คำถามติดแท็ก pr.probability

ในขณะที่ฉันได้ผ่านหลักสูตรเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นทั้งในโรงเรียนมัธยมและมหาวิทยาลัยฉันมีช่วงเวลาที่ยากลำบากในการอ่านเอกสาร TCS เมื่อพูดถึงความน่าจะเป็น ดูเหมือนว่าผู้เขียนเอกสาร TCS มีความคุ้นเคยกับความน่าจะเป็นมาก พวกมันทำงานร่วมกับสูตรความน่าจะเป็นได้อย่างน่าอัศจรรย์และพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ง่ายมาก ในขณะที่ฉันต้องทำงานหลายชั่วโมงเพื่อทำความเข้าใจว่าได้รับสูตรมาอย่างไรและวิธีพิสูจน์ตัวตน (หรือความไม่เท่าเทียมกัน) ฉันตัดสินใจที่จะแก้ปัญหาของฉันทันทีและทั้งหมด: ฉันต้องการอ่านหนังสือจากหน้าปกเพื่อครอบคลุม ดังนั้นหากคุณถูกขอให้แนะนำหนังสือหนึ่งเล่มเกี่ยวกับความน่าจะเป็นหนึ่งเล่มคุณจะแนะนำหนังสือเล่มใด

32 reference-request  big-list  pr.probability  books 

มีสิ่งที่ตรงกันข้ามกับเชอร์คอฟซึ่งขอบเขตว่าความน่าจะเป็นหางนั้นน้อยมาก เช่นถ้าเป็นอิสระตัวแปรสุ่มทวินามและx_i] จากนั้นเราสามารถพิสูจน์สำหรับฟังก์ชั่นบางฉX1,X2,…,XnX1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_nμ=E[∑ni=1Xi]μ=E[∑i=1nXi]\mu=\mathbb{E}[\sum_{i=1}^n X_i]Pr[∑ni=1Xi≥(1+δ)μ]≥f(μ,δ,n)Pr[∑i=1nXi≥(1+δ)μ]≥f(μ,δ,n)Pr[\sum_{i=1}^n X_i\geq (1+\delta)\mu]\geq f(\mu,\delta,n)fff

31 pr.probability  chernoff-bound 

การอ้างถึงวิกิพีเดีย "[เกมชีวิตของคอนเวย์] มีพลังของเครื่องจักรทัวริงสากล: นั่นคืออะไรก็ตามที่สามารถคำนวณขั้นตอนวิธีสามารถคำนวณได้ภายในเกมแห่งชีวิตของคอนเวย์" ผลลัพธ์ดังกล่าวขยายไปสู่ ​​Game of Life รุ่นที่มีเสียงดังหรือไม่? รุ่นที่ง่ายที่สุดคือว่าหลังจากที่ทุกรอบทุกเซลล์ตายอยู่กับความน่าจะเป็นขนาดเล็กและทุกเซลล์ที่ตายแล้วจะกลายเป็นชีวิตที่มีความน่าจะเป็นขนาดเล็ก (อิสระ)sเสื้อttsss ความเป็นไปได้อีกอย่างหนึ่งคือการพิจารณาตัวแปรที่น่าจะเป็นดังต่อไปนี้ของกฎของเกมเอง เซลล์ที่มีชีวิตที่มีน้อยกว่าสองตายเพื่อนบ้านอยู่กับความน่าจะเป็น1-T1 - t1−t1-t เซลล์สดใด ๆ ที่มีเพื่อนบ้านสองหรือสามคนอาศัยอยู่โดยมีความน่าจะเป็นในรุ่นต่อไป1 - t1−t1-t เซลล์ที่มีชีวิตที่มีมากกว่าสามตายเพื่อนบ้านอยู่กับความน่าจะเป็น1-T1 - t1−t1-t เซลล์ที่ตายแล้วใด ๆ ที่ตรงกับสามเพื่อนบ้านอยู่จะกลายเป็นเซลล์ที่มีชีวิตที่มีความน่าจะเป็น1-T1 - t1−t1-t คำถาม: เกมแห่งชีวิตที่มีเสียงดังเหล่านี้ยังคงสนับสนุนการคำนวณสากลหรือไม่? หากไม่สามารถพูดได้เกี่ยวกับ "พลังการคำนวณ" ของพวกเขา ข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับพลังการคำนวณของออโตมาตาเซลลูล่าร์และออโตมาตาเซลลูล่าร์ที่มีเสียงดังจะได้รับการชื่นชมเช่นกัน (คำถามนี้พัฒนาจากคำถามนี้ใน MathOverflow คำตอบของ Vincent Beffaraใน MO ให้การอ้างอิงที่น่าสนใจสำหรับผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องในด้านการคำนวณของออโตมาติกเซลลูล่าร์ที่มีเสียงดัง)

30 cc.complexity-theory  pr.probability  cellular-automata  fault-tolerance 

เป็นที่รู้จักกันดีว่าสุ่มเดินในตารางสองมิติจะกลับไปที่จุดเริ่มต้นที่มีความน่าจะเป็นที่ 1 นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักกันว่าเดินสุ่มเดียวกันในสามมิติมีความน่าจะเป็นอย่างเคร่งครัดน้อยกว่า 1 กลับไปจุดเริ่มต้น คำถามของฉันคือ: มีบางอย่างในระหว่าง? ตัวอย่างเช่นสมมติว่าสเปซของฉันเป็นพื้นที่ที่มีขอบเขตของระนาบที่แผ่ออกไปเป็นอินฟินิตี้ในทิศทาง z (สิ่งที่มักเรียกว่า 2.5 มิติ) ผลลัพธ์สองมิติมีผลหรือใช้สามมิติหรือไม่ สิ่งนี้เกิดขึ้นในการสนทนาและการโต้เถียงแบบฮิวริสติกหนึ่งคำที่บอกว่ามันทำงานสองมิติคือเนื่องจากขอบเขตอัน จำกัด ของระนาบจะถูกปกคลุมในที่สุดในที่สุดส่วนที่ไม่ต้องเดินคนเดียวคือ 1 มิติเรย์ตามทิศทาง z และกลับ เพื่อกำเนิดจะเกิดขึ้น มีรูปร่างอื่นที่สอดแทรกระหว่างเคสสองมิติกับเคสสามมิติหรือไม่? Update (ดึงมาจากความคิดเห็น): คำถามที่เกี่ยวข้องถูกถามใน MO - สรุปสั้น ๆ ก็คือถ้าการเดินเป็นมิติ (2 + ϵ) แล้วผลตอบแทนที่ไม่แน่นอนนั้นกลับมาอย่างไม่ราบรื่นตามลำดับที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตามคำถามข้างต้นแตกต่างกันเล็กน้อย IMO เนื่องจากฉันถามเกี่ยวกับรูปแบบอื่น ๆ ที่อาจยอมรับผลตอบแทนบางอย่าง

30 pr.probability  random-walks  markov-chains 

ปัญหาต่อไปนี้เกิดขึ้นระหว่างการวิจัยและทำความสะอาดอย่างน่าประหลาดใจ: คุณมีแหล่งที่มาของเหรียญ เหรียญแต่ละอันมีอคติกล่าวคือความน่าจะเป็นที่มันตกลงบน "หัว" สำหรับแต่ละเหรียญอย่างอิสระมีความเป็นไปได้ที่ 2/3 ว่ามันมีอคติอย่างน้อย 0.9 และส่วนที่เหลือของความน่าจะเป็นที่จะมีอคติได้ใน [0,1] คุณไม่รู้อคติของเหรียญ สิ่งที่คุณสามารถทำได้ในทุกขั้นตอนคือการโยนเหรียญและสังเกตผลลัพธ์ สำหรับ n ให้งานของคุณคือการหาเหรียญที่มีอคติอย่างน้อย 0.8 มีโอกาสอย่างน้อย ) คุณสามารถทำได้โดยใช้การโยนเหรียญ O (n) เท่านั้น?1 - ประสบการณ์( - n )1−exp⁡(−n)1-\exp(-n)

29 ds.algorithms  pr.probability 

ฉันได้ยินมาว่ามีการโต้แย้งแบบฮิวริสติกในฟิสิกส์เชิงสถิติที่ให้ผลลัพธ์ในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่การพิสูจน์ที่เข้มงวดไม่เป็นที่รู้จักหรือยากมากที่จะมาถึง ตัวอย่างของเล่นง่ายๆของปรากฏการณ์ดังกล่าวคืออะไร? มันจะดีถ้าคำตอบสันนิษฐานว่ามีพื้นหลังเล็กน้อยในฟิสิกส์เชิงสถิติและสามารถอธิบายได้ว่าฮิวริสติกลึกลับเหล่านี้คืออะไรและพวกเขาสามารถได้รับการพิสูจน์อย่างเป็นทางการได้อย่างไร นอกจากนี้อาจมีบางคนที่สามารถบ่งบอกถึงภาพรวมของการวิเคราะห์พฤติกรรมเหล่านี้ว่ามีความชอบธรรมมากเพียงใดและโปรแกรมของ Lawler, Schramm และ Werner เหมาะสมกับเรื่องนี้อย่างไร

29 sat  pr.probability  physics  statistical-physics 

ฉันสนใจαความหนาแน่นที่น่าพอใจ (3-SAT) ที่สำคัญ มันคาดเดาได้ว่าαนั้นมีอยู่: ถ้าจำนวนของประโยค 3-SAT ที่สร้างแบบสุ่มคือ( α + ϵ ) nหรือมากกว่านั้นจะไม่น่าพอใจอย่างแน่นอน (นี่εใด ๆ คงที่ขนาดเล็กและnคือจำนวนของตัวแปร.) ถ้าจำนวน( α - ε ) nหรือน้อยกว่าพวกเขาเกือบจะพอใจแน่นอนαα\alphaαα\alpha(α+ϵ)n(α+ϵ)n(\alpha + \epsilon) nϵϵ\epsilonnnn(α−ϵ)n(α−ϵ)n(\alpha - \epsilon) n อัลกอริทึมการเผยแพร่ความเชื่อวิทยานิพนธ์สำหรับปัญหาความพึงพอใจข้อ จำกัดโดย Elitza Nikolaeva Maneva ท้าทายปัญหาจากมุมของการเผยแผ่ความเชื่อที่รู้จักกันในทฤษฎีข้อมูล บนหน้า 13 มันบอกว่าถ้าαมีอยู่3.52&lt;α&lt;4.513.52&lt;α&lt;4.513.52<\alpha<4.51αα\alpha ขอบเขตที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับคืออะไรαα\alpha

26 pr.probability  random-k-sat 

เป็นที่ทราบกันดีว่าพารามิเตอร์กราฟสำคัญหลายตัวแสดงความเข้มข้น (แรง) บนกราฟสุ่มอย่างน้อยก็ในบางช่วงของความน่าจะเป็นของขอบ ตัวอย่างทั่วไปบางอย่าง ได้แก่ หมายเลขรงค์, กลุ่มสูงสุด, ชุดอิสระสูงสุด, การจับคู่สูงสุด, หมายเลขการครอบครอง, จำนวนสำเนาของกราฟย่อยคงที่, เส้นผ่านศูนย์กลาง, ระดับสูงสุด, จำนวนตัวเลือก (รายการหมายเลขสี), Lovasz theta- จำนวน, ความกว้างของต้นไม้ ฯลฯθθ\theta คำถาม: อะไรคือข้อยกเว้นนั่นคือพารามิเตอร์กราฟที่มีความหมายที่ไม่ได้มุ่งเน้นไปที่กราฟแบบสุ่ม? แก้ไข คำจำกัดความที่เป็นไปได้ของความเข้มข้นคือ: ให้เป็นพารามิเตอร์กราฟบนกราฟสุ่ม -vertex เราเรียกมันว่าเข้มข้นถ้าสำหรับมันก็ถือว่า ความเข้มข้นมีความแข็งแรงถ้าความน่าจะเป็นใกล้ถึง 1 ที่อัตราเอ็กซ์โพเนนเชียล แต่บางครั้งก็มีการใช้งานที่แข็งแกร่งในแง่ที่แตกต่างซึ่งหมายถึงความจริงที่ว่าคอนเวอร์เจนซ์ยังคงเป็นจริงด้วยช่วงเวลาที่หดตัวทำให้มีช่วงที่แคบมาก ตัวอย่างเช่นถ้าX_nเป็นระดับต่ำสุดดังนั้นสำหรับบางช่วงของความน่าจะเป็นที่ขอบpหนึ่งสามารถพิสูจน์ได้ nXnXnX_nnnnLim n →การ∞ Pr ( ( 1 - ε ) E ( X n ) ≤ X n …

23 graph-theory  pr.probability  random-graphs 

mmmnnnm≫nm≫nm \gg nXiXiX_iiiiXmaxXmaxX_\maxXminXminX_\minXsec−maxXsec−maxX_{\mathrm{sec-max}}Xi−Xj∼N(0,2m/n)Xi−Xj∼N(0,2m/n)X_i - X_j \sim N(0,2m/n)|Xi−Xj|=Θ(m/n−−−−√)|Xi−Xj|=Θ(m/n)|X_i - X_j| = \Theta(\sqrt{m/n}) i,ji,ji,jXmax−Xmin=O(mlogn/n−−−−−−−−√)Xmax−Xmin=O(mlog⁡n/n)X_{\max} - X_{\min} = O(\sqrt{m\log n/n})n/2n/2n/2ถังขยะแยกอิสระ2คู่ อาร์กิวเมนต์นี้ (ไม่ใช่แบบสมบูรณ์) ทำให้เราคาดหวังว่าช่องว่างระหว่างXmaxXmaxX_{\max}และXminXminX_{\min}คือΘ(mlogn/n−−−−−−−−√)Θ(mlog⁡n/n)\Theta(\sqrt{m\log n/n})มีความน่าจะเป็นสูง ฉันสนใจในช่องว่างระหว่างXmaxXmaxX_\maxและXsec−maxXsec−maxX_{\mathrm{sec-max}}{วินาทีสูงสุด}} อาร์กิวเมนต์ที่แสดงด้านบนแสดงให้เห็นว่าXmax−Xsec−max=O(mlogn/n−−−−−−−−√)Xmax−Xsec−max=O(mlog⁡n/n)X_\max - X_{\mathrm{sec-max}} = O(\sqrt{m\log n/n})มีความน่าจะเป็นสูง แต่ปัจจัยlogn−−−−√log⁡n\sqrt{\log n}ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้อง . มีอะไรที่รู้เกี่ยวกับการกระจายของXmax−Xsec−maxXmax−Xsec−maxX_\max - X_{\mathrm{sec-max}} ? มากกว่าปกติสมมติว่าแต่ละลูกมีความเกี่ยวข้องกับที่ไม่ใช่เชิงลบคะแนนสำหรับแต่ละถังและเรามีความสนใจในคะแนนรวมของแต่ละถังหลังจากการขว้างปาmmmลูก ปกติสอดคล้องกับสถานการณ์ที่คะแนนของแบบฟอร์ม(0,…,0,1,0,…,0)(0,…,0,1,0,…,0)(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)0) สมมติว่าการกระจายความน่าจะเป็นของคะแนนคือคงอยู่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงของถัง (ในสถานการณ์ปกติตรงนี้ความจริงที่ว่าถังขยะทั้งหมดที่มี equiprobable) ได้รับการกระจายของคะแนนที่เราสามารถใช้วิธีการของย่อหน้าแรกที่จะได้รับสิ่งที่ดีที่ถูกผูกไว้ในXmax−XminXmax−XminX_{\max} - X_{\min}นาที} ขอบเขตจะมีปัจจัยlogn−−−−√log⁡n\sqrt{\log n}ที่มาจากการรวมกลุ่ม (ผ่านความน่าจะเป็นหางของตัวแปรปกติ) ปัจจัยนี้จะลดลงได้ไหมถ้าเราสนใจที่จะ จำกัด ขอบเขต ?Xmax−Xsec−maxXmax−Xsec−maxX_{\max} …

23 reference-request  pr.probability 

เวลาในการเดินทางในกราฟที่เชื่อมต่อถูกกำหนดเป็นจำนวนขั้นตอนที่คาดหวังในการเดินแบบสุ่มเริ่มต้นที่ก่อนที่จะไปถึงโหนดแล้วจึงไปถึงโหนดอีกครั้ง มันเป็นพื้นผลรวมของทั้งสองชนครั้งและi)G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)iiijjjiiiH(i,j)H(i,j)H(i,j)H(j,i)H(j,i)H(j,i) มีอะไรที่คล้ายกับเวลาเดินทาง (ไม่เหมือนกันทุกประการ) แต่ถูกกำหนดในแง่ของโหนดหรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่งจำนวนโหนดที่แตกต่างกันที่คาดไว้คือการเดินแบบสุ่มเริ่มต้นที่และกลับมาที่ฉันจะไปเยี่ยมชมคืออะไรiiiiii ปรับปรุง (30 กันยายน 2012): มีจำนวนงานที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของเว็บไซต์ที่แตกต่างเข้าเยี่ยมชมโดยวอล์คเกอร์แบบสุ่มบนขัดแตะ (เช่น ) ตัวอย่างเช่นดู: http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v4/i9/p1191_s1?isAuthorized=noZnZn\mathbb{Z}^n มีใครเคยอ่านเรื่องนี้บ้างไหม?

22 graph-theory  co.combinatorics  random-walks  pr.probability 

ฉันพบผลลัพธ์ต่อไปนี้ในระหว่างการวิจัยของฉัน limn→∞E[#{|ai−aj|,1≤i,j≤m}n]=1limn→∞E[#{|ai−aj|,1≤i,j≤m}n]=1\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n} \right] = 1 ที่m=ω(n−−√)m=ω(n)m=\omega(\sqrt n)และa1,⋯,ama1,⋯,ama_1,\cdots,a_mจะถูกเลือกโดยการสุ่มจาก[n][n][n][n] ฉันกำลังมองหาการอ้างอิง / หลักฐานโดยตรง Crossposted บน MO

21 reference-request  co.combinatorics  pr.probability 

เมื่อฉันสอนขอบเขตหางฉันใช้ความก้าวหน้าตามปกติ: หาก rv ของคุณเป็นค่าบวกคุณสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟ ถ้าคุณมีความเป็นอิสระและยังมีความแปรปรวนทางทิศคุณสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ถ้าแต่ละ RV อิสระนอกจากนี้ยังมีช่วงเวลาทั้งหมดที่สิ้นสุดแล้วคุณสามารถใช้ขอบเขตเชอร์นอฟ หลังจากสิ่งนี้ทำความสะอาดน้อยลงเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น หากตัวแปรของคุณมีค่าเฉลี่ยศูนย์ความไม่เท่าเทียมกันของเบิร์นสไตน์จะสะดวกกว่า หากคุณรู้ว่าฟังก์ชั่นการรวมเป็น Lipschitz แสดงว่ามีความไม่เท่าเทียมกันของสไตล์ McDiarmid หากคุณมีความอ่อนแอในการพึ่งพาอาศัยกันก็มีขอบเขตแบบซีเกล (และถ้าคุณมีการพึ่งพาเชิงลบความไม่เท่าเทียมของ Jansson อาจเป็นเพื่อนของคุณได้) มีการอ้างอิงใด ๆ ไปยังผังงานที่สะดวกหรือต้นไม้ตัดสินใจที่อธิบายวิธีการเลือกหาง "ถูกต้อง" (หรือแม้กระทั่งเมื่อคุณต้องดำดิ่งลงสู่ทะเล Talagrand)? ฉันขอบางส่วนเพื่อให้มีการอ้างอิงส่วนหนึ่งเพื่อให้ฉันสามารถชี้ไปที่นักเรียนของฉันและส่วนหนึ่งเพราะถ้าฉันรำคาญพอและไม่มีหนึ่งฉันอาจพยายามทำให้ตัวเอง

21 reference-request  pr.probability  randomized-algorithms 

(ฟอนนอยมันน์ให้อัลกอริทึมที่จำลองเหรียญที่ยุติธรรมให้การเข้าถึงเหรียญลำเอียงที่เหมือนกันอัลกอริทึมอาจต้องใช้จำนวนอนันต์ของเหรียญ bounded.) สมมติว่าเรามีเหรียญเหมือนกันกับอคติ[Tail] จุดมุ่งหมายคือการจำลองเหรียญโยนเดียวในขณะที่ลดอคติnnnδ= P[ ชe a d] - พี[ Tฉันลิตร]δ=P[Head]−P[Tail]\delta=P[Head]-P[Tail] การจำลองจะต้องมีประสิทธิภาพในความรู้สึกต่อไปนี้: ขั้นตอนการทำงานในลักษณะพหุนามเวลาที่บิตแบบสุ่มและผลบิตเดียว อคติของอัลกอริทึมถูกกำหนดให้เป็นที่คาดหวังจะได้รับการกระจายที่กำหนดโดยบิต IIDเช่นว่าProbB i a s ( A ) = | E [ A = 0 ] - E [ A = 1 ] | n x 1 , … , x n P r o b [ …

21 cc.complexity-theory  circuit-complexity  pr.probability 

ถ้าfffเป็นฟังก์ชันนูนแล้วความไม่เท่าเทียมของ Jensen ระบุว่าf(E[x])≤E[f(x)]f(E[x])≤E[f(x)]f(\textbf{E}[x]) \le \textbf{E}[f(x)]และโดยอนุโลมโดยอนุโลมเมื่อfffเป็นเว้า เห็นได้ชัดว่าในกรณีที่เลวร้ายที่สุดคุณไม่สามารถ จำกัด ขอบเขตE[f(x)]E[f(x)]\textbf{E}[f(x)]ในรูปของf(E[x])f(E[x])f(\textbf{E}[x])สำหรับนูนfffแต่มีขอบเขตที่ไปในทิศทางนี้ถ้าfffนูน แต่ "ไม่นูนเกินไป" คือมีมาตรฐานบางผูกพันที่ให้เงื่อนไขในการฟังก์ชั่นนูนfff (และอาจกระจายเช่นกันถ้าจำเป็น) ที่จะช่วยให้คุณสามารถที่จะสรุปว่าE[f(x)]≤φ(f)f(E[x])E[f(x)]≤φ(f)f(E[x])\textbf{E}[f(x)] \le \varphi(f)f(\textbf{E}[x])ที่φ(f)φ(f)\varphi(f)เป็นหน้าที่ของความโค้ง / ระดับของนูนบางfff ? บางสิ่งบางอย่างคล้ายกับสภาพ Lipschitz บางที?

21 randomness  pr.probability  randomized-algorithms 

ปัญหาคลาสสิกในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือการแสดงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในแง่ของเหตุการณ์ที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น ในกรณีที่ง่ายที่สุดที่หนึ่งสามารถพูดB] Let 's เขียนABสำหรับเหตุการณ์A \ หมวก BA B A ∩ BP[A∪B]=P[A]+P[B]−P[A∩B]P[A∪B]=P[A]+P[B]−P[A∩B]P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]ABABABA∩BA∩BA \cap B จากนั้นก็มีวิธีที่จะผูกP[∪Ai]P[∪Ai]P[\cup A_i]โดยไม่มีการสมมติความเป็นอิสระของเหตุการณ์AiAiA_iมากมาย Bonferroni ให้ขอบเขตบน P[∪Ai]≤∑P[Ai]P[∪Ai]≤∑P[Ai]P[\cup A_i] \le \sum P[A_i] (บางครั้งก็เกิดจากBoole ) และ Kounias กลั่นสิ่งนี้ให้กับ P[ ∪ Aผม] ≤ ∑ผมP[ กผม] - สูงสุดJΣฉัน≠ jP[ กผมAJ] .P[∪Ai]≤∑iP[Ai]−maxj∑i≠jP[AiAj].P[\cup A_i] …

20 reference-request  pr.probability