การตรวจสอบควอนตัมทางเดียว

ทฤษฎีการคำนวณแบบคลัสเตอร์ - สถานะได้รับการยอมรับอย่างดีในขณะนี้แสดงให้เห็นว่าวงจร BQP ใด ๆ สามารถแก้ไขได้ดังนั้นจึงใช้ประตูควอนตัมควอตเดียวเพียงครั้งเดียวอาจควบคุมแบบคลาสสิกได้ เป็นเรื่องง่ายในการผลิตสถานะ Stablizer

คำถามของฉันคือ: เป็นความคิดที่คล้ายกันที่รู้จักกันสำหรับการตรวจสอบควอนตัม - หนึ่งสามารถแทนที่วงจร QMA ด้วยประตู 1-qubit ควบคุมคลาสสิกอาจใช้ "รัฐพิเศษ" บางอย่าง? อย่างน้อยในตอนแรกฉันไม่ชัดเจนว่าทำไมสถานะคลัสเตอร์สามารถทำงานได้ในกรณีนี้

quantum-computing

— Lior Eldar
แหล่งที่มา

ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องปัญหาที่ QMA Merlin มอบให้คุณเป็นหลักฐานควอนตัมที่คุณต้องรวมเข้ากับโมเดลหรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าเป็น QCMA แทนที่จะเป็น QMA ที่เมอร์ลินส่งสตริงคลาสสิกให้คุณแล้วเราก็สามารถใช้ผลลัพธ์ที่ทราบสำหรับ BQP ใช่ไหม

— Robin Kothari

ใช่ที่ถูกต้อง. ขอบคุณที่ทำให้ความแตกต่างนี้

— Lior Eldar

ในการเริ่มต้นเราสามารถถามคำถามเดียวกันสำหรับ BQP: เราสามารถทำการคำนวณควอนตัมใด ๆ ที่ได้รับจากการทำการวัด 1-qubit และให้สถานะของคลัสเตอร์ที่ไม่น่าเชื่อถือ (หรือสถานะอื่น ๆ ที่เหมาะสม)

— Norbert Schuch

คำตอบ:

มีความเป็นไปได้ที่จะ จำกัด ตัวตรวจสอบ QMA ให้เป็นการวัดแบบควิบิตเดี่ยวและก่อนและหลังการประมวลผลแบบดั้งเดิม (ด้วยการสุ่ม) ในขณะที่ยังคงความสมบูรณ์ของ QMA

เพื่อดูว่าทำไมให้เรียนมิลโตเนี่ยน -local ที่สมบูรณ์แบบ QMA บน qubits โดยการเพิ่มอย่างต่อเนื่องของการสั่งซื้อและ rescaling กับปัจจัยที่แฮมิลตันสามารถนำเข้ามาในรูปแบบ ที่ , และ $k$ $\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$

H = \sum_{i} w_{i} h_{i},

$H=\sum_i w_i h_i\ ,$

w_{i} > 0

$w_i>0$

\sum_{i} w_{i} = 1

$\sum_i w_i=1$

โดยที่

เป็นผลิตภัณฑ์ของ Paulis การประมาณค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดของ

ถึงความแม่นยำ

ยังคงเป็น QMA-hard

h_{i} = \frac{1}{2} (I d \pm P_{i})

$h_i = \tfrac12(\mathrm{Id}\pm P_i)$

P_{i}

$P_i$

H

$H$

1 / p o l y (n)

$1/\mathrm{poly}(n)$

ตอนนี้เราสามารถสร้างวงจรที่ใช้การวัดแบบควิบิตเดียวซึ่งกำหนดให้รัฐยอมรับกับความน่าจะเป็น (ซึ่งโดยการก่อสร้างอยู่ระหว่างและ ) ด้วยเหตุนี้เป็นครั้งแรกโดยการสุ่มเลือกหนึ่งของ 's ตามการกระจายฉันจากนั้นวัดแต่ละ Paulis ในและใช้ความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์ซึ่งเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องในขณะนี้เพื่อ $|\psi\rangle$ $1-\langle\psi|H|\psi\rangle$ $0$ $1$ $i$ $w_i$ $P_i$ $\pi$ $\langle\psi|h_i|\psi\rangle$ ผ่าน วงจรนี้ออกผลลัพธ์และการส่งออกมีการกระจายจึงตาม⟩

⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} (1 \pm (- 1)^{π}) \in {0, 1} .

$\langle\psi|h_i|\psi\rangle = \tfrac12(1\pm (-1)^\pi)\in\{0,1\}\ .$

1 - ⟨ ψ | h_{i} | ψ ⟩

$1-\langle\psi|h_i|\psi\rangle$

⟨ ψ | H | ψ ⟩

$\langle\psi|H|\psi\rangle$

นี่คือถ้าเราเลือกใช่ - ตัวอย่างของปัญหามิลโตเนียนในท้องถิ่น (เสร็จสมบูรณ์ QMA) มีสถานะดังกล่าวที่ตรวจสอบนี้จะยอมรับกับความน่าจะเป็นบางขณะที่มิฉะนั้นรัฐใด ๆ จะถูกปฏิเสธด้วยความน่าจะมี )ตัวแปรของ QMA ที่ตัวตรวจสอบถูก จำกัด การวัดหนึ่งควอบิตจึงสมบูรณ์ QMA สำหรับ $|\psi\rangle$ $\ge a$ $\le b$ $a-b>1/\mathrm{poly}(n)$ $1/\mathrm{poly}(n)$ ช่องว่าง ในที่สุด QMA รุ่นนี้สามารถขยายได้โดยใช้เพียงเทคนิคการขยายแบบดั้งเดิมสำหรับ QMA ซึ่งในที่สุดก็พิสูจน์ได้ว่าเป็น QMA ที่สมบูรณ์โดยไม่ขึ้นอยู่กับช่องว่าง (ภายในช่วงเดียวกันกับ QMA)

— Norbert Schuch
แหล่งที่มา

คุณสามารถให้คำอธิบายสั้น ๆ หรืออ้างอิงถึงสาเหตุของปัญหาในการประมาณค่าลักษณะเฉพาะขนาดเล็กที่สุดของ

ยังคงเป็น QMA-hard ขอบคุณ!

H

$H$

— Henry Yuen

H^{'}

$H'$

ϵ = 1 / p o l y (n)

$\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

H = x (H^{'} + y)

$H=x(H'+y)$

x = 1 / p o l y (n)

$x=1/\mathrm{poly}(n)$

y = p o l y (n)

$y=\mathrm{poly}(n)$

H

$H$

x ϵ = 1 / p o l y (n)

$x\epsilon=1/\mathrm{poly}(n)$

h_{i}

$h_i$

h^{'}

$h'$

4^{k}

$4^k$

4^{k} = p o l y (n)

$4^k=\mathrm{poly}(n)$

k = O (\log (n))

$k=O(\log(n))$

P_{i}

$P_i$

t r [P_{i} h^{'}] / 2^{k} \leq ‖ h^{'} ‖_{\infty}

$\mathrm{tr}[P_ih']/2^k\le \|h'\|_\infty$

การตีความคำถามของฉันคือคุณกำลังขอให้เราคิดว่าวงจรการตรวจสอบสำหรับโปรโตคอล QMA ใช้การวัดแบบควิบิตเดียวเท่านั้นหรือไม่? (ความคิดที่ว่าผู้ส่งจะส่งทั้งหลักฐานควอนตัมและสถานะควอนตัมคลัสเตอร์ที่จำเป็นในการใช้วงจรการตรวจสอบเดิมโดย "การคำนวณควอนตัมแบบทางเดียว")

แน่นอนว่าปัญหาคือผู้ตรวจสอบอาจไม่ส่งสถานะคลัสเตอร์ที่ถูกต้องให้คุณเลย ดังนั้นผู้ตรวจสอบจะต้องทดสอบสถานะที่ได้รับเพื่อให้แน่ใจว่าเป็นสถานะคลัสเตอร์จริง ๆ ผู้ตรวจสอบทำสิ่งนี้โดยทำการตรวจวัดแบบควิบิตเดียวและตรวจสอบความสัมพันธ์ตามความต้องการของการตรวจสอบความเสถียร เนื่องจากการทดสอบดังกล่าวมีผลทำลายต่อรัฐจึงจำเป็นต้องมีกระบวนการที่ผู้ตรวจสอบจะได้รับสำเนาของรัฐจำนวนมากตรวจสอบส่วนใหญ่และใช้การสุ่มสำหรับการคำนวณ มีสำเนาจำนวนมากแบบพหุนามเพียงพอหรือไม่

ฉันไม่คิดว่านี่เป็นทฤษฎีบทที่เป็นที่รู้จัก ฉันไม่เห็นตัวอย่างตัวอย่างที่เห็นได้ชัด (ด้วยความคิดของนาที) ดังนั้นจึงอาจเชื่อได้ เทคโนโลยีการพิสูจน์ที่เป็นที่รู้จักในสถานะการทดสอบดูเหมือนว่าควรจะเพียงพอที่จะตรวจสอบเรื่องนี้ ตัวอย่างเช่นดูกระดาษของ Matthew McKague arXiv: 1010.1989 [quant-ph] หากคุณได้รับหลักฐานการทำงานส่งเอกสารไปที่ QIP (กำหนดเวลา 5 ตุลาคม)!

— ไม่ระบุชื่อ
แหล่งที่มา

บางทีฉันอาจเข้าใจผิดคำถามนี้ หากคุณถามว่าคุณสามารถใช้วงจรตรวจสอบสำหรับปัญหาใน QMA โดยใช้การคำนวณตามการวัดหรือไม่โดยที่เมอร์ลินจัดหาเลเยอร์อินพุตและอาร์เธอร์จัดหา qubits เพิ่มเติมทั้งหมดในสถานะทรัพยากรและเข้าร่วม qubits ทั้งสองชุดก่อนเริ่มวัด คำตอบคือใช่เล็กน้อย สิ่งนี้ตามมาโดยตรงจากความจริงที่ว่าวงจรควอนตัมใด ๆ สามารถนำมาใช้เป็นการคำนวณตามการวัดได้ไม่ว่าคุณสนใจเกี่ยวกับอินพุตแบบดั้งเดิมหรือควอนตัม

คุณจะสังเกตเห็นว่าในเอกสารส่วนใหญ่เกี่ยวกับไซต์ป้อนข้อมูลการคำนวณตามการวัดโดยทั่วไปแล้วจะแยกจากไซต์อื่น ๆ และนี่คือสาเหตุ (เช่นโดยเฉพาะเพื่อจัดการกับกรณีของการป้อนข้อมูลควอนตัม)

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

ที่จริงฉันไม่แน่ใจในจุดนี้ ในเอกสารการคำนวณตามการวัดที่ฉันได้ดูการแปลงนั้นมาจากวงจร BQP ใด ๆ ที่มีอินพุตคลาสสิกเป็นวงจรการคำนวณทางเดียวเริ่มต้นจากสถานะคลัสเตอร์ กล่าวคือมันไม่ได้อธิบายว่าเป็นการแปลงที่นำวงจรรวมใด ๆ ที่ไม่มีกฎเกณฑ์ใด ๆ ไปใช้กับวงจรวัดที่ใช้ U_1 โดยไม่คำนึงถึงอินพุต ในขณะที่คำถามความซับซ้อนที่ฉันถามตอนนี้ได้รับการแก้ไขตามคำตอบของ Norbert ฉันยังคงต้องการที่จะเข้าใจประเด็นนี้

— Lior Eldar

@ LiorEldar: จากนั้นคุณควรดูต้นฉบับ Raussendorf และ Briegel หรือ Raussendorf, Browne และ Briegel พวกเขาสร้างวงจรหนึ่งครั้งต่อครั้งอย่างชัดเจนแสดงให้เห็นว่ารูปแบบการวัดแต่ละแบบใช้เกทที่กำหนดบนเลเยอร์อินพุตซึ่งสามารถอยู่ในสถานะใดก็ได้ แน่นอนที่สุดคุณสามารถใช้วงจรโดยพลการในอินพุตโดยพลการ

— Joe Fitzsimons

จริง ๆ แล้ว Lior อยู่ที่นี่ใน Aachen เมื่อเราพูดถึงเรื่องนี้และวิธีหนึ่งที่จะเข้าใจคำถามนี้ขึ้นอยู่กับความคิดนี้: Merlin สามารถให้หลักฐานที่สร้างไว้ในสถานะคลัสเตอร์ (ไม่น่าเชื่อถือ) และ Arthur ใช้การวัดแบบหนึ่งบิต คลัสเตอร์หรือตรวจสอบหลักฐานโดยใช้ MBQC? (อาจมีใครสามารถใช้แนวคิดที่คล้ายกันเช่นเดียวกับใน blind comp. ซึ่งมีการใช้การแก้ไขข้อผิดพลาด) โชคไม่ดีที่เราไม่ต้องการแนวคิดที่ดีในการพิสูจน์ความแข็งของ QMA ;-( อย่างไรก็ตามฉันเชื่อว่ายังคงเป็นคำถามที่น่าสนใจที่จะเข้าใจว่าสิ่งนี้จะได้ผลหรือไม่และคุณจะเป็นผู้เชี่ยวชาญในการแสดงสิ่งนี้ :-)

— Norbert Schuch

@Lior: หากคุณต้องการใช้ MBQC ในการตรวจสอบอินพุตแน่นอนว่าคุณต้องใช้ 2-qubit gates นอกเหนือจากการวัด one-qubit (เนื่องจากคุณต้องยุ่งกับอินพุตด้วยสถานะคลัสเตอร์ของคุณ)

— Norbert Schuch

@Joe: BTW คำถามเดียวกันสำหรับ BQP (เราสามารถเรียกใช้ BQP โดยใช้การวัด 1-qubit โดยใช้สถานะคลัสเตอร์ที่ไม่น่าเชื่อถือ) ยังคงเปิดอยู่แน่นอนและฉันรู้สึกว่าความคิดที่ใช้ในการคำนวณแบบตาบอดอาจเป็นหนทางไป .

— Norbert Schuch