คำถามติดแท็ก algebraic-complexity

บางครั้งก็อ้างว่าทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิตของ Ketan Mulmuley เป็นโปรแกรมที่มีเหตุผลเพียงอย่างเดียวสำหรับการตั้งคำถามเปิดของทฤษฎีความซับซ้อนเช่น P กับคำถาม NP มีข้อคิดเห็นเชิงบวกหลายประการจากนักทฤษฎีความซับซ้อนที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับโปรแกรม ตาม Mulmuley มันจะใช้เวลานานเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ การเข้าสู่พื้นที่นั้นไม่ใช่เรื่องง่ายสำหรับนักทฤษฎีความซับซ้อนทั่วไปและต้องการความพยายามอย่างมากในการจัดการกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีการเป็นตัวแทน ทำไม GCT จึงถูกพิจารณาว่ามีความสามารถในการชำระ P vs. NP? มูลค่าของการเรียกร้องคืออะไรหากคาดว่าจะใช้เวลานานกว่า 100 ปีกว่าจะถึงที่นั่น? อะไรคือข้อดีของวิธีการปัจจุบันอื่น ๆ และสิ่งที่อาจเพิ่มขึ้นในอีก 100 ปีข้างหน้า? สถานะปัจจุบันของโปรแกรมคืออะไร? เป้าหมายต่อไปของโปรแกรมคืออะไร? มีการวิจารณ์พื้นฐานของรายการหรือไม่? ฉันต้องการคำตอบที่เข้าใจได้โดยนักทฤษฎีความซับซ้อนทั่วไปที่มีพื้นฐานน้อยที่สุดจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีการเป็นตัวแทน

38 cc.complexity-theory  big-picture  algebraic-complexity  p-vs-np  gct 

เท่าที่ฉันเข้าใจโปรแกรมทฤษฎีความซับซ้อนทางเรขาคณิตพยายามแยกโดยพิสูจน์ว่าการเปลี่ยนแปลงของเมทริกซ์เชิงซ้อนที่มีค่าเชิงซ้อนนั้นยากต่อการคำนวณมากกว่าตัวกำหนดVP≠VNPVP≠VNPVP \neq VNP คำถามที่ฉันได้หลังจาก skimming ผ่าน GCT เอกสาร: Would นี้ทันทีเปรยหรือมันเป็นเพียงขั้นตอนที่สำคัญต่อเป้าหมายนี้หรือไม่?P≠NPP≠NPP \neq NP

37 cc.complexity-theory  complexity-classes  algebraic-complexity  conditional-results  gct 

โดยทั่วไปเรารู้ว่าความซับซ้อนของการทดสอบว่าฟังก์ชั่นรับค่าเฉพาะที่อินพุตที่กำหนดหรือไม่นั้นง่ายกว่าการประเมินฟังก์ชั่นที่อินพุตนั้น ตัวอย่างเช่น: การประเมินค่าถาวรของเมทริกซ์จำนวนเต็มแบบไม่ลบคือ # P-hard แต่ยังบอกได้ว่าค่าดังกล่าวถาวรเป็นศูนย์หรือไม่ใช่ศูนย์อยู่ใน P (การจับคู่แบบสองฝ่าย) นอกจากนี้ตัวเลขจริง n 1 , . . , nเช่นว่าพหุนามΠ n ฉัน= 1 ( x - ฉัน )มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ (ที่จริงชุดใหญ่ของnตัวเลขจริงจะมีคุณสมบัติเหล่านี้) สำหรับอินพุตที่กำหนดxการทดสอบว่าพหุนามนี้เป็นศูนย์ใช้เวลาΘ ( log n ) การคูณและการเปรียบเทียบ (โดยผลลัพธ์ของ Ben-Or หรือไม่เนื่องจากชุดศูนย์มีna1, . . . ,na1,...,ana_1,...,a_nΠni = 1( x - aผม)∏i=1n(x−ai)\prod_{i=1}^{n}(x - a_i)nnnxxxΘ ( บันทึกn )Θ(log⁡n)\Theta(\log n)nnnองค์ประกอบ) แต่การประเมินพหุนามข้างต้นนั้นใช้เวลาอย่างน้อยขั้นตอนโดยแพ็ตเตอร์สัน-StockmeyerΩ …

36 cc.complexity-theory  reference-request  algebraic-complexity 

ให้เป็นจำนวนเต็มบวกคงที่ของขนาดบิตAAAnnn หนึ่งรายการได้รับอนุญาตให้ประมวลผลจำนวนเต็มนี้ล่วงหน้าตามความเหมาะสม ด้วยจำนวนเต็มบวกขนาดบิตบวกความซับซ้อนของการคูณคืออะไร?BBBmmmABABAB โปรดทราบว่าเรามีอัลกอริทึม แบบสอบถามที่นี่คือว่าเราสามารถใช้\ epsilon = 0โดยอะไรที่ฉลาดกว่านี้ไหม?(max(n,m))1+ϵ(max(n,m))1+ϵ(\max(n,m))^{1+\epsilon}ϵ=0ϵ=0\epsilon=0

35 cc.complexity-theory  ds.algorithms  circuit-complexity  algebraic-complexity  arithmetic-circuits 

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้เห็นหลายบทความเกี่ยวกับ arxiv ที่อ้างถึงระบบพิสูจน์ที่เรียกว่าผลรวมของกำลังสอง ใครสามารถอธิบายสิ่งที่เป็นหลักฐานรวมของสี่เหลี่ยมและทำไมหลักฐานดังกล่าวมีความสำคัญ / น่าสนใจ? พวกเขาเกี่ยวข้องกับระบบพิสูจน์เชิงพีชคณิตอื่น ๆ อย่างไร พวกเขาเป็นคู่กับ Lassere บ้างไหม?

23 cc.complexity-theory  lo.logic  algebraic-complexity  proof-complexity  sum-of-squares 

ทฤษฎีหมวดหมู่และพีชคณิตนามธรรมเกี่ยวข้องกับการทำงานของฟังก์ชั่นที่สามารถรวมกับฟังก์ชั่นอื่น ๆ ทฤษฎีความซับซ้อนเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่ยากในการคำนวณ มันแปลกสำหรับฉันที่ฉันไม่ได้เห็นใครรวมสาขาการศึกษาเหล่านี้เนื่องจากพวกเขาดูเหมือนคู่ธรรมชาติดังกล่าว มีใครทำแบบนี้มาก่อนหรือไม่ เป็นตัวอย่างที่สร้างแรงบันดาลใจลองมาดูที่ Monoids เป็นที่ทราบกันดีว่าหากการดำเนินการเป็นโมฆะเราสามารถดำเนินการขนานได้ ตัวอย่างเช่นใน Haskell เราสามารถกำหนดได้ว่าการเติมเป็น monoid เหนือจำนวนเต็มเช่นนี้: instance Monoid Int where mempty = 0 mappend = (+) ตอนนี้ถ้าเราต้องการคำนวณผลรวมของ 0 ถึง 999 เราสามารถทำได้ตามลำดับดังนี้: foldl1' (+) [0..999] หรือเราทำแบบขนาน mconcat [0..999] -- for simplicity of the code, I'm ignoring that this doesn't *actually* run in parallel แต่การทำให้ขนาน …

18 cc.complexity-theory  algebra  algebraic-complexity 

ในขณะที่อ่านกระดาษเกี่ยวกับการใช้วิธีพีชคณิตเพื่อตรวจจับกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำบางอย่างปรากฏว่าอุดมคติในอุดมคติเป็นเครื่องมือสำคัญที่เชื่อมต่อพีชคณิตเชิงสลับและทฤษฎีกราฟ เนื่องจากฉันไม่คุ้นเคยกับการคำนวณวัตถุพีชคณิตมีการอ้างอิงหรือหนังสือที่ดีในหัวข้อนี้หรือไม่ ความพิเศษในการเป็นตัวแทนของแหวน R บนเครื่องทัวริงและความซับซ้อนของการตัดสินใจคุณสมบัติพื้นฐานบน R (พูดความสูงของอุดมคติในนายกในอาร์)

17 ds.algorithms  reference-request  algebra  algebraic-complexity 

คำถามนี้สามารถถามได้ทั้งในกรอบความซับซ้อนของวงจรของวงจรบูลีนหรือในกรอบของทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพีชคณิตหรืออาจอยู่ในการตั้งค่าอื่น ๆ มากมาย มันง่ายที่จะแสดงด้วยการนับการโต้แย้งว่ามีฟังก์ชั่นบูลีนในอินพุต N ที่ต้องการประตูจำนวนมากแทน (แม้ว่าแน่นอนว่าเราไม่มีตัวอย่างที่ชัดเจน) สมมติว่าฉันต้องการประเมินฟังก์ชั่นเดียวกัน M ครั้งสำหรับจำนวนเต็ม M บางตัวใน M ของชุดอินพุตที่แตกต่างกันดังนั้นจำนวนอินพุตทั้งหมดคือ MN นั่นก็คือเราเพียงต้องการที่จะประเมินสำหรับฟังก์ชั่นเดียวกันฉที่ในแต่ละครั้งf(x1,1,...,x1,N),f(x2,1,...,x2,N),...,f(xM,1,...,xM,N)f(x1,1,...,x1,N),f(x2,1,...,x2,N),...,f(xM,1,...,xM,N)f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})fff คำถามคือ: เป็นที่ทราบกันหรือไม่ว่ามีลำดับของฟังก์ชัน (หนึ่งฟังก์ชันสำหรับแต่ละ N) เช่นนั้นสำหรับ N ใด ๆ สำหรับ M ใด ๆ จำนวนประตูทั้งหมดที่ต้องการนั้นอย่างน้อยเท่ากับ M คูณฟังก์ชันเลขชี้กำลังของ N? อาร์กิวเมนต์การนับอย่างง่ายดูเหมือนจะไม่ทำงานเนื่องจากเราต้องการให้ผลลัพธ์นี้เก็บไว้สำหรับ M. One ทุกคนสามารถเกิดขึ้นได้กับ analogues ที่เรียบง่ายของคำถามนี้ในทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพีชคณิตและด้านอื่น ๆfff

15 cc.complexity-theory  circuit-complexity  algebraic-complexity 

ในคำถามนี้ฉันสนใจ vs. /ปัญหาสำหรับเขตร้อนและB P P P P o L YBPP\mathbf{BPP}P\mathbf{P}poly\mathrm{poly} ( สูงสุด, + ) ( นาที, + )(max,+)(\max,+)(min,+)(\min,+)วงจร คำถามนี้ลดการแสดงขอบเขตด้านบนสำหรับมิติ VC ของพหุนามในช่วงรอบเขตร้อน (ดูทฤษฎีบทที่ 2 ด้านล่าง) ให้เป็น semiring ศูนย์รูปแบบลำดับของมีหลายชื่อในเป็นส่วนหนึ่งที่มีอยู่และดังที่ทุก , IFFS นั่นคือกราฟของว่ามีหลายชื่อเหล่านั้นกับต้องตีจุด1} ("Zero-pattern" เนื่องจากเงื่อนไขสามารถถูกแทนที่ด้วยRRR(f1,…,fm)(f1,…,fm)(f_1,\ldots,f_m)mmmR[x1,…,xn]R[x1,…,xn]R[x_1,\ldots,x_n]S⊆{1,…,m}S⊆{1,…,m}S\subseteq \{1,\ldots,m\}x∈Rnx∈Rnx\in R^ny∈Ry∈Ry\in Ri=1,…,mi=1,…,mi=1,\ldots,mfi(x)=yfi(x)=yf_i(x)= yi∈Si∈Si\in Sfifif_ii∈Si∈Si\in S(x,y)∈Rn+1(x,y)∈Rn+1(x,y)\in R^{n+1}fi(x)=yfi(x)=yf_i(x)=yfi(x)−y=0fi(x)−y=0f_i(x)-y=0 ) อนุญาตZ(m)Z(m)Z(m)= จำนวนที่เป็นไปสูงสุดของศูนย์รูปแบบของการลำดับของพหุนามของระดับที่มากที่สุดdดังนั้นเมตร มิติ Vapnik-Chervonenkisปริญญามีหลายชื่อคือ \} mmmddd0≤Z(m)≤2m0≤Z(m)≤2m0\leq Z(m)\leq 2^mdddVC(n,d):=max{m:Z(m)=2m}VC(n,d):=max{m:Z(m)=2m}VC(n,d) := \max\{m\colon …

14 co.combinatorics  circuit-complexity  algebraic-complexity  arithmetic-circuits  vc-dimension 

ฉันต้องการเรียนรู้เกี่ยวกับอัลกอริทึมพีชคณิตและความซับซ้อนของ thoery โดยเฉพาะฉันสนใจ PIT มีชุดบรรยายเอกสารหนังสือและแบบสำรวจสำหรับนักเรียนที่อ่านตำรามาตรฐานเกี่ยวกับทฤษฎีเช่นหนังสือ Sipser's หรือตำราเรียนที่ซับซ้อนของ Arora-Barak ชุดการอ้างอิงจะรวมผลลัพธ์ขั้นสูงเมื่อเร็ว ๆ นี้

14 cc.complexity-theory  reference-request  algebraic-complexity  arithmetic-circuits 

ระบบเข้ารหัสคีย์สาธารณะจำนวนมากมีความปลอดภัยที่พิสูจน์ได้ ตัวอย่างเช่นระบบการเข้ารหัสลับของ Rabinนั้นยากที่จะพิสูจน์ให้เห็น ฉันสงสัยว่าความปลอดภัยที่พิสูจน์ได้ดังกล่าวมีอยู่สำหรับระบบเข้ารหัสลับที่เป็นความลับเช่น AES หรือไม่ ถ้าไม่เป็นเช่นไรหลักฐานที่แสดงว่าการทำลาย cryptosystem นั้นยากหรือไม่ (นอกเหนือจากความต้านทานต่อการโจมตีแบบลองผิดลองถูก) หมายเหตุ:ฉันคุ้นเคยกับการทำงานของ AES (AddRoundKey, SubBytes, ShiftRows และ MixColumns) ดูเหมือนว่าความแข็งของ AES เกิดจากการดำเนินการ MixColumns ซึ่งจะต้องสืบทอดความยากลำบากจากปัญหาที่ยากกว่า Galois Fields (และพีชคณิต) ในความเป็นจริงฉันสามารถย้ำคำถามของฉันเป็น: " ปัญหาพีชคณิตยากซึ่งรับประกันความปลอดภัยของ AES?"

14 cr.crypto-security  algebra  algebraic-complexity 

สูตรที่เล็กที่สุดที่รู้จักกันสำหรับปัจจัยที่มีขนาดตามที่ชาวบ้าน (หรือจะวิ่ง Raz ในกระดาษหลายแนวตรงสูตรสำหรับถาวรและปัจจัยที่มีขนาด Super-พหุนาม )nO (บันทึกn )nO(เข้าสู่ระบบ⁡n)n^{\mathcal O(\log n)} คุณมีข้อมูลอ้างอิงเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่? โดยเฉพาะสูตรนี้คืออะไร?

13 cc.complexity-theory  reference-request  algebraic-complexity  determinant 

ในขั้นตอนวิธีเชิงตรรกะเชิงทฤษฎีของกลุ่มกระดาษสำหรับการคูณเมทริกซ์ , Cohn, Kleinberg, Szegedy และ Umans นำเสนอแนวคิดของปริศนาที่ไม่ซ้ำกันที่แก้ไขได้ (กำหนดไว้ด้านล่าง) และความสามารถของ USP พวกเขาอ้างว่าทองแดงและ Winograd ในกระดาษแหวกแนวของตัวเองคูณเมทริกซ์ผ่านการก้าวหน้าเลขคณิต "โดยปริยาย" พิสูจน์ให้เห็นว่ากำลังการผลิต USP เป็น3/22/33/22/33/2^{2/3} 3 การอ้างสิทธิ์นี้ถูกกล่าวซ้ำในที่อื่น ๆ (รวมถึงที่นี่ในโรงเก็บเงิน) แต่ไม่มีคำอธิบายที่จะพบได้ ด้านล่างนี้เป็นความเข้าใจของฉันเองเกี่ยวกับสิ่งที่ Coppersmith และ Winograd พิสูจน์และทำไมยังไม่เพียงพอ มันเป็นความจริงที่ความจุ USP เป็น3/22/33/22/33/2^{2/3} ? ถ้าเป็นเช่นนั้นมีการอ้างอิงสำหรับการพิสูจน์หรือไม่? ปริศนาที่ไม่ซ้ำกันแก้ไขได้ ปริศนาที่ไม่ซ้ำกันที่แก้ไขได้ (USP) ของความยาวnnnและความกว้างkkkประกอบด้วยส่วนย่อยของ{1,2,3}k{1,2,3}k\{1,2,3\}^kของขนาดnnnซึ่งเราคิดว่าเป็น "คอลเลกชัน" nnn " สามชิ้น (ตรงกับสถานที่ที่ เวกเตอร์คือ111 , สถานที่ที่พวกเขาเป็น222 , และสถานที่ที่พวกเขาเป็น333 ), พอใจทรัพย์สินต่อไปนี้ สมมติว่าเราจัดเรียง111ชิ้นทั้งหมดในnnnเส้น …

13 ds.algorithms  co.combinatorics  algebraic-complexity  matrix-product 

การกำจัดแบบเกาส์ทำให้ตัวกำหนดเมทริกซ์เวลาคำนวณได้ การลดลงของความซับซ้อนในการคำนวณปัจจัยซึ่งเป็นตัวเลขที่มิฉะนั้นสรุปของคำชี้แจงเป็นเพราะการปรากฏตัวของสัญญาณเชิงลบอื่น (ขาดซึ่งทำให้การคำนวณถาวร . คือยากแล้วปัญหา ) สิ่งนี้นำไปสู่การจัดเรียงของสมมาตรในปัจจัยเช่นการแลกเปลี่ยนของแถวหรือคอลัมน์เพียงแค่ย้อนกลับสัญญาณ ฉันอ่านบางที่อาจเกี่ยวกับอัลกอริทึมโฮโลแกรมที่แนะนำโดย Valiant การกำจัดแบบเกาส์สามารถอธิบายได้ในแง่ของการกระทำของกลุ่มและสิ่งนี้นำไปสู่เทคนิคทั่วไปในการลดความซับซ้อนN P - C#P-hard#P-hard \#P\mbox{-}hardNP-CNP-CNP\mbox{-}C นอกจากนี้ฉันรู้สึกว่าเกือบทุกแหล่งที่มาของการลดความซับซ้อนสำหรับปัญหาการคำนวณใด ๆ ที่เป็นปัจจุบันสมมาตร จริงป้ะ? เราสามารถทำสิ่งนี้อย่างจริงจังในเชิงทฤษฎีกลุ่มได้หรือไม่ แก้ไข ผมพบว่าการอ้างอิง (pg 2 บรรทัดสุดท้ายของย่อหน้าที่สอง) ฉันไม่เข้าใจกระดาษอย่างถูกต้องหากคำถามของฉันอยู่บนพื้นฐานความเข้าใจผิดของกระดาษโปรดแก้ไขฉันด้วย

13 cc.complexity-theory  time-complexity  algebraic-complexity  gr.group-theory  determinant 

ปัญหาสำคัญอย่างหนึ่งใน TCS คือปัญหาในการแสดงปัจจัยกำหนดอย่างถาวร ฉันกำลังอ่านกระดาษพิจารณาของ Agrawal เทียบกับปลัดและในวรรคหนึ่งเขาอ้างว่าปัญหาย้อนกลับเป็นเรื่องง่าย มันง่ายที่จะเห็นว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามารถแสดงเป็นค่าคงที่ของเมทริกซ์X related ที่เกี่ยวข้องซึ่งรายการคือ 0, 1, หรือx_ {i, j} s และมีขนาดO (n) (ตั้งค่า รายการของ Xˆ ที่ det Xˆ = det Xและผลิตภัณฑ์ที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงทุกครั้งที่มีรอบสม่ำเสมอเป็นศูนย์)XXXXˆXˆXˆxi,jxi,jx_{i,j}O(n)O(n)O(n)XˆXˆXˆXXX ก่อนอื่นฉันไม่คิดว่าตัวแปร0, 1 และxi,jxi,jx_{i,j}เพียงพอแล้วเพราะเราจะขาดแง่ลบ แต่แม้ว่าเราจะอนุญาตให้ใช้ตัวแปร-1 และ−xi,j−xi,j-x_{i,j}เช่นกันฉันก็ไม่เห็นว่าทำไมการเติบโตของขนาดจึงสามารถสร้างเส้นตรงได้ มีคนช่วยอธิบายการก่อสร้างให้ฉันได้ไหม

12 cc.complexity-theory  algebraic-complexity  permanent  determinant