ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับกราฟมอร์ฟิซึมเบา ๆ สำหรับกราฟ valance

ฉันอ่านเกี่ยวกับการเรียนของกราฟที่กราฟมอร์ฟ ( ) อยู่ในPหนึ่งในกรณีดังกล่าวเป็นกราฟของความจุ จำกัด (สูงสุดกว่าระดับของแต่ละจุดสุดยอด) ตามที่อธิบายไว้ที่นี่ แต่ฉันพบว่ามันเป็นนามธรรมเกินไป ฉันจะขอบคุณถ้าใครสามารถแนะนำการอ้างอิงบางอย่างเกี่ยวกับธรรมชาติของการอธิบาย ฉันไม่มีภูมิหลังที่แข็งแกร่งในทฤษฎีกลุ่มดังนั้นฉันจึงต้องการเอกสารที่ใช้ทฤษฎีกลุ่มอย่างอ่อนโยน (ภูมิหลังของฉันอยู่ใน CS)$GI$$P$

อัลกอริธึมสำหรับกราฟมอร์ฟิก - ขอบเขตมอร์ฟิซึ่มส์สัมพันธ์กับทฤษฎีกลุ่ม (การเปลี่ยนแปลง) ที่ฉันสงสัยว่ามีการแนะนำว่าใช้กลุ่ม "เบา ๆ เท่านั้น" อย่างไรก็ตามคุณอาจปรึกษาปริญญาเอกของ Paolo Codenotti วิทยานิพนธ์สำหรับพื้นหลังที่สมบูรณ์มากขึ้น เขาไม่ได้ครอบคลุมกราฟมอร์ฟิซึ่มมอร์ฟิซึ่มส์อย่างแน่นอน แต่ครอบคลุมเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับมัน (และส่วนที่เหลือของวิทยานิพนธ์นี้เกี่ยวกับไฮเปอร์กราฟแบบ จำกัด ขอบเขต - ขยายอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับกราฟมอร์ฟทั่วไป .

นอกจากนี้คุณยังอาจพบว่าหนังสือกลุ่มอัลกอริธึมเชิงทฤษฎีและกราฟมอร์ฟิซึ่มมีประโยชน์เนื่องจากมันครอบคลุมพื้นหลังส่วนใหญ่ที่จำเป็น (บทที่ 2 "แนวคิดพื้นฐาน" คือ 47 หน้า) และเป็นการแสดงออกที่สะดวกกว่าเอกสารที่ตีพิมพ์ส่วนใหญ่ หัวข้อ.

โน้ต: Let เป็นกราฟE = ( V 1 , V 2 )ขอบของX จุดสุดยอดชุดV kเป็นชุดของจุดของระยะทางที่kจากอีและให้ชั่วโมงจะมีความสูงของX$X = (V,E)$$e = (v_1, v_2)$$X$$V_k$$k$$e$$h$$X$

ตามความหมายของ , V = V 0 ∪ V 1 ... V HและV ( H + 1 ) = ∅ อนุญาตเซตย่อยE kของขอบของX ( 0 ≤ k ≤ h )ถูกกำหนดเป็น -$V_k$$V= V_0 \cup V_1 \dots V_h$$V_{(h+1)}= \emptyset$$E_k$$X(0 \leq k \leq h)$

$E_k = \{ (u,w) | u \in V_k, w \in V_ k \cup V_{(k+1)} \}.$

กราฟย่อยถูกกำหนดเป็น -$X_i$

$X_k= (V_0 \cup V_1 \dots \cup V_k, E_0 \cup E_1 \dots E_{(k-1)} \}$

ตัวอย่างเช่น $X_2 =\{ (V_0 \cup V_1 \cup V_2, E_0 \cup E_1)\}$

เป็นกลุ่ม automorphism ของกราฟ Xที่อีได้รับการแก้ไข ถ้า Bเป็นชุดที่ก่อให้เกิดของยูทีอี ( X k )เราเขียน ⟨ B ⟩ = ยูทีอี ( X k ) , ตัวอย่างเช่นเป็นที่ชัดเจนว่า ยูทีอี ( X 0 ) = ⟨ ( โวลต์1 , v $Aut_e(X)$$X$$e$$B$$Aut_e(X_k)$$\langle B \rangle = Aut_e(X_k)$ที่ ( โวลต์1 , V 2 )เป็นจุดเปลี่ยนแปลงของ v 1 , V 2ของX$Aut_e(X_0)=\langle(v_1,v_2)\rangle$$(v_1,v_2)$$v_1, v_2$$X$

หลักการการ สร้างชุดการสร้างกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของเป็นปัญหาที่สมบูรณ์แบบGI (กราฟ isomorphism) [1] ดังนั้นถ้าเราสามารถคำนวณการสร้างกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึ่มส์ของX (ซึ่งมีขอบเขตม่านแขวนในเวลาพหุนาม) เราสามารถแก้ปัญหา GI ในเวลาพหุนาม ดังนั้นเราจึงต้องการที่จะตรวจสอบยูทีอี ( X )$X$$X$$Aut_e(X)$

เทคนิค:

เราจะสร้างชั่วโมง สำหรับแต่ละX kเราจะสร้างยูทีอี ( X ( k )$X_0, X_1..... X_h$$X_k$$Aut_e(X_{(k)})$

ทราบว่ามีการเปลี่ยนแปลงของยูทีอี ( X ( k ) )อาจจะขยายไป automorphism ของยูทีอี ( X ( k + 1 ) )$Aut_e(X_{(k) })$$Aut_e(X_{(k+1)})$

ดังนั้นกำเนิดของ ยูทีอี ( X ( k + 1 ) )สามารถหาได้จากเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสำหรับยูทีอี ( X k )$Aut_e(X_{(k+1)})$$Aut_e(X_{k})$

ในการสร้างเครื่องกำเนิดไฟฟ้าโครงสร้างชนิดของ จะได้รับการจัดการ โครงสร้างชนิดของE k สามารถแบ่งออกเป็นคลาส จำกัด ตัวอย่างเช่นในกรณี trivalent มีเพียงหกประเภทเท่านั้น (ห้ากรณีเท่านั้นที่สามารถเกิดขึ้นได้จริง)$E_k$$E_k$

เราจะจัดประเภทขอบใน เป็นประเภทและจะจัดกลุ่มไว้ในครอบครัว สิ่งนี้ช่วยในการสร้างป้ายกำกับจำนวนมาก$E_k$

สำหรับเวเลนซ์แบบตายตัวจำนวนเลเบลมีขนาดเล็ก ณ จุดนี้เราใช้แนวคิดของ setwise-stabilizers เพื่อหาวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่ทำหน้าที่บนฉลากเฉพาะ ในการที่เราจะพบกำเนิดของยูทีอี ( X ( k ) ) จากนั้นเราใช้เครื่องกำเนิดของA u t e ( X ( k ) )เพื่อค้นหาเครื่องกำเนิดของA u t e ( X ( k + 1 ) )ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้า ดำเนินการในลักษณะนี้เราได้รับยู$Aut_e(X_{(k) })$$Aut_e(X_{(k) })$$Aut_e(X_{(k+1) })$ )$Aut_e(X)$