มีคุณสมบัติการกระจายที่“ มากที่สุด” ยากต่อการทดสอบหรือไม่?

อัลกอริทึมการทดสอบการกระจายสำหรับคุณสมบัติการแจกจ่าย P (ซึ่งเป็นเพียงส่วนย่อยของการแจกแจงทั้งหมดผ่าน [n]) ได้รับอนุญาตให้เข้าถึงตัวอย่างตามการแจกแจง D บางส่วนและจำเป็นต้องตัดสินใจ (whp) ถ้าหรือd ( D , P ) > ϵ ( dที่นี่มักจะเป็นℓ 1ระยะทาง) การวัดความซับซ้อนที่พบบ่อยที่สุดคือจำนวนตัวอย่างที่ใช้โดยอัลกอริทึม$D\in P$$d(D,P)>\epsilon$$d$$\ell_1$

ตอนนี้ในการทดสอบคุณสมบัติมาตรฐานที่คุณมีการเข้าถึงแบบสอบถามเพื่อวัตถุบางอย่างขอบเขตเชิงเส้นล่างเชิงเส้นบนความซับซ้อนของแบบสอบถามนั้นชัดเจนว่าเป็นขอบเขตล่างที่แข็งแกร่งที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เนื่องจากข้อความค้นหาจะเผยให้เห็นวัตถุทั้งหมด นี่เป็นกรณีสำหรับการทดสอบการกระจายเช่นกัน?$n$

เท่าที่ฉันเข้าใจขอบเขตบน "เล็กน้อย" สำหรับการทดสอบคุณสมบัติของการแจกแจงคือ --- โดยขอบเขตของ Chernoff นี่เพียงพอที่จะ "จดบันทึก" การแจกแจง D 'ซึ่งใกล้เคียงกับ D ในℓ 1ระยะทางและแล้วเราก็สามารถตรวจสอบว่ามีการกระจายใด ๆ ที่ใกล้กับ D' ที่อยู่ใน P (นี้อาจใช้เวลาอนันต์ แต่นี้ไม่เกี่ยวข้องกับความซับซ้อนตัวอย่าง)$O(n^2\log n)$$\ell_1$

• มีการทดสอบแบบ "เล็กน้อย" ที่ดีกว่าสำหรับคุณสมบัติการแจกแจงทั้งหมดหรือไม่
• มีคุณสมบัติการกระจายใด ๆ ที่เรารู้ว่าตัวอย่างขอบเขตต่ำกว่าแข็งแกร่งกว่าเชิงเส้นหรือไม่

ขออภัยที่ไม่ทราบทุกสิ่งที่โพสต์นี้ - มันค่อนข้างเก่า แต่ฉันคิดว่ามันตอบอาจไม่ได้เป็นความคิดที่ไม่ดี

$\ell_1$$\frac{\varepsilon}{2}$$p'$$\mathcal{P}_n$$\frac{\varepsilon}{2}$$\hat{p}$$O\big(\frac{n\log n}{\varepsilon^2}\big)$$n$$\varepsilon$$O(\frac{n}{\varepsilon^2})$

$O(\frac{n}{\varepsilon^2})$$n$$\varepsilon$$n$

$1/10$$\Theta_\varepsilon(\frac{n}{\log n})$

(โปรดทราบว่ามันเป็น "การโกง" เล็กน้อยในแง่ที่ว่าคุณสมบัติเป็นเพียงวิธีทดสอบคำถามที่ยอมรับได้และติดตั้งใหม่เป็นการทดสอบคุณสมบัติเฉพาะกิจ )

$k$$k$$k=n/10$$\Omega(\frac{n}{\log n})$$\frac{n}{100}$