หนึ่งสามารถพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีบท Linial-Mansour-Nisan และความรู้เกี่ยวกับสเปกตรัมฟูริเยร์ของหรือไม่

ผลที่ 1: ทฤษฎีบทของ Linial-Mansour-Nisan กล่าวว่าน้ำหนักของฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่คำนวณโดยวงจรจะเน้นไปที่เซตย่อยที่มีขนาดเล็กและมีความน่าจะเป็นสูง $\mathsf{AC}^0$

ส่งผลให้เกิด 2: $\mathsf{PARITY}$ มีน้ำหนักฟูเรียร์ของความเข้มข้นในการร่วมที่มีประสิทธิภาพของการศึกษาระดับปริญญาn $n$

คำถาม: มีวิธีพิสูจน์ (ถ้าพิสูจน์ได้) $\mathsf{PARITY}$ ไม่สามารถคำนวณได้โดย $\mathsf{AC}^0$ วงจรผ่าน / ใช้ผลลัพธ์ 1 และ 2 หรือไม่?

— Stattrav
แหล่งที่มา

นี่ไม่ใช่การประยุกต์ใช้ที่ชัดเจนของทฤษฎีบท Linial-Mansour-Nisan หรือไม่? วิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบท LMN (โดยเฉพาะไม่ว่าจะพิสูจน์ด้วยการโต้แย้งน่าจะเป็นหรือไม่ก็ตาม) นั้นไม่เกี่ยวข้อง

— Tsuyoshi Ito

ในเวลาเดียวกันทฤษฎีบท Linial-Mansour-Nisan ไม่ได้รับการพิสูจน์โดยสมมติว่าทฤษฎีบท Hastad ใช่ไหม ดูเหมือนว่าฉันจะชอบสุนัขไล่ตามหางของมันเอง ...

— อเลสซานโดรโคเซ็นติโน

นี่คือวิธีการที่ต่ำกว่าผูกพันอยู่กับขนาดของวงจร AC0 ใกล้เคียงกับความเท่าเทียมกันที่ได้มาในบันทึกไรอันดอนเนลล์ ดูข้อพิสูจน์ 32.

— Sasho Nikolov

ฉันคิดว่าคำถามที่น่าสนใจยิ่งกว่าก็คือในความคิดเห็นของคุณ: คือทุกฟังก์ชั่นที่มีสเปกตรัมของฟูริเยร์มุ่งเน้นไปที่สัมประสิทธิ์ระดับต่ำซึ่งคำนวณได้จากวงจร AC0 ขนาดเล็ก

— Sasho Nikolov

@Stattatt จากนั้นคุณสามารถถามคำถามนั้น

— Tyson Williams

ทฤษฎีบท LMN แสดงให้เห็นว่าถ้า f เป็นฟังก์ชันบูลีนคำนวณได้โดยวงจรมีขนาด M $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (\log M)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

คืออะไร แต่ความสัมพันธ์ของฉมีฟังก์ชั่เท่าเทียมกันที่ )ให้จะเป็นส่วนของปัจจัยการผลิตที่แตกต่างจาก Y $|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

ดังนั้นถ้า M เป็นสำหรับจะเท่ากับ , $poly(n)$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

ดังนั้นทฤษฎีบท LMN ไม่เพียง แต่พิสูจน์ว่าไม่สามารถคำนวณได้โดยวงจรแต่ยังแสดงให้เห็นว่ามีความสัมพันธ์ต่ำกับวงจร $PARITY$ $AC^{0}$ $PARITY$ $AC^{0}$

— Tulasi
แหล่งที่มา