การกำจัดแบบเกาส์ในแง่ของการกระทำกลุ่ม

การกำจัดแบบเกาส์ทำให้ตัวกำหนดเมทริกซ์เวลาคำนวณได้ การลดลงของความซับซ้อนในการคำนวณปัจจัยซึ่งเป็นตัวเลขที่มิฉะนั้นสรุปของคำชี้แจงเป็นเพราะการปรากฏตัวของสัญญาณเชิงลบอื่น (ขาดซึ่งทำให้การคำนวณถาวร . คือยากแล้วปัญหา ) สิ่งนี้นำไปสู่การจัดเรียงของสมมาตรในปัจจัยเช่นการแลกเปลี่ยนของแถวหรือคอลัมน์เพียงแค่ย้อนกลับสัญญาณ ฉันอ่านบางที่อาจเกี่ยวกับอัลกอริทึมโฮโลแกรมที่แนะนำโดย Valiant การกำจัดแบบเกาส์สามารถอธิบายได้ในแง่ของการกระทำของกลุ่มและสิ่งนี้นำไปสู่เทคนิคทั่วไปในการลดความซับซ้อนN P -$\#P\mbox{-}hard$$NP\mbox{-}C$

นอกจากนี้ฉันรู้สึกว่าเกือบทุกแหล่งที่มาของการลดความซับซ้อนสำหรับปัญหาการคำนวณใด ๆ ที่เป็นปัจจุบันสมมาตร จริงป้ะ? เราสามารถทำสิ่งนี้อย่างจริงจังในเชิงทฤษฎีกลุ่มได้หรือไม่

แก้ไข

ผมพบว่าการอ้างอิง (pg 2 บรรทัดสุดท้ายของย่อหน้าที่สอง) ฉันไม่เข้าใจกระดาษอย่างถูกต้องหากคำถามของฉันอยู่บนพื้นฐานความเข้าใจผิดของกระดาษโปรดแก้ไขฉันด้วย

ในกรณีของดีเทอร์มิแนนต์การกำจัดแบบเกาส์สามารถถูกมองว่าเทียบเท่ากับความคิดที่ว่าดีเทอร์มิแนนต์มีกลุ่มสมมาตรขนาดใหญ่ (ในรูปแบบเฉพาะ) และมีลักษณะโดยกลุ่มสมมาตรนั้น (หมายถึงระดับเอกพันธ์เดียวกันพหุนามในตัวแปรที่มีสมมาตรเหล่านั้นจะต้องเป็นสเกลาร์หลายตัวของดีเทอร์มิแนนต์) (และตามที่ @Tsuyoshi Ito ชี้ให้เห็นว่าสมมาตรของผู้ถาวรดูเหมือนจะไม่ช่วยคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพแม้ว่าถาวรจะมีลักษณะที่สมมาตร แต่กลุ่มสมมาตรนั้นมีขนาดเล็กกว่าตัวกำหนดมาก)$n$$n^2$

คุณสามารถค้นหาเขียนขึ้นนี้ - ที่สมมาตรของปัจจัยที่ใช้ในการทำกำจัดแบบเกาส์พร้อมพิสูจน์วิธีการที่ปัจจัยที่เป็นลักษณะสมมาตรของ - ในโจทย์ 3.4.3 ของวิทยานิพนธ์ของฉันปลั๊กตนเอง (ไร้ยางอาย - แต่ นอกจากนี้ฉันไม่เคยเห็นมันใช้ถ้อยคำแบบนี้มาก่อนและเขียนรายละเอียดแบบเต็มขณะที่ OP ร้องขอ แต่ฉันแน่ใจว่ามันเสร็จแล้วฉันจะมีความสุขถ้ามีคนอื่นที่มีการอ้างอิง)

สำหรับแนวคิดที่ว่าสมมาตรจะนำไปสู่การลดความซับซ้อนเสมอ (หรือไม่) นอกเหนือจากสิ่งที่อยู่ในความคิดเห็นแล้วให้ดูคำถามนี้และคำตอบ

ประเด็นที่น่าสนใจคือในบทความแรกของ Valiant เกี่ยวกับสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพีชคณิตรุ่นของ Valiant เขาได้พยายามทำให้ประเด็นที่ว่าเหตุผลหนึ่งที่ตัวกำหนดมีความสำคัญในการคำนวณก็คือเพราะทุกอย่างที่มีประสิทธิภาพ ลดลงเป็นพีชคณิตเชิงเส้นและจากนั้นเป็นการคำนวณของดีเทอร์มิแนนต์เช่นอัลกอริทึม FKT สำหรับการนับการจับคู่ในกราฟระนาบ แน่นอนว่านี่เป็นการพูดเกินจริง แต่ยังคงเป็นภาระโดยการวิจัยเกี่ยวกับอัลกอริทึมโฮโลแกรมซึ่งมักลดการคำนวณ Pfaffian (ญาติสนิทของดีเทอร์มิแนนต์) Valiant แน่นอนรู้ว่านี่เป็นการพูดเกินจริง แต่นี่เป็นคำพูดที่ถูกต้องเพียงเพื่อให้แน่ใจว่าฉันไม่ได้บิดเบือนความจริง ( L. Valiant เรียนสมบูรณ์ในพีชคณิต ACM STOC 1979 ):

ข้อสรุปหลักของเราสามารถสรุปคร่าว ๆ ดังนี้:

(a) พีชคณิตเชิงเส้นเป็นการเสนอเทคนิคที่รวดเร็วเพียงวิธีเดียวสำหรับการคำนวณหลายชื่อแบบหลายตัวแปรในระดับปานกลาง

(b) ...

มีหลายกรณีที่ความสมมาตรของปัญหา (ดูเหมือน) บ่งบอกถึงความซับซ้อนของมัน ตัวอย่างที่น่าสนใจอย่างหนึ่งคือปัญหาความพึงพอใจของข้อ จำกัด (CSPs)

ความหมายของ CSP

CSP ได้รับจากโดเมนและภาษาข้อ จำกัด ( ฟังก์ชัน -ary จากถึง ) ความพึงพอใจของอินสแตนซ์ จำกัด จะได้รับจากการตั้งค่าของตัวแปรและข้อ จำกัด จาก\วิธีแก้ปัญหาสำหรับอินสแตนซ์คือการกำหนดซึ่งเป็นไปตามข้อ จำกัด ทั้งหมด$U$$\Gamma$$k$$U^k$$\{0, 1\}$$V$$\Gamma$$\phi:V \rightarrow U$

ยกตัวอย่างเช่นในภาษานี้ 3 SAT จะได้รับจากซึ่งเป็นชุดของ disjunctions ทั้งหมดของ 3 ตัวอักษรที่เป็นเพียง\} สำหรับอีกตัวอย่างหนึ่งของระบบสมการเชิงเส้น mod 2 จะได้รับโดยซึ่งเป็นสมการเชิงเส้นทั้งหมด mod 2ตัวแปรและเป็นอีกครั้ง\}$\Gamma$$U$$\{0, 1\}$$\Gamma$$k$$U$$\{0, 1\}$

ความหลากหลาย

มีความรู้สึกที่ความแข็งของ CSP นั้นมีลักษณะที่สมมาตร สมมาตรที่เป็นปัญหานี้เรียกว่า polymorphisms polymorphism เป็นวิธีการในท้องถิ่นรวมการแก้ปัญหาหลายอย่างเพื่อ CSP ที่จะได้รับการแก้ปัญหาใหม่ ในพื้นที่ที่นี่หมายความว่ามีฟังก์ชั่นที่ใช้กับตัวแปรแต่ละตัวแยกกัน แม่นยำมากขึ้นถ้าคุณมีวิธีแก้ปัญหาหลายอย่าง (การมอบหมายที่น่าพอใจ) , polymorphism คือฟังก์ชันที่สามารถใช้กับแต่ละตัวแปรเพื่อรับโซลูชันใหม่ :(V)) สำหรับเป็น polymorphism มันควรแมป tuples ทั้งหมดของ f : U t → U ϕ ϕ ( v ) = f ( ϕ 1 ( v ) , … , ϕ t ( v ) ) f $\phi_1, \ldots, \phi_t$$f:U^t \rightarrow U$$\phi$$\phi(v) = f(\phi_1(v), \ldots, \phi_t(v))$$f$$t$ พอใจการมอบหมายไปยังอินสแตนซ์ใด ๆ เพื่อมอบหมายที่น่าพอใจของอินสแตนซ์เดียวกัน

polymorphism สำหรับระบบสมการเชิงเส้นสำหรับตัวอย่างคือ2 ขอให้สังเกตว่าy ตอบสนองว่าคุณสมบัตินี้เป็นที่รู้จักกันเป็นงาน Maltsev CSPs ที่มีความแตกต่างของ Maltsev สามารถแก้ไขได้โดยการกำจัดแบบเกาส์เซียน$f(x, y, z) = x + y + z \pmod 2$$f(x, x, y) = f(y, x, x) = y$$f$

บนมืออื่น ๆ , disjunctions 3 ตัวอักษรมีเพียงเผด็จการเป็นความหลากหลายเช่นฟังก์ชั่นประเภทx$f(x, y) = x$

ความหลากหลายและความซับซ้อน (การคาดเดาขั้วคู่)

ความหลากหลายในความเป็นจริงมีผลกระทบต่อการคำนวณ: ถ้า CSPยอมรับความหลากหลายทั้งหมดของแล้วเป็นพหุนามเวลาออกซิเจน\นี่เป็นวิธีที่จะกล่าวอย่างเป็นทางการว่า CSPซึ่ง "สมมาตรน้อยกว่า" กว่า CSPอื่น ๆ ที่จริงแล้วนั้นยากกว่า$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_2$$\Gamma_1$

ปัญหาเปิดที่สำคัญในทฤษฎีความซับซ้อนคือการระบุลักษณะความแข็งของ CSP การคาดเดาการแบ่งขั้วของเฟดเดอร์และวาร์ดีระบุว่า CSP ใด ๆ เป็น P หรือ NP-complete การคาดคะเนสามารถลดลงเป็นคำแถลงเกี่ยวกับ polymorphisms: CSP คือ NP-hard ถ้าหากว่า polymorphisms เพียงอันเดียวที่ยอมรับก็คือ "เผด็จการ" (ไม่เช่นนั้นจะอยู่ใน P) เช่น CSP นั้นยากหากไม่มีวิธีในท้องถิ่นในการสร้างโซลูชันใหม่ของแท้จากโซลูชันเดิม ทราบว่าถ้าส่วนหนึ่ง (ความแข็ง) แต่จะเปิดถ้าส่วนหนึ่งเท่านั้น (การออกแบบอัลกอริทึม polytime)

อย่างไรก็ตามกรณีที่สำคัญที่เรามีการแบ่งขั้วเป็นบูลีน CSPs (โดยที่ ) ตามทฤษฎีบทของ Schaefer , บูลีน CSP อยู่ใน P ถ้ายอมรับหนึ่งใน 6 พหุสัณฐานอย่างอื่น, มิฉะนั้นมันจะเป็น NP-complete ความหลากหลายที่แตกต่างกันหกอย่างนั้นเป็นสิ่งที่คุณต้องการในการแก้ปัญหาไม่ว่าจะโดยการกำจัดเกาส์เซียนหรือการเผยแพร่ (เช่นที่คุณทำกับ horn-sat เป็นต้น) หรือเพื่อแก้ปัญหาโดยการมอบหมายเล็กน้อย$U = \{0, 1\}$

อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับความหลากหลายพีชคณิตสากลและการคาดเดาขั้วที่คุณสามารถมองไปที่การสำรวจโดย Bulatov

ความหลากหลายและความสามารถประมาณได้

ฉันยังแนะนำการบรรยาย IAS โดย Prasad Raghavendraซึ่งเขาให้ผลลัพธ์ของเขาให้การประมาณค่าที่เหมาะสมที่สุดของ CSP ใด ๆ โดยถือว่าการคาดการณ์เกมที่ไม่ซ้ำกันในกรอบที่คล้ายกัน ในระดับสูงหากความแตกต่างทั้งหมด (สิ่งนี้จะต้องมีการสรุปเพื่อจัดการกับปัญหาการประมาณ) ของ CSP อยู่ใกล้กับเผด็จการหนึ่งสามารถใช้ CSP เพื่อออกแบบวิธีการทดสอบว่าฟังก์ชั่นเป็นเผด็จการและกลายเป็น เป็นทุกอย่างที่คุณต้องการเพื่อลดความแข็งของเกมโดยประมาณ สิ่งนี้ให้ทิศทางความแข็งของผลลัพธ์ของเขา ทิศทางอัลกอริทึมคือเมื่อ CSP มี polymorphism ซึ่งอยู่ไกลจากเผด็จการเราสามารถใช้หลักการ invariance (การวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง) เพื่อยืนยันว่าอัลกอริทึมการปัดเศษ SDP ให้การประมาณที่ดี สัญชาตญาณแบบร่างจริง ๆ สำหรับส่วนอัลกอริทึม: ความแตกต่างที่อยู่ไกลจากเผด็จการไม่ได้ ไม่สนใจว่าจะถูกกำหนดเป็นอาร์กิวเมนต์ (การกระจายผ่าน) การมอบหมายตัวแปรหรือตัวแปรสุ่มเกาส์เซียนที่ประมาณการกระจายการมอบหมายตัวแปร นี่เป็นวิธีเดียวกับที่ฟังก์ชั่นผลรวม "ไม่สนใจ" ถ้ามันได้รับตัวแปรสุ่มแบบแยกกับความแปรปรวนขนาดเล็กหรือ Gaussian rv ที่มีความแปรปรวนเดียวกันโดยทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง ตัวแปรสุ่มแบบเกาส์ที่เราต้องการนั้นสามารถคำนวณได้จากการผ่อนคลาย SDP ของปัญหา CSP ดังนั้นเราจึงพบความแตกต่างที่อยู่ไกลจากเผด็จการป้อนตัวอย่างเกาส์นและกลับไปหาทางออกที่ดี ถ้ามันเป็นตัวแปรสุ่มแยกต่อเนื่องที่มีความแปรปรวนขนาดเล็กหรือ rv ของ gaussian ที่มีความแปรปรวนเดียวกันโดยทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง ตัวแปรสุ่มแบบเกาส์ที่เราต้องการนั้นสามารถคำนวณได้จากการผ่อนคลาย SDP ของปัญหา CSP ดังนั้นเราจึงพบความแตกต่างที่อยู่ไกลจากเผด็จการป้อนตัวอย่างเกาส์นและกลับไปหาทางออกที่ดี ถ้ามันเป็นตัวแปรสุ่มแยกต่อเนื่องที่มีความแปรปรวนขนาดเล็กหรือ rv ของ gaussian ที่มีความแปรปรวนเดียวกันโดยทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง ตัวแปรสุ่มแบบเกาส์ที่เราต้องการนั้นสามารถคำนวณได้จากการผ่อนคลาย SDP ของปัญหา CSP ดังนั้นเราจึงพบความแตกต่างที่อยู่ไกลจากเผด็จการป้อนตัวอย่างเกาส์นและกลับไปหาทางออกที่ดี