NP ปัญหาต่อไปนี้ยากหรือไม่

พิจารณาชุดของชุดเหนือชุดฐานโดยที่และและปล่อยให้เป็นจำนวนเต็มบวก $F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}$ $U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$ $|F_i|$ $\ll$ $n$ $e_i \in F_i$ $k$

มีเป้าหมายที่จะพบคอลเลกชันของชุดอื่นมากกว่าเช่นกันว่าสามารถเขียนเป็นสหภาพของที่มากที่สุดเคล็ดร่วมกันชุด ในและเราต้องการเป็นขั้นต่ำ (เช่นจำนวนรวมขององค์ประกอบในชุดควรมีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้) $C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}$ $U$ $F_i$ $k$ $(k<<|C|)$ $C$ $\sum_1^m |C_j|$ $C$

โปรดทราบว่า $F$ มีขนาดเท่ากันกับ $U$ แต่ขนาดของ $C$ ไม่แน่นอน

ใครสามารถบอกได้ว่าปัญหาดังกล่าวเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นยากหรือไม่ (ชุดครอบคลุม？ การบรรจุ？ การหุ้มที่สมบูรณ์แบบ)

ขอบคุณที่สละเวลา.

— ไรน์
แหล่งที่มา

ฉันไม่เข้าใจว่า "ปัญหา" คืออะไร คุณต้องการตอบอะไร

— Ankur

เหตุใดปัญหานี้จึงไม่สำคัญโดยการตั้งค่า C = {U}

— Tsuyoshi Ito

นอกจากความหมายที่แม่นยำของ“ เล็กกว่ามาก” ฉันยังคงมีปัญหาในการเข้าใจปัญหา ตามที่ระบุในการแก้ไข 11 ดูเหมือนว่าสำหรับฉันแล้วทางออกที่ดีที่สุดคือ C = ∅หรือ C = {∅} เสมอ หากเราเพิ่มข้อ จำกัด ที่ C มีชุด nonempty อย่างน้อยหนึ่งชุดเป็นองค์ประกอบดังนั้น C = {{e}} สำหรับองค์ประกอบบางอย่างe∈Uจะเหมาะสมที่สุด

— Tsuyoshi Ito

โปรดอ่านคำถามของคุณอย่างระมัดระวัง คุณไม่เคยพูดว่าจะต้องเลือก C เพื่อให้สามารถเขียน F_i เป็นกลุ่มของชุดจาก C.

— Tsuyoshi Ito

ฉันสามารถดูปัญหาพื้นฐานการตั้งค่าปกติเป็นปัญหาย่อยของต้นฉบับได้หรือไม่

— Rhein

บทแทรก ปัญหาคือ NP-hard

ร่างหลักฐาน เราไม่สนใจข้อ จำกัดในปัญหาที่โพสต์เพราะสำหรับอินสแตนซ์ใด ๆของปัญหาอินสแตนซ์ได้จากการรวมกันของสำเนาอิสระของ (ที่สำเนา THใช้ TH คัดลอกของเป็นชุดฐาน) เทียบเท่าและตอบสนองข้อ จำกัด (มันมี ) $|F_i| \ll n = |U|$ $(F,U,k)$ $(F'=F^n,U'=U^n,k)$ $n$ $(F,U,k)$ $i$ $F$ $i$ $U$ $|F'_i| \le n \ll n^2 = |U'|$

เราลดจาก 3-SAT สำหรับการนำเสนอในขั้นตอนแรกของการลดเราไม่สนใจข้อ จำกัดในปัญหาที่โพสต์ ในขั้นตอนที่สองเราอธิบายถึงวิธีปฏิบัติตามข้อ จำกัด เหล่านั้นในขณะที่ยังคงความถูกต้องของการลดลง $e_i \in F_i$

ขั้นตอนแรก แก้ไขใด ๆ 3 SAT สูตร\สมมติว่า WLOG ที่แต่ละประโยคมีสามตัวอักษร (แต่ละตัวใช้ตัวแปรที่แตกต่างกัน) ผลิตตัวอย่างต่อไปนี้ของปัญหาการโพสต์กับ 3 $\phi$ $(F,U,k)$ $k=3$

ให้เป็นจำนวนของตัวแปรในφมีองค์ประกอบใน : หนึ่งองค์ประกอบ (สำหรับ "จริง") และสำหรับแต่ละตัวแปรใน , สามองค์ประกอบ , , และ (สำหรับ "false") $n$ $\phi$ $3n+1$ $U$ $t$ $x_i$ $\phi$ $x_i$ $\overline x_i$ $f_i$

สำหรับองค์ประกอบในแต่ละมีชุดเดี่ยวที่มีเพียงแค่ว่าองค์ประกอบในFวิธีการแก้ปัญหาใด ๆจึงรวมถึงแต่ละชุดเหล่านี้ซึ่งมีส่วนร่วมของพวกเขาขนาดรวมกับค่าใช้จ่ายของC $U$ $F$ $C$ $3n+1$ $C$

นอกจากนี้สำหรับแต่ละตัวแปรในมี "ตัวแปร" ชุดในFสำหรับข้อในแต่ละมี "ข้อ" ชุดในประกอบด้วยตัวอักษรในประโยคและเสื้อยกตัวอย่างเช่นประโยคอัตราผลตอบแทนชุด $x_i$ $\phi$ $\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$ $F$ $\phi$ $F$ $t$ $x_1\wedge \overline x_2 \wedge x_3$ ในF $\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$ $F$

การอ้างสิทธิ์ 1. การลดถูกต้อง: เป็นที่น่าพอใจหากโซลูชันบางวิธีมีต้นทุน 1 $\phi$ $C$ $\sum_j |C_j| = 5n+1$

(เฉพาะในกรณีที่)สมมติว่าเป็นที่น่าพอใจ สร้างวิธีการแก้ปัญหาประกอบด้วยชุดเดี่ยวบวกสำหรับแต่ละตัวแปรทั้งคู่ประกอบด้วยความจริงที่แท้จริงและเสื้อ(เช่นถ้าเป็นเท็จ.) ค่าใช้จ่ายของแล้ว 1 $\phi$ $C$ $3n+1$ $x_i$ $t$ $\{\overline x_i, t\}$ $x_i$ $C$ $5n+1$

ชุดตัวแปรแต่ละชุดคือการรวมกันของสามชุด: คู่ประกอบด้วยตัวอักษรที่แท้จริงและ , บวกอีกสองชุดซิงเกิลหนึ่งชุดสำหรับแต่ละองค์ประกอบอีกสองชุด (เช่น ) $\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$ $t$ $\{\overline x_i, t\}, \{x_i\}, \{f_i\}$

แต่ละชุดประโยค (เช่น ) คือการรวมกันของสามชุด: คู่ประกอบด้วยและตัวอักษรที่แท้จริงรวมทั้งสองชุดเดี่ยวหนึ่งสำหรับแต่ละอื่น ๆ สองตัวอักษร (เช่น ) $\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$ $t$ $\{x_1, t\}, \{\overline x_2\}, \{x_3\}$

(ถ้ามี)สมมติว่ามีวิธีการแก้ปัญหาขนาด 1การแก้ปัญหาจะต้องมีชุดเดี่ยวบวกชุดอื่น ๆ รวมขนาด n $C$ $5n+1$ $3n+1$ $2n$

พิจารณาแรก "ตัวแปร" ชุดแต่ละรูปแบบ }ชุดคือเนื่องกันอย่างมากที่สุดสามชุดในCโดยไม่สูญเสียของทั่วไปก็เป็นเนื่องกันของทั้งสอง singletons และคู่ (มิฉะนั้นชุดแยกในนี้ประสบความสำเร็จโดยไม่ต้องเพิ่มค่าใช้จ่าย) แสดงว่าคู่ฉันคู่และสำหรับตัวแปรที่ต่างกันและมีความแตกต่างกันเพราะ $n$ $\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$ $C$ $C$ $P_i$ $P_i$ $P_j$ $x_i$ $x_j$ มี , , หรือแต่ไม่ได้ ดังนั้นผลรวมของขนาดของคู่เหล่านี้คือ nดังนั้นคู่เหล่านี้เป็นเซตที่ไม่ใช่ซิงเกิลเดียวในการแก้ปัญหา $P_i$ $x_i$ $\overline x_i$ $f_i$ $P_j$ $2n$

ถัดไปพิจารณา "ประโยค" ชุดเช่น }แต่ละชุดดังกล่าวจะต้องเป็นสหภาพของที่มากที่สุดสามชุดใน , ที่อยู่, ถึงสองชุดเดี่ยวและอย่างน้อยหนึ่งคู่ , หรือ kโดยการตรวจสอบของคู่และชุดประโยคนั้นจะต้องมีการรวมกันของสองซิงเกิลและหนึ่งคู่และคู่นั้นจะต้องอยู่ในรูปแบบหรือ $\{x_i, \overline x_j, x_k, t\}$ $C$ $P_i$ $P_j$ $P_k$ $\{x_i, t\}$ $\{\overline x_j, t\}$ (ตัวอักษรและ ) $t$

ดังนั้นการสร้างความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายต่อไป : กำหนดที่แท้จริงให้กับแต่ละตัวแปรเช่นที่เท็จกำหนดให้แต่ละตัวแปรเช่นที่และกำหนด ตัวแปรที่เหลืออยู่โดยพลการ $\phi$ $x_i$ $P_i=\{x_i, t\}$ $x_i$ $P_i=\{\overline x_i, t\}$

ขั้นตอนที่ 2.อินสแตนซ์ผลิตข้างต้นไม่ตอบสนองข้อ จำกัด ที่ที่ระบุไว้ในคำอธิบายปัญหา แก้ไขข้อบกพร่องดังต่อไปนี้ สั่งซื้อชุดและองค์ประกอบในเพื่อให้แต่ละเดี่ยวชุดที่สอดคล้องกับองค์ประกอบของฉันให้เป็นจำนวนส่วนคำสั่งในดังนั้น $(F,U,k=3)$ $e_i \in F_i$ $F_i$ $e_i$ $U$ $e_i$ $m$ $\phi$ และ n $|F|=1+4n+m$ $|U|=1+3n$

Let $(F', U', k'=4)$ denote the instance obtained as follows. Let $A$ be a set of $2n+2m$ new artificial elements, two for each non-singleton set in $F$ . Let $U'=U\cup A$ . Let $F'$ contain the singleton sets from $F$ , plus, for each non-singleton set $F_i$ in $F$ , two sets $F_i\cup \{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i,a_i'\}$ , where $a_i$ and $a_i'$ are two elements in $A$ chosen uniquely for $F_i$ . Now $|F'|=|U'|=1+5n+2m$ and (with the proper ordering of $F'$ and $U'$ ) the constraint $e'_i\in F'_i$ is met for each set $F'_i$ .

To finish, note that $(F',U',k'=4)$ has a solution of cost $|A|+5n+1$ iff the original instance $(F, U, k=3)$ has a solution of cost $5n+1$ .

(if) Given any solution $C$ of cost $5n+1$ for $(F,U,k=3)$ , adding the $n+m$ sets $\{a_i, a'_i\}$ (one for each non-singleton $F_i$ , so these partition $A$ ) to $C$ gives a solution to $(F', U', k'=4)$ of cost $|A|+cost(C)=|A|+5n+1$ .

(only if) Consider any solution $C'$ for $(F', U',k=4)$ of cost $|A|+5n+1$ . Consider any pair of non-singleton sets $F_i\cup\{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i, a_i'\}$ in $F'$ . Each is the disjoint union of at most 4 sets in $C'$ . By a local-exchange argument, one of these sets is $\{a_i, a_i'\}$ and the rest don't contain $a_i$ or $a_i'$ --- otherwise this property can be achieved by a local modification to the sets, without increasing the cost... (lack of detail here is why I'm calling this a proof sketch). So removing the $\{a_i, a_i'\}$ sets from $C'$ gives a solution $C$ for $(F,U,k=3)$ of cost $5n+1$ . $\diamond$

— Neal Young
แหล่งที่มา