกือบโดยไม่มีผลกระทบต่อว่ามีอยู่จริงหรือไม่$N$$X$$E$$E\times \Sigma^N$$H(X)/(n+N)\log|\Sigma|$$1$$E'$

นี่คือตัวอย่าง ปล่อยให้เป็นองค์ประกอบแบบสุ่มของทุกเวคเตอร์ที่มีน้ำหนักของ Hamming (เช่นเวกเตอร์ของรูปแบบ ) มีความน่าจะเป็นและ ทุกคนเวกเตอร์มีความน่าจะเป็น\ให้เป็นชุดของเวกเตอร์ที่มีน้ำหนัก Hamming 1$X$$\{0,1\}^n$$1$$0\dots 010\dots 0$$(1-\epsilon)/n$$1\dots 1$$\epsilon$$E$$1$

พิจารณาเซตE หากไม่ว่างเปล่าจะมีเวกเตอร์ของ Hamming Weightให้พูดโดยไม่สูญเสียความสามารถทั่วไป แต่ซึ่งน้อยกว่าถ้าคือ เกี่ยวกับ 2$E'\subseteq E$$E'$$1$$100\dots 0$$\Pr[X \in E'|X_i=1]=\frac{(1-\epsilon)/n}{(1-\epsilon)/n + \epsilon}$$\epsilon$$n$$2/\epsilon^2$

ได้อย่างไร $\epsilon$เปรียบเทียบกับ ? ถ้าสามารถเป็นฉันคิดว่าเราสามารถทำสิ่งที่คุณต้องการได้สำเร็จ ให้E โปรดทราบว่าจะได้รับมวลความน่าจะเป็นภายใต้XLetแสดงว่ามวลความน่าจะเป็นที่ได้รับมอบหมายในสายเช่นที่ TH ประสานงานมีสัญลักษณ์\$n$$\epsilon$$O(1/\sqrt{n})$$B = \mbox{Supp}(X) - E$$B$$\epsilon$$X$$\lambda(i,\sigma)\epsilon$$B$$i$$\sigma$

สมมติว่าได้รับความน่าจะเป็นที่ต่ำประสานงานสำหรับสตริงบางอย่างในEให้แสดงถึงความน่าจะเป็นรวมที่กำหนดให้กับสตริงเหล่านั้น จากนั้นตามคำนิยามหมายความว่า$(i,\sigma)$$E$$\delta(i,\sigma)$$\frac{\delta(i,\sigma)}{\delta(i,\sigma) + \lambda(i,\sigma)\epsilon} \leq \epsilon$$\delta(i,\sigma) \leq 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2$ 2 เราสามารถทิ้งสตริงความน่าจะเป็นที่ต่ำเหล่านี้ได้ในขณะที่รับ$\delta(i,\sigma)$การสูญเสียใน prob ไปที่$E$.

ทำสิ่งนี้ต่อไปในทางที่ผิด $(i,\sigma)$และในที่สุดเราก็ยกเลิกได้เพียงมากที่สุด $\sum_{i,\sigma} \delta(i,\sigma) \leq \sum_{i} \sum_{\sigma} 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2 \leq 2\sum_{i} \epsilon^2 = 2n\epsilon^2$. สิ่งนี้ใช้ความจริงสำหรับทุกคน$i$, $\sum_{\sigma} \lambda(i,\sigma) = 1$.

หากคุณต้องการ $E'$ มีมวลความน่าจะเป็น $1 -\gamma$จากนั้น $\epsilon$ ต้องเป็นเช่นนั้น $\epsilon + 2n\epsilon^2 \leq \gamma$หรือว่า $\epsilon = O(\gamma/\sqrt{2n})$ พอเพียง

ไม่ชัดเจนสำหรับฉันในขณะนี้ไม่ว่าจะเป็นการพึ่งพา $n$สามารถกำจัดได้ ฉันจะคิดต่อไป