ฟังก์ชั่นทั้งหมดที่มีน้ำหนักของฟูเรียร์จดจ่อกับเซตขนาดเล็กที่คำนวณโดยวงจร AC0 หรือไม่?

ฟังก์ชั่นทั้งหมดที่มีน้ำหนักของฟูเรียร์จดจ่ออยู่กับเซตขนาดเล็ก (หรือเงื่อนไขที่มีระดับต่ำ) คำนวณโดยวงจรหรือไม่ $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
แหล่งที่มา

คำถามนี้ฟังดูน่าสนใจ แต่ฉันไม่มีพื้นฐานในการวิเคราะห์ฟูริเยร์ ฉันขอขอบคุณที่อ้างอิงถึงวรรณกรรมที่เกี่ยวข้อง

— Markus

@Markus: หนังสือเล่มนี้ 2.0 โดย Ryan O'Donnell เป็นหนังสืออ้างอิงที่ยอดเยี่ยม: contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod

— Alessandro Cosentino

เกือบจะสนทนากับLinial, Mansour, Nissan 1993 ได้ไหม? ผลลัพธ์ aaronsons, counterexample to Linial-Nissan โดยทั่วไปดูเหมือนจะใกล้เคียง? แต่ imho theres จะต้องมีวิธีการทั่วไปผล 1993 อย่างใด ... อาจจะเป็นวิธีที่ใหญ่ ....

— vzn

อีกแนวคิดที่คล้ายกันแทนที่จะเป็น AC ^ 0 ซึ่งยากที่จะหักล้างจะมีความลึกไม่ จำกัด แต่วงจร จำกัด ของเกตที่มีขอบเขตล้อมรอบด้วยฟังก์ชั่น "เล็ก ๆ " พูดว่าพหุนามเป็นต้น ฯลฯ ? ความสัมพันธ์ระหว่างวงจรโมโนโทนและค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ยังไม่เป็นที่รู้จักกันดี ...

— vzn

ดูเพิ่มเติมpolylogarithmic fools AC ^ 0 วงจรโดย braverman

— vzn

คำตอบ:

ไม่ให้พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้ใน : เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชั่นนี้เป็นเรื่องยากสำหรับ AC 0ในทางกลับกันฟังก์ชั่นนั้นเกือบจะคงที่ดังนั้นสเปกตรัมฟูริเยร์เกือบทั้งหมดจึงอยู่ในระดับแรก $\{0,1\}^n$

f (x) = x_{0} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1}) .

$f(x) = x_0 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1}).$

หากคุณต้องการตัวอย่างที่สมดุลให้พิจารณา ฟังก์ชั่นนี้เกือบเท่ากับดังนั้นสเปกตรัมฟูริเยร์เกือบทั้งหมดจึงอยู่ในสองระดับแรก

g (x) = x_{0} \oplus [x_{1} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1})] .

$g(x) = x_0 \oplus \left[x_1 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1})\right].$

x_{0}

$x_0$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

คุณมีตัวอย่างที่แข็งแกร่งที่ฟังก์ชันไม่สามารถประมาณค่าได้ใน AC0 หรือไม่

— MCH

ฟังก์ชั่นที่เน้นในระดับนั้นมักจะอยู่ใกล้กับฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับดังนั้นหากเราสนใจเฉพาะระดับเท่านั้นไม่มีตัวอย่างที่ชัดเจน

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus ระดับสเปกตรัมของฟูริเยร์หมายความว่าอย่างไร เป็นเรื่องยากที่ฟังก์ชั่นนี้ทำไม ?

A C^{0}

$AC^0$

@Arul ระดับฟูเรียร์ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับชุดของขนาดที่กำหนด เราคิดว่าพวกเขาเป็นคำสั่งในการเพิ่มขนาด สำหรับสาเหตุที่ฟังก์ชั่นนี้ยากสำหรับ AC0 นี่คือแบบฝึกหัด คำแนะนำ: ความเท่าเทียมกันนั้นยากสำหรับ AC0

— Yuval Filmus

มีหลายวิธีที่จะเข้าใจคำถามตามความหมายที่แม่นยำของ "ขนาดเล็ก" และ "สมาธิ"

1) ถ้าคุณพิจารณาฟังก์ชั่นบูลีนเพื่อให้ของบรรทัดฐาน l-2 ของพวกเขาจดจ่อกับขนาดเล็กดังนั้นคำตอบคือไม่ - ฟังก์ชั่นส่วนใหญ่เป็นตัวอย่างเช่นของ l -2 บรรทัดฐานอยู่ในชุด จำกัด และไม่ได้อยู่ใน0} $1-o(1)$ $S$ $1-o(1)$ ${\rm AC^0}$

2) มีทฤษฎีบทของ Bourgain ว่าหากความเข้มข้นอยู่เหนือฟังก์ชันส่วนใหญ่แล้วฟังก์ชันนั้นจะอยู่ที่ประมาณสภาทหารและขึ้นอยู่กับตัวแปร O (1)

3) คุณสามารถถามได้ว่าอิทธิพลทั้งหมดที่คาดหวังของ | S | เกี่ยวกับการแจกแจงที่อธิบายโดยมีขนาดเล็ก สำหรับฟังก์ชั่นในอิทธิพลโดยรวมอยู่ที่มากที่สุด หากอิทธิพลทั้งหมดคือ O (1) ฟังก์ชันจะอยู่ใกล้กับ Junta นั่นคือขึ้นอยู่กับตัวแปร O (1) $\hat f^2(S)$ $AC^0$ ${\rm polylog} (n)$

4) หากมีอิทธิพลต่อการรวมเป็นก็เป็นไปได้ แต่ไม่รู้จักกันว่าฟังก์ชั่นอยู่ใกล้กับฟังก์ชั่นใน 0 $O(\log n)$ $AC^0$

5) หากมีอิทธิพลต่อการรวมเป็นแล้วเป็นไปได้อีกอย่างก็คือฟังก์ชั่นของความลึกและขอบเขตขนาด เป็นไปได้ แต่ไม่ทราบว่าทุกฟังก์ชั่นของผลรวม polylog (n) จะอยู่ใกล้กับฟังก์ชันดังกล่าว $O(polylog (n))$ $n^{polylog (n)}$

— Gil Kalai
แหล่งที่มา